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2020年—2025年新课标全国卷数学试题分类汇编
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
5．三角函数与解三角形（解析版）
一、选择题
(2025·全国一卷，4)若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，
又，则时最小，最小值是，即．故选：B
(2025·全国一卷，11)已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，展开可得，
即，下证．
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立．
综上讨论可知，，即．
方法二：边角转化
时，由，则，于是，
由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：，可知同时为或者异号，即，展开可得，，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知．
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误．
故选：ABC
(2025·全国二卷，5)在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，又，所以．故选：A
(2025·全国二卷，8)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，因为，则，则，
则．故选：D．
(2024·新高考Ⅰ，4)已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.
(2024·新高考Ⅰ，7)当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C
(2024·新高考Ⅱ，9)对于函数和，下列正确的有（ ）
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC
(2024·全国甲，理8文9)已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以，故选：B.
(2024·全国甲，理11文12)在中内角所对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
(2023·新高考Ⅰ，8)已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
(2023·新高考Ⅱ，7)已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，解得：．
故选：D．
(2023·全国甲卷，理7)设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出．
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
故选：B
(2023·全国乙卷，文4) 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，则．
故选：C．
(2023·全国乙卷，理6文10)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，故选：D．
(2022·新高考Ⅰ，6)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以．故选：A
(2022·新高考Ⅱ，6)若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得：,
即：，即：
所以，故选：C
[方法二]：特殊值排除法：设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换：
所以
即
故选：C.
(2022·新高考Ⅱ，9多选)已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，，即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．
(2022·全国甲卷，理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以．
故选：B．
(2022·全国甲卷，理11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
(2022·全国甲卷，文5)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为．故选：C．
(2022·全国乙卷，文11)函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
故选：D
(2021·新高考Ⅰ，4)下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
(2021·新高考Ⅰ，6) 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
．故选：C．
(2021·全国甲卷，理8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
【答案】B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
(2021·全国甲卷，理9)若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，，，解得，
，.故选：A.
(2021·全国甲卷，文8)在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.
(2021·全国甲卷，文11)若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，，，解得，
，.
(2021·全国乙卷，理7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
(2021·全国乙卷，理9) 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
(2021·全国乙卷，文4)函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【答案】C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
(2021·全国乙卷，文6)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
(2020·新高考Ⅰ，10)（多选题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC 【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，解得：，
即函数的解析式为：．
而 故选：BC．
(2020·全国卷Ⅰ，文理7)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：，所以函数的最小正周期为．
(2020·全国卷Ⅰ，理9)已知，且，则（ ）
A B． C． D．
【答案】A 【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又．故选：A．
(2020·全国卷Ⅲ，理7)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】在中，，，,
根据余弦定理：，,
可得 ，即，由，故．
(2020·全国卷Ⅲ，理8)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D 【解析】，，
令，则，整理得，解得，即．
故选：D．
(2020·全国卷Ⅲ，文5)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．
(2020·全国卷Ⅲ，文11)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C 【解析】设，
．
(2020·全国卷Ⅲ，文12)已知函数f(x)=sinx+，则（ ）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线对称 D．f(x)的图像关于直线对称
【答案】D 【解析】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对.
二、填空题
(2024·新高考Ⅱ，13)已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
【答案】
【解析】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
(2024·全国甲，文13)函数在上的最大值是______．
【答案】2
【解析】，当时，，
当时，即时，.
(2023·新高考Ⅰ，15)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以，令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
(2023·新高考Ⅱ，16)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
(2023·全国甲卷，理16)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
(2023·全国乙卷，文14)若，则________．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以．
(2022·全国乙卷，理15)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
(2022·全国甲卷，文理16)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．
故答案为：．
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系．
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x．由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立．
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即．
(2021·全国乙卷，文理15)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
(2020·新高考Ⅰ，15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】 【解析】设，由题意，，所以，
因为,所以，因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，解得；
等腰直角的面积为；扇形的面积，
所以阴影部分的面积为．
(2020·全国卷Ⅰ，理16)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】 【解析】，，，由勾股定理得，
同理得，，在中，，，，
由余弦定理得，
，在中，，，，
由余弦定理得．
(2020·全国卷Ⅱ，文13)若，则__________．
【答案】 【解析】．
(2020·全国卷Ⅲ，理16)关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，命题④错误．
故答案为：②③．
三、解答题
(2025·全国二卷，15)已知函数．
（1）求；（2）设函数，求的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为．
(2024·新高考Ⅰ，15)记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；（2）若的面积为，求c．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知面积为，可得，
所以.
(2024·新高考Ⅱ，15)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，，求的周长．
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理，，
又，则，进而，得到，于是，
，
由正弦定理可得，，即，解得，
故的周长为
(2023·新高考Ⅰ，17)已知在中，．
（1）求；（2）设，求边上的高．
【答案】（1）
（2）6
【解析】（1），，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
(2023·新高考Ⅱ，17)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；（2）若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以．
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以．
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以．
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以．
(2023·全国甲卷，文17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若，求面积．
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
(2023·全国乙卷，理18)在中，已知，，．
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）由余弦定理可得：，
则，，．
（2）由三角形面积公式可得，
则．
(2022·新高考Ⅰ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
【解析】（1）因为，
即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
(2022·新高考Ⅱ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；
（2）若，求b．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，
则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，
则，.
(2022·全国乙卷，理17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）因为，由（1）得，
由余弦定理可得， 则，所以，
故，
所以，
所以的周长为．
(2022·全国乙卷，文17)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
(2021·新高考Ⅰ，19) 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
【解析】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
(2021·新高考Ⅱ，18)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
(2020·新高考Ⅰ，17)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
据此可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
(2020·全国卷Ⅰ，文18)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C．
【解析】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，．
(2020·全国卷Ⅱ，理17)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
(2020·全国卷Ⅱ，文17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）因为，所以，
即，
解得，又，所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，故，
即是直角三角形．
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2020年—2025年新课标全国卷数学分类汇编
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
2020年—2025年新课标全国卷数学试题分类汇编
5．三角函数与解三角形
一、选择题
(2025·全国一卷，4)若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
(2025·全国一卷，11多选)已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
(2025·全国二卷，5)在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
(2025·全国二卷，8)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
(2024·新高考Ⅰ，4)已知，则（ ）
A. B. C. D.
(2024·新高考Ⅰ，7)当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
(2024·新高考Ⅱ，9多选)对于函数和，下列正确的有（ ）
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
(2024·全国甲，理8文9)已知，则（ ）
A. B. C. D.
(2024·全国甲，理11文12)在中内角所对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
(2023·新高考Ⅰ，8)已知，则（ ）．
A. B. C. D.
(2023·新高考Ⅱ，7)已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
(2023·全国甲卷，理7)设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2023·全国乙卷，文4) 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，理6文10)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
(2022·新高考Ⅰ，6)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
(2022·新高考Ⅱ，6)若，则（ ）
A. B. C. D.
(2022·新高考Ⅱ，9多选)已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
(2022·全国甲卷，理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国甲卷，理11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国甲卷，文5)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国乙卷，文11)函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
(2021·新高考Ⅰ，4)下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
(2021·新高考Ⅰ，6) 若，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国甲卷，理8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
(2021·全国甲卷，理9文11)若，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国甲卷，文8)在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
(2021·全国乙卷，理7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国乙卷，理9) 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
(2021·全国乙卷，文4)函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
(2021·全国乙卷，文6)（ ）
A. B. C. D.
(2020·新高考Ⅰ，10)（多选题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B．
C． D．
(2020·全国卷Ⅰ，文理7)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅰ，理9)已知，且，则（ ）
A B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，理7)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，理8)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
(2020·全国卷Ⅲ，文5)已知，则（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，文11)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
(2020·全国卷Ⅲ，文12)已知函数f(x)=sinx+，则（ ）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线对称 D．f(x)的图像关于直线对称
二、填空题
(2024·新高考Ⅱ，13)已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
(2024·全国甲，文13)函数在上的最大值是______．
(2023·新高考Ⅰ，15)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
(2023·新高考Ⅱ，16)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
(2023·全国甲卷，理16)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
(2023·全国乙卷，文14)若，则________．
(2022·全国乙卷，理15)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
(2022·全国甲卷，文理16)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
(2021·全国甲卷，文15)已知函数的部分图像如图所示，则_________.
(2021·全国甲卷，理16)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
(2021·全国乙卷，文理15)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
(2020·新高考Ⅰ，15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
(2020·全国卷Ⅰ，理16)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
(2020·全国卷Ⅲ，理16)关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．
(2020·全国卷Ⅱ，文13)若，则__________．
三、解答题
(2025·全国二卷，15)已知函数．
（1）求；（2）设函数，求的值域和单调区间．
(2024·新高考Ⅰ，15)记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；（2）若的面积为，求c．
(2024·新高考Ⅱ，15)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，，求的周长．
(2023·新高考Ⅰ，17)已知在中，．
（1）求；（2）设，求边上的高．
(2023·新高考Ⅱ，17)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；（2）若，求．
(2023·全国甲卷，文17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若，求面积．
(2023·全国乙卷，理18)在中，已知，，．
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积．
(2022·新高考Ⅰ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
(2022·新高考Ⅱ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；（2）若，求b．
(2022·全国乙卷，理17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；（2）若，求的周长．
(2022·全国乙卷，文17)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
(2021·新高考Ⅰ，19) 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；（2）若，求
(2021·新高考Ⅱ，18)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(2020·新高考Ⅰ，17)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(2020·全国卷Ⅰ，文18)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C．
(2020·全国卷Ⅱ，理17)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．
(2020·全国卷Ⅱ，文17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
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