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绝密★启用前
2027 届高一下学期期末质量检测
科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题
卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共 6 页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否
则后果自负。
姓 名
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准考证号
祝你考试顺利！
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2027 届高一下学期期末质量检测
数 学
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给
出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 ，则
A. B.
C. D.
2.若向量 ， ，则“ ”是“ ”的
( )
A. 必要不充分条件
B. 充要条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.某工厂生产 ， ， 三种不同型号的产品，产量之比为 ： ：
现用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 型号
的产品有 件，则样本容量
A. B.
C. D.
4.已知 ， 是两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线，则
下列命题中正确的是
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
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C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
5.已知一个正四棱锥的底面边长为 ，体积为 ，若该四棱锥的顶
点都在球 的球面上，则球 的表面积等于
A. B. C. D.
6.在 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
， ，则
A. 当 时，
B. 当 时， 有两个解
C. 当 时， 只有一个解
D. 对一切 ， 都有解
7.已知函数 是定义域为 的奇函数，且 ，若函
数 在 上单调递增，则不等式 的解集
为
A. B.
C. D.
8.已知平面向量 满足 且
则 的最小
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值为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到的新样本数
据 ， ， ， ，其中 ， 为非零
常数，则
A. 新样本数据的样本极差是原样本数据极差的 倍
B. 新样本数据的样本中位数是原样本数据中位数的 倍
C. 新样本数据的样本标准差是原样本数据标准差的 倍
D. 新样本数据的样本平均数是原样本数据平均数的 倍
10.已知实数 ， 满足 ， ， ，则下列结论正
确的是
A.
B.
C. 的最小值为
D. 的最大值为
11.已知对任意 ， ，
，且 ，则
A. B.
C. 的图象关于直线 对称 D.
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ， ， ，则 ______．
13.已知菱形 的边长为 ， ，沿对角线
将菱形 折起，使得二面角 为钝二面角，且折后
所得四面体 外接球的表面积为 ，则二面角
的余弦值为______．
14.如图，三棱锥 的底面
的斜二测直观图为
，已知 底面 ，
， ， ，则三
棱锥 外接球的体积 ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知向量 ， 满足： ， ．
若 ，求 ．
若 ，求当 为何值时， ．
若 ，求 在 方向上的投影向量的坐标．
16. 本小题 分
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甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每
轮活动由甲、乙各猜一个成语已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每
轮猜对的概率为 ，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，
各轮结果也互不影响．
求“星队”在两轮活动中共猜对 个成语的概率；
求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．
17. 本小题 分
为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全
市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了 人的成绩
均为整数 作为样本，将其整理后分为 组，并作出了如图所示的
频率分布直方图 最低 分，最高 分 ．
求频率分布直方图中 的值，并求出样本中成绩在 分以上的
人数；
若划定成绩大于或等于第 百分位数为“良好”以上等级，请
根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围；
现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为 ，方差
为 ，成绩在 内的平均数为 ，方差为 ，求成绩在
内的平均数和方差．
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18. 本小题 分
如图 ，等腰梯形 中， ， 为 边上一点，且
， ， 为 中点， 为
中点将 沿 折起到 的位置，如图 ．
证明： 平面 ；
若 ，求点 到平面 的距离；
试在线段 上确定一点 ，使得平面 平面 ，
并给出证明．
19. 本小题 分
在 内一点 满足 ，则称 为
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的布洛卡点， 为布洛卡角小明同学对布洛卡点产生兴趣，
对其进行探索得到许多正确的结论，比如
，若下列问题中的点 为
的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
当 ，且
时，求 ；
角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ， ，求证：
；
在 的条件下，若 的周长为 ，试把 表示为 的
函数 ，并求 的值域．
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参考答案
1.【答案】
【解析】解：由 ，得 ，
所以 ．
故选： ．
2.【答案】
【解析】解：因为 ， ，
所以 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
3.【答案】
【解析】解：设出样本容量为 ，
由题意知产品的数量之比依次为 ： ： ，
，
．
故选： ．
4.【答案】
【解析】解： ， 是两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线，
对于 ，若 ， ，则由线面垂直的性质得 ，故 A 错误；
对于 ，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 B 错误；
对于 ，若 ， ， ，则由线面平行的性质得
，故 C 正确；
对于 ，若 ， ， ，则 ，故 D 错误．
故选： ．
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5.【答案】
【解析】解：因为正四棱锥的底面边长为 ，
体积为 ，设 在底面的射影为 ，
则 ，所以
，
又正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上，
易知正四棱锥底面外接圆半径 ，
球 的半径为 ，由球的性质得 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ．
故选： ．
6.【答案】
【解析】解：因为 ， ， ，
所以由正弦定理 ，即 ，
当 时， ，又 ，所以 或
，故 A 错误；
当 时， ，又 ，此时 无解，故 B、D
错误；
当 时，由 ，则 ，又 ，
此时 只有一解，即 只有一个解，故 C 正确．
故选： ．
7.【答案】
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【解析】解：由 是定义在 上的奇函数，得 ，
因为 ，
则 ， 是 上的偶
函数，
由 ，得 ，则 ，
由 在 上递增，得 在 上递减，
当 时， ，不等式 成立，因此 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选： ．
8.【答案】
解：建立如图所示的直角坐标系：
依 题 意 设 ， ， ， ，
，
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则 ，
故点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
如 图 ， 取 点 ， 则 ， ， 且
，
因此 ∽ ， ，故 C ，
又
，
由于 ，
当 ， ， 三点共线且点 在线段 上时，等号取到，
因此 ．
故选 C．
9.【答案】
【解析】解： 选项，第一组数据的极差为 ，
新样本数据的极差是 ，
故新样本数据的样本极差是原样本数据极差的 倍，A 正确；
选项，第一组数据的中位数为 ，新样本数据的中位数为 ，故 B
错误；
选项，第一组数据的标准差为 ，新样本数据的标准差为 ，故
C 正确；
选项，第一组数据的平均数为 ，新样本数据的平均数为 ，故 D
错误．
故选： ．
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10.【答案】
【解析】解：对于 ：因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，当 时取等号，故 A 正确；
对于 ：由 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 B 正确；
对于 ： ，当 时取等号，
故 C 错误；
因为 ，又 ，
所以 ，所以 ，当 时取等号，
故 D 错误．
故选： ．
11.【答案】
【解析】解：因为对任意 ， ，
，且 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，故 A 正确．
令 ，则 ，所以
的图象关于直线 对称，故 C 正确．
令 ，则 ，结合 选项，
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可得 ，所以有 ，则
为奇函数．
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ，
所以 ，故 B 错误．
令 ，则 ，
，故 D 错
误．
故选： ．
12.【答案】
【解析】解： ， ，则 ．
故答案为： ．
13.【答案】
【解析】解：如图，设 为四面体 外
接球的球心，半径为 ，
令 ， 分别为正 和正
的外心，
则 ，所以 ，所以
平面 ， 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，
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所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ，
平面 交 点于 ，连接 ， ，则 ， ，
因此 为二面角 的平面角．
设其大小为 ，因为 ，所以 ， ，所
以 ．
连接 ，则 ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知在斜二测直观图 中，
， ，
所以 ，所以 ，
则在 中， ， ， ，
三棱锥 中， ，则可将三棱锥 补成相邻三侧棱分
别为 ， ， 的长方体，
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则长方体的体对角线长即为外接球的直径，
所以外接球半径为 ，
所以三棱锥 外接球的体积 ．
故答案为： ．
15.【答案】 ；
；
．
【解析】 由题意， ， ， ，
所以
；
由 ，可得 ，
即 ，即 ，则 ，
由 ，
得
，解得 ，
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所以当 时， ；
由 ， ， ，
可得 在 方向上的投影向量为：
．
16.【答案】 ；
．
【解析】 根据题意，设 “甲猜对 个成语”， “乙猜对 个成
语”， 、 、 ，
“该队在两轮活动中共猜对 个成语”，
易得 ，
则
根据题意，设 “甲恰好比乙多猜对一个成语”，
则 “甲恰好比乙多猜对一个成语”，易得 ，
故
17.【答案】 ； 人；
；
平均数为 ，方差为 ．
【解析】 在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为 ，可得
，解得
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，
由图可知，样本中成绩在 分以上的人数为
人；
前三个矩形面积之和为 ，前四
个矩形面积之和为 ，
设第 百分位数为 ，则 ，由百分位数的定义可得
，解得 ，
因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为 ； 成绩
在 内占成绩在 的比例为 ，
成绩在 内占成绩在 的比例为 ，
设成绩在 内的平均数和方差分别为 、 ，
由分层随机抽样的平均数公式可得 ，解得 ，
由分层随机抽样的方差公式可得
，
解得 故成绩在 内的平均数为 ，方差为 ．
18.【答案】证明见解答； ； 证明见解答．
【解析】 证明：在等腰梯形 中， ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 ，
所以 为等边三角形，则
因为 为 中点，所以 ，
在等腰梯形 中，可得
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连接 ，在 中，由余弦定理可得
，
则 ，所以 ，则 ．
因为 、 分别是 、 中点，
所以 ，所以 ，
从而可得 ， ，
因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
由 可知， ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
因为 是 中点，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的
距离的一半．
取 的中点为 ，连接 ．
因为 为等边三角形，所以 ，
由 知 ，
因为 ，而 ， ，
又因为 ， 、 平面 ，
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所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
则点 到平面 的距离为 ．
因为 是等边三角形，边长为 ，故 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故点 到平面 的距离为 ；
证明：设 ，则 ，
在 上取点 ，使 ，
从而 ，连接 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又由 可知， ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ，所以平面 平面 ，
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故 G 为线段 上靠近 的三等分点时，平面 平面 ．
19.【答案】 ；
证明见详解；
．
【解析】解： 当 ，且 时，得
，
由余弦定理，得
，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，解得：
，
又 ，在 中，由正弦定理得
，
解得： ，
所以 ，
解得： ；
证明：由 ，则 ，
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在 中，由正弦定理得： ，
解得： ，在 中， ，
由正弦定理得， ，
得 ，
由 可得， ，即
，
由正弦定理，可得： ；
由题意有 ， ，
则
，
令 ，
因为： ，
解得： ，又由三角形边的关系知 ，则
，
即 ， ，
整理得 ，解得： ，即
而 时， 单调递减，
又 ， ，
第 23 页 共 24 页
所以 的值域为 ．
第 24 页 共 24 页

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