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复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期高二年级
数学学科阶段性教学质量评估试卷（B 卷）
考生注意：
1．本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选
择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1－6 题每题 4 分，第 7－12 题每题 5
分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．
1. 如图，已知集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合________．
2. 已知抛物线 的顶点到焦点的距离为 2，则 ________．
3. 已知直线 l 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则
________.
4. 在集合 中任取 3 个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是________
．
5. 不等式 的解集是________．
6. 设 ，不等式 对一切 恒成立，则 取值范围为________．
7. 已知数据 ， ， ， ， 的方差是 4，则 ， ， ， ， 的方差为________
．
8. 已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，则 的最大值为________
．
9. 已知双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线 的一条渐近线与直线 平行，
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则双曲线 的离心率为________．
10. 若圆 上到直线 距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 的取值范围是
________．
11. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘
徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上
， 两点与点 在同一条直线上，且在点 的同侧.若在 ， 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 和
，且 ，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为______.
12. 设有穷数列 为首项为 1、公比为 2、末项为 的等比数列，则在数列 中，首位是 4 的项的
个数为________
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5
分，每题有且只有一个正确选坝，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.
13. 已知异面直线 、 所成角为 ， 、 分别为直线 、 的方向向量，则以下结论中，一定成立的是
（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
15. 从装有 2 个白球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ）
A. “至少有一个黑球”与“都 黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”
C. “至少有一个黑球”与“都是白球”
D. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
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16. 有两个棱长均为 1 的正四棱锥，底面中心分别为 、 ，另有一个棱长为 1 的正四面体，现将两个正四
棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，
线段 的长度所组成的集合中，共有（ ）个元素
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规
定区域内写出必要的步骤．
17. 已知数列 中， ， ， .
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）在数列 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明
理由.
18. 已知 且 ，记 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求 的最小值．
19. 人工智能算力是驱动 AI 时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．
某人工．智能实验室收集了 30 台服务器的单机均值算力数据（单位：TFLOPS），数据范围在 之
间，排序后的数据如下：
115 119 120 133 150 160 161 170 180 190 210 220 220 220 220
225 230 230 239 240 240 241 244 245 247 247 249 250 285 300
（1）直接写出这组数据的众数和极差；
（2）现该实验室准备组建一个服务器集 ，为了使该服务器集群总算力最大（即算力总和最大）的同时又
满足能耗比的需求（要求该集群的服务器的平均算力不低于 250），该实验室应该选取多少台服务器组成服
务器集释？分别是哪几台？
（3）若该实验室增加 2 台服务器，算力数据分别是 和 ，通过计算发现，增加这两台服务器前后，
该实验室服务器 平均值和第 75 百分位数都不变，求 、 的值．
20. 如图，在四边形 中， ， ， ， ， ， 为 的中点，
点 在 上， ．将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得二面角 的大
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小为 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）已知 ，
（ⅰ）求 与平面 所成角的大小；
（ⅱ）求多面体 的体积．
21. 已知双曲线 的离心率为 ，实轴长为 2．
（1）求 的方程；
（2）设点 在双曲线 的左支上，过点 分别作斜率为 1 与-1 的直线 、 与双曲线 交于 、
两点，求 的面积 关于 的函数表达式，并求 的取值范围；
（3）过点 作 两条切线 、 ，设直线 、 的斜率分别为 、 ．若 ，求
点 的取值范围及 的取值范围．
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复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期高二年级
数学学科阶段性教学质量评估试卷（B 卷）
考生注意：
1．本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选
择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1－6 题每题 4 分，第 7－12 题每题 5
分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．
【1 题答案】
【答案】
【2 题答案】
【答案】4
【3 题答案】
【答案】
【4 题答案】
【答案】 ##
【5 题答案】
【答案】
【6 题答案】
【答案】
【7 题答案】
【答案】16
【8 题答案】
【答案】 ##
【9 题答案】
【答案】 或
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【10 题答案】
【答案】
【11 题答案】
【答案】
【12 题答案】
【答案】
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5
分，每题有且只有一个正确选坝，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.
【13 题答案】
【答案】D
【14 题答案】
【答案】B
【15 题答案】
【答案】D
【16 题答案】
【答案】A
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规
定区域内写出必要的步骤．
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析， ；（2）存在， 成等差数列.
【18 题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）9
【19 题答案】
【答案】（1）众数为 220，极差为
（2）13 台；取所有算力大于等于 239 的服务器，取 1 台 230 的服务器
（3） ，
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【20 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【21 题答案】
【答案】（1）
（2） ，
（3） 且 ，
第 7页/共 7页

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