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山东大学 2025 年强基计划数学试题
1、已知 ，有 ，求 的值。
2、已知数列 ，有 ，求通项 。
3、已知 ，求 的值。
4、在 中， ，最长边的边长为 1，求最短的边长。
5、将 10 个不同的球放入编号 1，2，3 的 3 个盒子，要求每个河子内的球数不少于盒的
编号，求放法种树。
6、已知椭圆 ， 为椭圆上两点， 为原点，有 ，求 最
小值。
7、已 知 ， 满 足 对 ， 有
恒成立，证明： 。
8、设 的定义域为 ，，且对 及 ，有
（1） ，及 ，证明：
。
（2）设 ，证明： 。
山东大学 2025 年强基计划数学试题解析
2
eR.m+sinE2osr+cows心
2
flx1+:x2+…+i,.≤ifx,+i,f(r:)+…i.fx.
f(x2)-f(x)f)-f(x3)
X2-x
X4-x3
1、已知a,b,cdeZ+,有logb=,log:d=,a-c=9,求b-d
解：由己知得b=(v@3,d=(V5,设a=m2,c=n4(m,n∈Z+),得m2-n4=9
即(m+n2)(m-n2)=9→m+n2=3,m-n2=3→m=3,n=0(舍)：
→m+n2=9,m-n2=1→m=5,n=2→b=125,d=32,b-d=93
2、已知数列a,小有a1=1,a+1=二
求通项an
解：女=+点-3=-3)→-3=（哈-3刃1→=
an+l
22 an an+1
2n
32m-4
3、已知x,yeR,sinx+simy=号，cosx+cosy=9求sin(x+)
解：(sinx+siny)2+(cosx+cosy)2=2→cos(x-y)=0
1
1
3
(sinx +siny)(cosx+cosy)=sinx+7sin2y+sin(xy)=
也即号=sin(x+》cosc-)+sin(x+),综上得sin(c+)=号
4、在△ABC中，tanA=,tanB=子最长边的边长为1，求最短的边长
解：tanC=-tan(A+B)=-t=-1→C=经，c=1,
1-tanAtanB
anB1 c
5、将10个不同的球放入编号1,2,3的3个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒
的编号，求放法种数
解：法一（不定方程）：设盒子1放x1个球，盒子2放x2个球，盒子3放x3个球，
由已知得x1≥1，x2≥2，x3≥3，且x1+x2+x3=10,令m1=x1-1≥0，m2=
x2-2≥0，
mg=x3-3≥0，则原方程变为m1+1+m2+2+m3+3=10,即m1+m2+
m3=4,
其非负整数解为C3+3-1=15。但因球是不同的，故对每个解(m1,m2,m3)的放法种
数
又为
101
10则
其中
m1+1)(m2+2)(m3+3)!
所以总放法数为∑m1+12+2m,+3
m1+m2+m3=4,(m1,m2,m3≥0)，枚举如下15种(m1,m2,m3):

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