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甘肃省张掖市山丹县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中为真命题的有（ ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱
D．正四棱锥的侧面均为等边三角形
3．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则所有的数据都为0
B．若，则的平均数为6
C．若，则的方差为12
D．若该组数据的分位数为90，则可以估计总体中至少有的数据不小于90．
4．已知和都是单位向量，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．朝阳北塔是中国唯一一座集成了五个朝代且拥有1600多年历史的砖石塔，所以有着“五世同堂”宝塔的美誉．如图，某数学实践小组为了测得塔高，在点测得塔底点位于北偏东方向上，在点测得塔顶的仰角为，在点的正东方向且距点54m的点测得塔底点位于北偏西方向上（在同一水平面），则塔的高度约为（ ）（参考数据：）

A．38m B．42m C．44m D．50m
7．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马中，平面，点分别在棱上，则空间四边形的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则边上的高的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则 B．若，则
C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，，则只有一解
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱，，的中点，点满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与，都相交
D．若，点F在侧面上（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
三、填空题
12．若向量，，且，则 .
13．吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为 .
14．在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 .
四、解答题
15．某学校初二年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解初二年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．
初二男生身高样本的频率分布直方图
组别 频数 频率
4 0.10
8
12 0.30
2 0.05
初二女生身高样本的频率分布表
(1)求的值，并利用初二男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；
(2)若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求初二年级学生身高的样本平均数和方差．
16．在如图所示的几何体中，直线，，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面ADPM；
(3)求直线PB与平面EFG所成角的正弦值．
17．已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为；
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的严格增区间；
(3)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围.
18．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．
(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．
19．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且．
(1)记平面平面，证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想．
甘肃省张掖市山丹县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C D C C C AB AC
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】由二倍角的正弦公式可得.
故选:B.
2．C
【详解】对于A，当以直角三角形的一条直角边为轴旋转，得到圆锥，
当以斜边为轴旋转，得到两个圆锥的组合体，A错误；
对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误；
对于C，由棱柱的定义知，C正确；
对于D，正四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，D错误.
故选：C.
3．D
【详解】对于选项A：当时，有，
则，但不一定为0，故选项A错误；
对于选项B：因为，所以，
则
，故选项B错误；
对于选项C：由选项B可知的平均数为.
所以的方差为
，故选项C错误；
对于选项D：根据百分位数的定义可判断选项D正确.
故选：D.
4．C
【详解】根据向量的三角不等式得.
故选：C．
5．D
【详解】设圆锥的高为，母线长为，
因为圆锥的底面半径为，其体积为，
所以，解得，
所以，故圆锥的侧面积为.
故选：D
6．C
【详解】如图，根据题意，平面，，.

在中，因为，所以，所以.
在中，.
故选：C.
7．C
【详解】
由于为定值，故只需求折线段的最小值，将侧面翻折到和底面重合，得到的形状如下，于是转化成平面问题，折线段的最值可通过作对称点的方式处理，作关于的对称点，连接和交于，交于，由于，显然为的中位线，则，由和相似可得，说明这样的符合题意，故，于是空间四边形的周长的最小值为.
故选：C
8．C
【详解】因为是锐角三角形，所以，解得.
由正弦定理可得，则，.
设边上的高为，由，
得，
所以
.
由，得，可得，
所以，
即边上的高的取值范围为.
故选：C.
9．AB
【详解】对于A选项， 已知为纯虚数，则，则，A选项正确.
对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即，
由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确.
对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误.
对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误.
故选：AB.
10．AC
【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得，
则，
因为，则，
可得，即，所以为等腰三角形，故A正确；
对于选项B：若，，，则，
所以有两解，故B错误；
对于选项C：若，
有正弦定理可得，
则，即，
因为，则，
可得，所以，故C正确；
对于选项D： 取等边三角形，则，故D错误.
故选：AC.
11．ACD
【详解】对于A,因为平面平面,平面,所以平面,故A正确；
对于B,作直线，分别交延长线于点，
再连接并延长交延长线于点，连接交于点，
因为分别是棱，，的中点，可作正方体截面为正六边形，
它们交于各棱中点，所以为中点，由可得，故B错误；
对于C,由平面平面，则，
因为都在平面内，所以由图可得必与相交，
根据以上作图可得唯一交点，所以直线是唯一与和相交的直线，故C正确；
对于D，由分别是棱的中点，点满足，
则过作平行于，交于，由图可得，连接，
再过点作的平行线交于，可得，
再过点作的平行线交于，可得为的中点，
则可得平面，平面，平面，
所以平面平面，若平面，则平面，
因为平面平面，所以，
由于正方体棱长为2，可得，故D正确；
故选：ACD.
12．
【详解】因为向量，，且，
可得，解得.
故答案为：.
13．
【详解】“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”分别记为,
随机安排三个景点的游览顺序，安排方法有，，，，，共有6种，
其中第一天游览“武功山”或“钓源古村”共有4种方法，其概率为,
故答案为：
14．
【详解】由题设，则，
所以，
，
令，，则
，
所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：，
15．(1)，169
(2)平均数为166，方差为100.8．
【详解】（1）可得，
此时男生身高平均数为．
（2）结合分布表，，因此，进而，此时计算得到女生身高平均数为．
因此初二年级身高平均数为，方差为．
16．(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）连接，为正方形，，
底面，平面，，
，平面，平面，
平面，.
（2）分别为的中点．，
，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，平面
平面平面.
（3）平面，平面，，
又，，平面，
连接，则为直线与平面所成的角，
，，，
.
由（2）知平面平面，
所以直线与平面所成的角与与平面所成的角相等，
直线与平面所成角的正弦值为
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以；
（2）令，
则，
所以的严格增区间为;
（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是.
18．(1)
(2)
【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，
记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，
则，
，
所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为；
（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.
又获得的奖品价值总和不低于80元，
故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元，
又两次抽到40元，一次抽到30元的概率，
两次抽到40元，一次抽到20元的概率，
两次抽到40元，一次抽到10元的概率，
两次抽到30元，一次抽到40元的概率，
两次抽到30元，一次抽到20元的概率，
两次抽到20元，一次抽到40元的概率，
所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：
.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)在侧棱上存在一点，使平面，满足
【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面，
则平面，而平面，平面平面，
所以.
（2）由题意可知点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影为正方形的中心，
即的中点，由题意可得，所以，
又，
设点到平面的距离为，由，所以，
所以，所以点到平面的距离为；
（3）在侧棱上存在一点，使平面，满足.
理由如下：连接交于，连接，则是的中点，
取中点，又，则，
过作的平行线交于，连接，在中，有，
由平面，平面，得平面，而，则，
又，平面，平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，
又平面，得平面，所以存在，且.

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