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高中数学人教A版（2019）必修一第四章4.3对数
一、单选题
1．（2025高一下·南宁月考）（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·青冈期中）下列等式成立的是（　　）．
A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B． ＝
C．log2 23＝3log2 2 D．log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4
3．（2023·铜仁模拟）香农-威纳指数（）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是，其中是该群落中生物的种数，为第个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲 乙 丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为（　　）
物种 甲 乙 丙 合计
个体数量
A． B． C． D．
4．（2024高三上·南开月考）当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（　　）
（参考数据：，）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
5．（2024高一上·昆明月考）已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．现有两个命题：
（1）若lgx+lgy=lg(x+y)，且不等式y>-2x+t恒成立，则t的取值范围是集合P；
（2）若函数，的图像与函数g(x)=-2x+t的图像没有交点，则t的取值范围是集合Q；
则以下集合关系正确的是（　　）
A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=
7．（2025高一上·福田期末）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024高一上·重庆市月考）已知且，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·娄底模拟）已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（　　）
A．（）是次可加函数
B．（）是次可加函数
C．若，，，则次可加函数可以是周期函数
D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一
三、填空题
10．（2024高一上·上海市期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则　 　
11．（2025高一下·南充月考）　 　.
12．（2024高一下·梅里斯期末）设幂函数，数列满足：，且（），则数列的通项　 　．
13．（2017高二下·黄冈期末）若a10= ，am= ，则m=　 　．
14．（2019高一上·新余月考）已知实数 满足 ，且 ，则 =　 　．
15．（2020高三上·天津期末）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为　 　.
16．（2024高一上·上海市期末）已知点，，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，则平行四边形的面积为　 　.
四、解答题
17．（2024高一上·唐山期中）（1）求的值；
（2）已知，试用表示.
18．（2024高一上·翔安期中）（1） 化简：
（2） 求值：
（3） 求值：
19．（2024高一上·龙岩月考）设集合，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求.
20．（2024高一上·新乡县月考）已知正数，满足，.设函数.
（1）求，；
（2）若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，.
21．（2019高一上·浙江期中）已知函数 .
（1）当 时，解方程 .
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
22．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．
23．（2021高二上·六安开学考）设m为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为“ 函数”．
（1）若函数 为“ 函数”，求实数 的值；
（2）若函数 为“ 函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知 为“ 函数”，设 ．若对任意的 ， ，当
时，都有 成立，求实数 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
2．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
3．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
4．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
5．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
6．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；不等关系与不等式
7．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
8．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则
9．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则
10．【答案】1000
【知识点】对数的性质与运算法则
11．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
12．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；幂函数的概念与表示
13．【答案】5
【知识点】对数的性质与运算法则
14．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
15．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
16．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
17．【答案】（1）；（2）
【知识点】对数的性质与运算法则
18．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】并集及其运算；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
20．【答案】（1），
（2）
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
21．【答案】（1）解：当 时， ， ，
所以方程 化为 且 ，即 且 ， ，
所以 ，即 ，
令 ，则原方程化为 整理得 ，
解得 或 ，即 或 ，解得 或 ，当 时， ， ，故舍去，
故原方程的解为：
（2）解：由 得 ，即 ，
令 ，当 时， ，所以 ，
所以当 时， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 在 时恒成立，
令 ，设 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
解得 或 ；
所以实数 的取值范围是 或
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；对数的性质与运算法则
22．【答案】解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为+=；
2小时后，细胞总数为+=；
3小时后，细胞总数为+=；
4小时后，细胞总数为+=；
可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×，x∈N*
由100×＞1010，得>108，两边取以10为底的对数，得xlg＞8，
∴x＞，∵=，
∴x＞45.45．
答：经过46小时，细胞总数超过1010个．
【知识点】指数式与对数式的互化
23．【答案】（1）解：由 为“ 函数”，得
即 ，解得 ，故实数 的值为 ；
（2）由函数 为“ 函数”可知，存在实数 ，
使得 ， ，
即 ；由 ，得 ，整理得 ．
①当 时， ，符合题意；
②当 时，由 ，即 ，
解得 且 ；综上，实数a的取值范围是 ；
（3）由 为“ 函数”，得 ，
即 ，从而 ， ，
不防设 ，则由 ，
即 ，
得 ，令 ，
则 在区间 上单调递增，
又 ，如图，可知 ，故实数 的最大值为1．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；分段函数的应用
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