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高中数学人教A版（2019）必修一第四章
4.4对数函数
一、单选题
1．已知 ， ， ，则x，y，z大小关系为（　　）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
2．（2025高三上·开福月考）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2020高三上·宁城月考）设正实数 分别满足 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．（2016高三上·连城期中）函数f（x）=x3+bx2+cx+d图象如图，则函数 的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[3，+∞）
C．[﹣2，3] D．[ ）
5．已知0＜a＜b＜1＜c，m=logac，n=logbc，r=ac，则m，n，r的大小关系是（　　）
A．m＜n＜r B．m＜r＜n C．r＜m＜n D．n＜m＜r
6．（2023高三上·杭州月考）已知，，，则p，q，r的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·湖南模拟）已知 ， ，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2022高一下·绥江月考）下列四个命题正确的是（　　）
A．函数的图象过定点；
B．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或；
C．若，则的取值范围是；
D．对于函数，其定义域内任意都满足．
9．（2024高一上·西湖期中）已知常数，的图象经过点，且，则（　　）
A．
B．的图象与无限接近但又不与该直线相交
C．，不等式恒成立
D．方程有且只有一个实数解
三、填空题
10．（2020高一上·阜宁期末）函数 的定义域为　 　.
11．（2018·兴化模拟）函数 的定义域为　 　．
12．（2016高一上·虹口期末）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为　 　．
13．（2016高三上·浦东期中）已知f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是　 　．
14．（2019高三上·成都月考）已知函数 ，设 ， ， 请将 、 、 按照由大到小的排列顺序写出　 　　 　　 　.
15．（2019高二下·富阳月考）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为　 　．
16．设a=（ ） ，b=（ ） ，c=log2 ，则a，b，c的大小顺序是　 　．
四、解答题
17．（2023高一上·齐齐哈尔月考）已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若，函数在区间上有最小值，求实数的值．
18．（2024高一下·仁寿开学考）已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
19．（2016高一上·南京期中）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}
（1）求集合A，B；
（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
20．（2025高一上·雨花期末）已知函数 （ 且 ）的图象经过点 和 ．
（1）求 的解析式；
（2） ，求实数x的值；
21．（2022高一上·江西月考）如函数.
（1）求的定义域.
（2）从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.
①求不等式的解集.
②求的最大值.
22．（2024高二下·金华期中）已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若，则
（ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点．
（1）若函数，求（写出结果即可）
（2）证明：若，则．
（3）若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．
23．（2016高一上·西湖期中）函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若g（x）=f（x）﹣loga（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
3．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
4．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
5．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
6．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；利用对数函数的单调性比较大小；基本不等式
7．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
8．【答案】C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
9．【答案】A,C
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
10．【答案】[1，+∞)
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
11．【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示
12．【答案】1
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
13．【答案】当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}
【知识点】对数函数的图象与性质
14．【答案】c；a；b
【知识点】复合函数的单调性；指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
15．【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的单调性与特殊点
16．【答案】a＞b＞c
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
17．【答案】（1）解：因为函数的图像经过点，，
所以，解得．
（2）解：因为，所以函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即，
解得．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点
18．【答案】（1）解：依题意可得，解得，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
19．【答案】（1）解：A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），
B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]
（2）解：集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣ }，
∵ B∪C=C，
∴B C，
∴ ，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）
【知识点】并集及其运算；函数的值域；对数函数的概念与表示
20．【答案】（1）解：由已知得， ， ，（ 且 ）
解得 ， ；
故 ；
（2）解： ，即 或3，
∴ 或3，
∴ 或16.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
21．【答案】（1）解：由题意，，解得，所以的定义域为.
（2）解：选①，不等式，即，所以
，即，则，
化简为，解得，或
所以原不等式的解集为，或.
选②，因为函数的定义域为，所以函数，其中，
令函数，，因为，要使函数有最大值，
则只需要函数有最大值，且为正数，，
因为，所以当时，有最大值，，
所以的最大值为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点
22．【答案】（1）解：根据次迭代函数的定义，
由，可得.
（2）证明：因为，则，即，
则，即，
当时，，成立；
假设时成立，即，；
当时，
因此成立，
综上所述，若，则.
（3）解：根据相似函数不动点也相似，桥函数选取时可令不动点为一解，
当，选取桥函数，
，，
易得，
由（2）可知，，
即，
当，
选取桥函数（不唯一），，，易得，
由（2）可知，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；互为反函数的两个函数之间的关系
23．【答案】（1）解：由题意：f（x）=log3（3﹣3x），
∴3﹣3x＞0，即x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）
（2）解：易知g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax），
∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0，
∴ ，关于原点对称，
又∵g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax）= ，
∴g（﹣x）= =﹣ =﹣g（x），
∴g（x）为奇函数
（3）解：令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1，
∴u=3﹣ax在[2，3]上单调递减，
又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，
又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，
∴f（3）=1，
即f（3）=loga（3﹣3a）=1，
∴
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的图象与性质
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