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广东省深圳市育才三中2024-2025学年第二学期九年级第三次调研测试试题数学试题
1．（2025·深圳三模）比-2大4的数是（　　）
A．-6 B．2 C．6 D．-2
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意得：-2+4=2，
故答案为：B.
【分析】根据有理数的加法法则即可求解.
2．（2025·深圳三模）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．（2025·深圳三模）2025年是乙已蛇年，“已已如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼，将分别印有“已”、“已”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为，
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可.
4．（2025·深圳三模）P，Q，R，S四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他们的体重大小关系为（　　）
A．R【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意，得：
∴Q故答案为：B.
【分析】观察图中的三个跷跷板，可得出一元一次不等式组，解之即可得出结论.
5．（2025·深圳三模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重八斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重，问每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：C.
【分析】根据“五只雀，六只燕共重一斤”，可得出关于x，y的二元一次方程；根据“雀重燕轻，互换一只，恰好一样重”，可得出关于x，y的二元一次方程，两方程联立成方程组即可得出结论.
6．（2025·深圳三模）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边OA，OC落在直线EF上，∠AOB=45°，∠COD=60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α（如图②）， 在转动过程中两块三角板始终在直线 EF的上方，当OB 平分∠COD 时， α的值为（　　）
A．30° B．75°， C．90° D．105°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=45°，∠COD=60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，OB平分∠COD时，如图，
∴∠DOB=60°÷2=30°，
∴∠AOD=45°-30°=15°，
∴α=180°-60°-15°=105°.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC=30°，根据平角求出α=∠AOE=105°.
7．（2025·深圳三模） 已知函数的图象在第二象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程的两根，判断正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(a，c)在第一象限的一支曲线上，
∴a>0，c>0，ac=1，即，
∵点B(b，c+1)在该函数图象的另外一支上，即第二象限上，
∴b<0，c+1>0，b(c+1)=-1，即，
∴，
∴0故答案为：C.
【分析】根据点A(a，c)在第一象限的一支曲线上，得出a>0，c>0，再点B(b，c+1)在该函数图象的另外一支上，得出b<0，c+1>0，再根据，，即可得出答案.
8．（2025·深圳三模） 如图，在四边形 ABCD 中，，，以 AB 为腰作等腰 ，，点 E恰好落在 CD 边上，若 ，则 CE 的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥CD，交BC于F，
∵∠C=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠CFE=45°
∴∠BFE=180°-45°=135°
∵∠CFE=∠FBE+∠BEF=45°，∠AED+∠BEF=90°-45°=45°，
∴∠AED=∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形
∴AB=AE，
∴
∵AD//BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-45°=135°，
∴∠D=∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点E作EF⊥CD，交BC于F，证明△EFC是等腰直三角形，得EF=CE，∠CFE=45°，进而证明∠AED=∠FBE，再由勾股定理得，然后证明△ADE∽△EFB，得，即可得出结论.
9．（2025·深圳三模）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为　 　.
【答案】2.2×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000022=2.2×10-5，
故答案为：2.2×10-5.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
10．（2025·深圳三模） 分解因式：mx2-16m=　 　.
【答案】m(x-4) (x+4)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=m(x2-16)=m(x+4)(x-4)，
故答案为：m(x+4)(x-4).
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可.
11．（2025·深圳三模）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状，已知圆锥的底面半径为25cm，母线长为40cm，则此草锅盖的侧面积约是　 　.
【答案】1000cm2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为25cm，母线长为40cm，
此草锅盖的侧面积约是：(cm2)，
故答案为：1000cm2.
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
12．（2025·深圳三模）将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在y轴上.反比例函数y=（x>0）的图象恰好经过点D，且AD=2BD，若∠OBC =60°，S△ABC=12，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
设BE=a，
依题意得：∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，
∵∠OBC=60°，
∴∠DBE=180°-(∠OBC+∠ABC)=60°，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠DBE=30°
∴BD=2BE=2a，
由勾股定理得：，
∵AD=2BD，
∴AD=4a，
∴AB=AD+BD=6a，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
在Rt△OBC中，∠OCB=90°-∠OBC=30°，
∴
∴
∴点D的坐标为点
∵反比例函数(x>0)的图象恰好经过点D，
∴
∵S△ABC=12，
∴，
∴，
解得：
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设BE=a，利用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理得BD=2a，，AB=6a，进而得BC=3a，，，则，继而得点D，则，根据S△ABC=12，即可得出k的值.
13．（2025·深圳三模） 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ABC=60°，点E为BC中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F ．点G为线段FE上一点，连接BG，若∠BGE=30°，则FG的长
为　 　.
【答案】4cm
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作DH⊥BC交BC的延长线于点H，BM⊥DE交DE的延长线于点M，则∠H=∠M=90°，
∵四边形ABCD是菱形，，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴，CD//AB，CB//AD，
∴，∠DCH=∠ABC =60°，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵AF⊥DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠BEM=∠DEH=∠ADF，
∴，
∴，，，
∵∠BGE=30°，
∴，
∴GM=6cm，
∴EG=GM-EM=2cm，
∴FG=DE-DF-EG=4cm，
故答案为：4cm.
【分析】作DH⊥BC交BC的延长线于点H，BM⊥DE交DE的延长线于点M，由菱形的性质、勾股定理，解直角三角形的边角关系可得，由AF⊥DE于点F，得∠AFD=90°，而∠BEM=∠DEH=∠ADF，则，，求得，，，由，求得GM=6cm，进而即可得到答案.
14．（2025·深圳三模） 计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.
15．（2025·深圳三模） 解方程：；
【答案】解：方程两边同乘以2x-5，得：
x-5=-2x+5
解得：
经检验，是原方程的根，
∴方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】通过去分母转化为整式方程，再根据一元一次方程求解即可.
16．（2025·深圳三模） 过半成年人超重或肥胖，我国肥胖防控已刻不容缓。国家卫健委等多个部门去年6月和今年两会期间多次提及“体重管理年”计划. 国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体体重健康状况的一个指标，其计算公式为（m表示体重，单位：kg；h表示身高，单位：m），BMI数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）. 我校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40名学生体检结果的身高和身体质量指数“BMI”数据，结果如下统计图及表格所示.
身体属性 人数
瘦弱 3
偏瘦 8
正常 11
偏胖 9
肥胖 n
（1）a=　 　， b=　 　， n=　 　.
（2）身高样本数据的中位数所在的范围是　 　.
（3）已知该校九年级有学生640人.请估计该校九年级学生偏胖的人数；
（4）小媛身高1.60m，BMI值为30，她想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少㎏？（结果精确到1kg）
【答案】（1）10；54；9
（2）1.60~1.70
（3）解：（人）
答：估计该校九年级学生偏胖的人数为144人
（4）解：设小媛体重需要减掉xkg，
依题意得：，
解得x>15.36，
15.36≈15，
答：她的体重至少需要减掉15kg
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)a=40-6-12-12=10；
，即b=54；
n=40-3-8-11-9=9，
故答案为：10，54，9.
(2)根据数据从小到大排列，排在第19和第20的数值都在1.60~1.70，
∴中位数所在的范围是1.60~1.70，
故答案为：1.60~1.70.
【分析】(1)用调查的总人数减去其它三组身高的人数即可求出a的值，用身高为1.40~1.50占总人数的比例乘以360°，即可求出b的值；用样本容量分别减去其它身体属性的人数和肥胖人数n；
(2)根据中位数的定义即可求解；
(3)利用样本估计总体即可；
(4)设小媛体重需要减掉xkg，根据BMI计算公式，列出不等式，解不等式即可求解.
17．（2025·深圳三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB'C'D，如图3所示，此时，AB'与水平方向的夹角为60°·
（1）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（2）图4中，—辆宽1.7m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.
（参考数据：≈1.732，π≈3.14，所有结果精确致0.1）
【答案】（1）解：∵点C'是点C绕点D旋转60°得到的，
∴点C经过的路径长为(m)，
答：点C所经过的路径约为3.1m
（2）解：汽车能安全通过.
在OM上取MK=0.4m，KF=1.6m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB'于点G，
即汽车与BC保持安全距离MK=0.4m，汽车的宽KF=1.7m，
∴OF=3-1.7-0.4=0.9m，
依题意得：∠AHG=90°，∠GAH=60°，四边形AOFH是矩形，
∴AH=OF=0.9m，HF=OA=0.2m，
在Rt△AGH中，，
∴(m)
∴GF=GH+HF≈1.559+0.2=1.759(m)
∵汽车高度为1.6m，1.759>1.6，
∴汽车能安全通过
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据弧长公式解答即可；
(2)根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可.
18．（2025·深圳三模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P；
（1）尺规作图：过点P作⊙O的切线l，并交于AC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB=8，BC=12，求 CD的值.
【答案】（1）解：连接OP，作点P作直线l⊥OP，交AC于点D，则直线l即为所求.
（2）解：连接AP，
∵AB为☉O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APC=90°
∴∠APD+∠CPD=90°.
∵直线l为☉O的切线，
∴∠OPD=90°，
∴∠APD+∠APO=90°，
∴∠CPD=∠APO.
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO
∴∠CPD=∠OAP
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC.
∵∠ABP+∠BAP=90°
∴∠C+∠CPD=90°，
∴∠CDP=90°，
∴∠OPD=∠CDP，
∴OP//AC，
∵点O为AB的中点，
∴点P为BC的中点，
∴.
∵∠APB=∠PDC，∠ABP=∠PCD，
∴△ABP∽△PCD，
∴
即
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】(1)结合切线的判定与性质，连接OP，作点P作直线l⊥OP，交AC于点D，则直线l即为所求；
(2)连接AP，由圆周角定理可得∠APB=90°，结合切线的性质可得∠OPD=90°，进而可得∠CPD=∠OAP，由等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC，进而可得∠OPD=∠CDP，则OP//AC，可知点P为BC的中点，则，证明△ABP∽△PCD，可得，即，从而可得答案.
19．（2025·深圳三模） 规定 1：一个点A （x，y）纵坐标y与横坐标x的比“”称为点A 的“纵横比”.
例如：点A（1，3），则它的“纵横比”为=3.
规定2：若点A（x，y）是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”.
例如：点 在函数 图象上，图象上所有点的＂纵横比＂可以表示为 ，当 时， 的最大值为 ，所以函数的 （3 ＂最优级横比＂为 7 ．
根据规定，解答下列问题：
（1）点B（-1，2）的“纵横比”为　 　.
（2）若当1≤x≤3 时，一次函数y=bx+4（k≠0）的最优纵横比为5，则k的值为　 　.
（3）若已知二次函数y=ax2+bx的顶点在直线x=1上，当1≤x≤4时，二次函数的最优纵横比为2，求b的值.
（4）若已知二次函数y=（x+9）2-的图象如图所示，平面中有A、B两点，且A（-6，2），B（-2，6），现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段AB只有一个交点.若平移的距离为m，请求出m的取值范围，并真接写出交点“纵横比”n的对应范围　 　.
【答案】（1）-2
（2）1
（3）解：二次函数y=ax2+bx的顶点横坐标为，得b=-2a，
当a>0时，函数a(x-2)在1≤x≤4上最大值在x=4处，
a(4-2)=2a=2
a=1
b=-2
当a<0时，函数在x=1处最大：
a(1-2)=-a=2
a=-2
b=4
故b的值为-2或4.
（4）或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)∵B(-1，2)，
∴它的纵横比为：，
故答案为：-2.
(2)一次函数y=kx+4的“纵横比”为：
函数在区间1≤x≤3上，随x增大而减小，
当x=1时，值为k+4，
当x=3时，值为
∵“最优纵横比”为5，
∴最大值出现在x=1，即：k+4=5
∴k=1
故答案为：1.
(4)向右平移m单位后为
求出经过A点和B点时m的值，结合图像判断出平移后抛物线与线段AB只有1个交点时，m的取值范围为或，
故答案为：或.
【分析】(1)根据纵横比的定义直接求解即可；
(2)将“最优纵横比”转化为函数最值问题，分析一次函数变形后的单调性，确定极值点；
(3)利用二次函数顶点坐标确定参数关系，将“最优纵横比”转化为线性函数的最值问题，分类讨论斜率正负；
(4)通过平移抛物线与线段交点个数分析参数范围，结合图像位置关系确定交点“纵横比”范围.
20．（2025·深圳三模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“几何图形背景下的旋转问题”.
问题情境：在四边形ABCD中，E为射线AD上一点，连接BE，并将线段BE绕点B在平面内顺时针旋转，记旋转角为α（0°<α<360°）.
（1）操作感知：如图1，在正方形ABCD中，AB=4，点E是射线AD上的任一点，当点E与点D重合时，将线段BE绕点B顺时针旋转交正方形对角线AC所在的直线于点F，求∠CBF的度数.
（2）实践探究：如图2，在□ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，点 G为边 BC 的中点，点E是边AD上的任一点，将线段BE绕点B顺时针旋转交边DC所在的直线于点F，当A、G、F三点共线时，求AE的长.
（3）拓展探究：小华测量得到AB=4，BC=8，∠ABC=60°，BE=9，如图3，在旋转过程中，设点E的对应点为F，当点F落在□ABCD的边或对角线所在直线上时，记点F到直线BC的距离为d，请直接写出所有d大于2的值　 　.
【答案】（1）解：连接DF，
根据旋转的性质得BD=BF，
∵正方形ABCD的对角线为AC，BD，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴∠CBD=∠CDB=45°
∵点F在直线AC上，
∴DF=BF，
∴BD=DF=BF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠FBD=∠FDB =60°
∴∠CBF=∠FBD-∠CBD=15°
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//CB
∴△BAG∽△CFG，
∴
∵点G为边BC的中点，
∴
即AB=FC，
∵CD=FC
连接EF交BC于点M，
∵AD//CB，
∴，
∴
∴EM= FM，
∵EB=FB，
∴BM⊥BC，∠FBM=∠EBM
在CB上截取CQ=CF，连接QF，
∵AB//CD，∠ABC=60°，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴△QCF是等边三角形，
∴∠FQC=∠FCQ=60°，FQ=QC=FC=CD=AB，
∵∠ABE+∠EBM=60°，∠FQC=∠QFB+∠FBM=60°，
∴∠ABE=∠QFB，
在△BAE和△FQB中，
∴△BAE≌△FQB(SAS)，
∴AE=QB，
∵AB=4，BC=6，
∴AE=BQ=BC-CQ=6-4=2.
（3）
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：(3)根据题意，得点F在以点B为圆心，以BE=9为半径的圆上运动，
故符合题意的点有F1，F2，F3，F4，F5五个点，
取BC的中点M，连接CM，
∵AB=4，BC=8，
∴，
∴∠MAB=∠MBA，∠MAC=∠MCA，
∴2∠MAC+2∠MAB=180°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=30°
∴，
过点D作DQ⊥BC于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠DCQ=60°，
∴，
故F1，F2，F3的距离都小于，不符合题意；
过点F4作F4H⊥BC手点H，
根据题意得，
∴
∵BQ>BF3>BH
∴DQ>F4H，
∴此时的位置也不符合题意；
过点F5作F5G⊥BC于点G，连接BF5，
根据题意得，
∴，
∴，符合题意，
综上，符合题意的距离，
故答案为：.
【分析】(1)连接DF，根据旋转的性质，正方形的性质证明△BDF是等边三角形即可解答；
(2)先证明△BAG∽△CFG，连接EF交BC于点M，再证明EM=FM，在CB上截取CQ=CF，连接QF，证明△QCF是等边三角形，再证明△BAE≌△FQB(SAS)即可；
(3)根据题意，得点F在以点B为圆心，以BE=9为半径的圆上运动，故符合题意的点有F1，F2，F3，F4，F5五个点，取BC的中点M，连接CM，得到△ABC是直角三角形，且∠ACB=30°，后利用勾股定理解答即可.
1 / 1广东省深圳市育才三中2024-2025学年第二学期九年级第三次调研测试试题数学试题
1．（2025·深圳三模）比-2大4的数是（　　）
A．-6 B．2 C．6 D．-2
2．（2025·深圳三模）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳三模）2025年是乙已蛇年，“已已如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼，将分别印有“已”、“已”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳三模）P，Q，R，S四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他们的体重大小关系为（　　）
A．R5．（2025·深圳三模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重八斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重，问每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·深圳三模）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边OA，OC落在直线EF上，∠AOB=45°，∠COD=60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α（如图②）， 在转动过程中两块三角板始终在直线 EF的上方，当OB 平分∠COD 时， α的值为（　　）
A．30° B．75°， C．90° D．105°
7．（2025·深圳三模） 已知函数的图象在第二象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程的两根，判断正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2025·深圳三模） 如图，在四边形 ABCD 中，，，以 AB 为腰作等腰 ，，点 E恰好落在 CD 边上，若 ，则 CE 的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·深圳三模）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000022米，则数据0.000022用科学记数法表示为　 　.
10．（2025·深圳三模） 分解因式：mx2-16m=　 　.
11．（2025·深圳三模）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状，已知圆锥的底面半径为25cm，母线长为40cm，则此草锅盖的侧面积约是　 　.
12．（2025·深圳三模）将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在y轴上.反比例函数y=（x>0）的图象恰好经过点D，且AD=2BD，若∠OBC =60°，S△ABC=12，则k的值为　 　.
13．（2025·深圳三模） 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ABC=60°，点E为BC中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F ．点G为线段FE上一点，连接BG，若∠BGE=30°，则FG的长
为　 　.
14．（2025·深圳三模） 计算：
15．（2025·深圳三模） 解方程：；
16．（2025·深圳三模） 过半成年人超重或肥胖，我国肥胖防控已刻不容缓。国家卫健委等多个部门去年6月和今年两会期间多次提及“体重管理年”计划. 国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体体重健康状况的一个指标，其计算公式为（m表示体重，单位：kg；h表示身高，单位：m），BMI数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）. 我校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40名学生体检结果的身高和身体质量指数“BMI”数据，结果如下统计图及表格所示.
身体属性 人数
瘦弱 3
偏瘦 8
正常 11
偏胖 9
肥胖 n
（1）a=　 　， b=　 　， n=　 　.
（2）身高样本数据的中位数所在的范围是　 　.
（3）已知该校九年级有学生640人.请估计该校九年级学生偏胖的人数；
（4）小媛身高1.60m，BMI值为30，她想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少㎏？（结果精确到1kg）
17．（2025·深圳三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB'C'D，如图3所示，此时，AB'与水平方向的夹角为60°·
（1）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（2）图4中，—辆宽1.7m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.
（参考数据：≈1.732，π≈3.14，所有结果精确致0.1）
18．（2025·深圳三模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P；
（1）尺规作图：过点P作⊙O的切线l，并交于AC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB=8，BC=12，求 CD的值.
19．（2025·深圳三模） 规定 1：一个点A （x，y）纵坐标y与横坐标x的比“”称为点A 的“纵横比”.
例如：点A（1，3），则它的“纵横比”为=3.
规定2：若点A（x，y）是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”.
例如：点 在函数 图象上，图象上所有点的＂纵横比＂可以表示为 ，当 时， 的最大值为 ，所以函数的 （3 ＂最优级横比＂为 7 ．
根据规定，解答下列问题：
（1）点B（-1，2）的“纵横比”为　 　.
（2）若当1≤x≤3 时，一次函数y=bx+4（k≠0）的最优纵横比为5，则k的值为　 　.
（3）若已知二次函数y=ax2+bx的顶点在直线x=1上，当1≤x≤4时，二次函数的最优纵横比为2，求b的值.
（4）若已知二次函数y=（x+9）2-的图象如图所示，平面中有A、B两点，且A（-6，2），B（-2，6），现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段AB只有一个交点.若平移的距离为m，请求出m的取值范围，并真接写出交点“纵横比”n的对应范围　 　.
20．（2025·深圳三模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“几何图形背景下的旋转问题”.
问题情境：在四边形ABCD中，E为射线AD上一点，连接BE，并将线段BE绕点B在平面内顺时针旋转，记旋转角为α（0°<α<360°）.
（1）操作感知：如图1，在正方形ABCD中，AB=4，点E是射线AD上的任一点，当点E与点D重合时，将线段BE绕点B顺时针旋转交正方形对角线AC所在的直线于点F，求∠CBF的度数.
（2）实践探究：如图2，在□ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，点 G为边 BC 的中点，点E是边AD上的任一点，将线段BE绕点B顺时针旋转交边DC所在的直线于点F，当A、G、F三点共线时，求AE的长.
（3）拓展探究：小华测量得到AB=4，BC=8，∠ABC=60°，BE=9，如图3，在旋转过程中，设点E的对应点为F，当点F落在□ABCD的边或对角线所在直线上时，记点F到直线BC的距离为d，请直接写出所有d大于2的值　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意得：-2+4=2，
故答案为：B.
【分析】根据有理数的加法法则即可求解.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“已”的概率为，
故答案为：A.
【分析】根据概率公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意，得：
∴Q故答案为：B.
【分析】观察图中的三个跷跷板，可得出一元一次不等式组，解之即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：C.
【分析】根据“五只雀，六只燕共重一斤”，可得出关于x，y的二元一次方程；根据“雀重燕轻，互换一只，恰好一样重”，可得出关于x，y的二元一次方程，两方程联立成方程组即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=45°，∠COD=60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，OB平分∠COD时，如图，
∴∠DOB=60°÷2=30°，
∴∠AOD=45°-30°=15°，
∴α=180°-60°-15°=105°.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC=30°，根据平角求出α=∠AOE=105°.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(a，c)在第一象限的一支曲线上，
∴a>0，c>0，ac=1，即，
∵点B(b，c+1)在该函数图象的另外一支上，即第二象限上，
∴b<0，c+1>0，b(c+1)=-1，即，
∴，
∴0故答案为：C.
【分析】根据点A(a，c)在第一象限的一支曲线上，得出a>0，c>0，再点B(b，c+1)在该函数图象的另外一支上，得出b<0，c+1>0，再根据，，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥CD，交BC于F，
∵∠C=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠CFE=45°
∴∠BFE=180°-45°=135°
∵∠CFE=∠FBE+∠BEF=45°，∠AED+∠BEF=90°-45°=45°，
∴∠AED=∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形
∴AB=AE，
∴
∵AD//BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-45°=135°，
∴∠D=∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点E作EF⊥CD，交BC于F，证明△EFC是等腰直三角形，得EF=CE，∠CFE=45°，进而证明∠AED=∠FBE，再由勾股定理得，然后证明△ADE∽△EFB，得，即可得出结论.
9．【答案】2.2×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000022=2.2×10-5，
故答案为：2.2×10-5.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
10．【答案】m(x-4) (x+4)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=m(x2-16)=m(x+4)(x-4)，
故答案为：m(x+4)(x-4).
【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可.
11．【答案】1000cm2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为25cm，母线长为40cm，
此草锅盖的侧面积约是：(cm2)，
故答案为：1000cm2.
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
设BE=a，
依题意得：∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，
∵∠OBC=60°，
∴∠DBE=180°-(∠OBC+∠ABC)=60°，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠DBE=30°
∴BD=2BE=2a，
由勾股定理得：，
∵AD=2BD，
∴AD=4a，
∴AB=AD+BD=6a，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
在Rt△OBC中，∠OCB=90°-∠OBC=30°，
∴
∴
∴点D的坐标为点
∵反比例函数(x>0)的图象恰好经过点D，
∴
∵S△ABC=12，
∴，
∴，
解得：
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设BE=a，利用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理得BD=2a，，AB=6a，进而得BC=3a，，，则，继而得点D，则，根据S△ABC=12，即可得出k的值.
13．【答案】4cm
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作DH⊥BC交BC的延长线于点H，BM⊥DE交DE的延长线于点M，则∠H=∠M=90°，
∵四边形ABCD是菱形，，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴，CD//AB，CB//AD，
∴，∠DCH=∠ABC =60°，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵AF⊥DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠BEM=∠DEH=∠ADF，
∴，
∴，，，
∵∠BGE=30°，
∴，
∴GM=6cm，
∴EG=GM-EM=2cm，
∴FG=DE-DF-EG=4cm，
故答案为：4cm.
【分析】作DH⊥BC交BC的延长线于点H，BM⊥DE交DE的延长线于点M，由菱形的性质、勾股定理，解直角三角形的边角关系可得，由AF⊥DE于点F，得∠AFD=90°，而∠BEM=∠DEH=∠ADF，则，，求得，，，由，求得GM=6cm，进而即可得到答案.
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.
15．【答案】解：方程两边同乘以2x-5，得：
x-5=-2x+5
解得：
经检验，是原方程的根，
∴方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】通过去分母转化为整式方程，再根据一元一次方程求解即可.
16．【答案】（1）10；54；9
（2）1.60~1.70
（3）解：（人）
答：估计该校九年级学生偏胖的人数为144人
（4）解：设小媛体重需要减掉xkg，
依题意得：，
解得x>15.36，
15.36≈15，
答：她的体重至少需要减掉15kg
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)a=40-6-12-12=10；
，即b=54；
n=40-3-8-11-9=9，
故答案为：10，54，9.
(2)根据数据从小到大排列，排在第19和第20的数值都在1.60~1.70，
∴中位数所在的范围是1.60~1.70，
故答案为：1.60~1.70.
【分析】(1)用调查的总人数减去其它三组身高的人数即可求出a的值，用身高为1.40~1.50占总人数的比例乘以360°，即可求出b的值；用样本容量分别减去其它身体属性的人数和肥胖人数n；
(2)根据中位数的定义即可求解；
(3)利用样本估计总体即可；
(4)设小媛体重需要减掉xkg，根据BMI计算公式，列出不等式，解不等式即可求解.
17．【答案】（1）解：∵点C'是点C绕点D旋转60°得到的，
∴点C经过的路径长为(m)，
答：点C所经过的路径约为3.1m
（2）解：汽车能安全通过.
在OM上取MK=0.4m，KF=1.6m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB'于点G，
即汽车与BC保持安全距离MK=0.4m，汽车的宽KF=1.7m，
∴OF=3-1.7-0.4=0.9m，
依题意得：∠AHG=90°，∠GAH=60°，四边形AOFH是矩形，
∴AH=OF=0.9m，HF=OA=0.2m，
在Rt△AGH中，，
∴(m)
∴GF=GH+HF≈1.559+0.2=1.759(m)
∵汽车高度为1.6m，1.759>1.6，
∴汽车能安全通过
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据弧长公式解答即可；
(2)根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可.
18．【答案】（1）解：连接OP，作点P作直线l⊥OP，交AC于点D，则直线l即为所求.
（2）解：连接AP，
∵AB为☉O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APC=90°
∴∠APD+∠CPD=90°.
∵直线l为☉O的切线，
∴∠OPD=90°，
∴∠APD+∠APO=90°，
∴∠CPD=∠APO.
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO
∴∠CPD=∠OAP
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC.
∵∠ABP+∠BAP=90°
∴∠C+∠CPD=90°，
∴∠CDP=90°，
∴∠OPD=∠CDP，
∴OP//AC，
∵点O为AB的中点，
∴点P为BC的中点，
∴.
∵∠APB=∠PDC，∠ABP=∠PCD，
∴△ABP∽△PCD，
∴
即
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】(1)结合切线的判定与性质，连接OP，作点P作直线l⊥OP，交AC于点D，则直线l即为所求；
(2)连接AP，由圆周角定理可得∠APB=90°，结合切线的性质可得∠OPD=90°，进而可得∠CPD=∠OAP，由等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC，进而可得∠OPD=∠CDP，则OP//AC，可知点P为BC的中点，则，证明△ABP∽△PCD，可得，即，从而可得答案.
19．【答案】（1）-2
（2）1
（3）解：二次函数y=ax2+bx的顶点横坐标为，得b=-2a，
当a>0时，函数a(x-2)在1≤x≤4上最大值在x=4处，
a(4-2)=2a=2
a=1
b=-2
当a<0时，函数在x=1处最大：
a(1-2)=-a=2
a=-2
b=4
故b的值为-2或4.
（4）或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)∵B(-1，2)，
∴它的纵横比为：，
故答案为：-2.
(2)一次函数y=kx+4的“纵横比”为：
函数在区间1≤x≤3上，随x增大而减小，
当x=1时，值为k+4，
当x=3时，值为
∵“最优纵横比”为5，
∴最大值出现在x=1，即：k+4=5
∴k=1
故答案为：1.
(4)向右平移m单位后为
求出经过A点和B点时m的值，结合图像判断出平移后抛物线与线段AB只有1个交点时，m的取值范围为或，
故答案为：或.
【分析】(1)根据纵横比的定义直接求解即可；
(2)将“最优纵横比”转化为函数最值问题，分析一次函数变形后的单调性，确定极值点；
(3)利用二次函数顶点坐标确定参数关系，将“最优纵横比”转化为线性函数的最值问题，分类讨论斜率正负；
(4)通过平移抛物线与线段交点个数分析参数范围，结合图像位置关系确定交点“纵横比”范围.
20．【答案】（1）解：连接DF，
根据旋转的性质得BD=BF，
∵正方形ABCD的对角线为AC，BD，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴∠CBD=∠CDB=45°
∵点F在直线AC上，
∴DF=BF，
∴BD=DF=BF，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠FBD=∠FDB =60°
∴∠CBF=∠FBD-∠CBD=15°
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//CB
∴△BAG∽△CFG，
∴
∵点G为边BC的中点，
∴
即AB=FC，
∵CD=FC
连接EF交BC于点M，
∵AD//CB，
∴，
∴
∴EM= FM，
∵EB=FB，
∴BM⊥BC，∠FBM=∠EBM
在CB上截取CQ=CF，连接QF，
∵AB//CD，∠ABC=60°，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴△QCF是等边三角形，
∴∠FQC=∠FCQ=60°，FQ=QC=FC=CD=AB，
∵∠ABE+∠EBM=60°，∠FQC=∠QFB+∠FBM=60°，
∴∠ABE=∠QFB，
在△BAE和△FQB中，
∴△BAE≌△FQB(SAS)，
∴AE=QB，
∵AB=4，BC=6，
∴AE=BQ=BC-CQ=6-4=2.
（3）
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：(3)根据题意，得点F在以点B为圆心，以BE=9为半径的圆上运动，
故符合题意的点有F1，F2，F3，F4，F5五个点，
取BC的中点M，连接CM，
∵AB=4，BC=8，
∴，
∴∠MAB=∠MBA，∠MAC=∠MCA，
∴2∠MAC+2∠MAB=180°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=30°
∴，
过点D作DQ⊥BC于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠DCQ=60°，
∴，
故F1，F2，F3的距离都小于，不符合题意；
过点F4作F4H⊥BC手点H，
根据题意得，
∴
∵BQ>BF3>BH
∴DQ>F4H，
∴此时的位置也不符合题意；
过点F5作F5G⊥BC于点G，连接BF5，
根据题意得，
∴，
∴，符合题意，
综上，符合题意的距离，
故答案为：.
【分析】(1)连接DF，根据旋转的性质，正方形的性质证明△BDF是等边三角形即可解答；
(2)先证明△BAG∽△CFG，连接EF交BC于点M，再证明EM=FM，在CB上截取CQ=CF，连接QF，证明△QCF是等边三角形，再证明△BAE≌△FQB(SAS)即可；
(3)根据题意，得点F在以点B为圆心，以BE=9为半径的圆上运动，故符合题意的点有F1，F2，F3，F4，F5五个点，取BC的中点M，连接CM，得到△ABC是直角三角形，且∠ACB=30°，后利用勾股定理解答即可.
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