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高中数学人教A版（2019） 必修一
第四章 指数函数与对数函数（提高版）
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）（2024高一上·齐齐哈尔期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）（2024高二上·柳州月考）“”是“函数在区间上存在零点”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2023高一上·广东期末）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量随时间（单位：年）变化的数学模型：表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（　　）（参考数据：）
A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年
4．（5分）（2025高一上·枣庄期末）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）（2023·成华模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）（2024高一上·江阴月考）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
1 2 3 4 5 6
136.1 15.6 10.9
判断函数的零点个数至少有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（5分）（2024高三下·江西模拟）函数有且只有一个零点，则的取值可以是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）（2023高一上·青岛期末）下列说法错误的是（　　）
A．命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”
B．已知，，则
C．“成立”是“成立”的充要条件
D．关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是
10．（5分）（2024高一上·乌当期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）（2024高一上·兰州月考）若 ， ，则下列表达正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）（2024高一上·南宁期末）已知函数关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是（　　）
A．函数的零点个数为
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）（2025高一上·含山期末）　 　．
14．（5分）（2024高一上·金乡县月考）函数的定义域为　 　．
15．（5分）（2024高三上·北京市期中）函数的定义域为　 　.
16．（5分）（2024高一上·揭阳期末）已知函数.若有2个零点，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）（2024高一下·湖州期末）已知函数，．
（1）（3分）写出函数的单调区间；
（2）（3分）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）（4分）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．
18．（12分）（2023高一上·彭山月考）已知指数函数的图象过点．
（1）（6分）求函数的解析式；
（2）（6分）若，求实数的取值范围．
19．（12分）（2023高一上·东莞期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）（4分）求的值；
（2）（4分）求在上的解析式；
（3）（4分）若函数有零点，求实数的取值范围．
20．（12分）（2024高一上·茂名月考）解不等式
（1）（4分）
（2）（4分）
（3）（4分）.
21．（12分）（2023高三上·中山月考）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）（6分）求数列 的通项公式 ；
（2）（6分）求使 成立的n的最小值．
22．（12分）（2023高一上·桐柏期末）已知函数．
（1）（6分）当时，求在区间上的值域；
（2）（6分）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点存在定理
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；函数模型的选择与应用
4．【答案】A
【知识点】交集及其运算；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
5．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式
6．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
7．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
9．【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质；根的存在性及根的个数判断
10．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
11．【答案】A,B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
12．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数的图象与性质
15．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
17．【答案】（1）解：，
则的单调递增区间是，单调递减区间是，；
（2）函数在单调递减，在单调递增，
故在的最小值为，
同理，在的最小值为，且在的渐近线为，如图所示：
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：，
或解得：，
综上所述：或．
（3）解：由题意得：，则，
且，则，
因为，，所以，故，
所以，
又，故单调递增，
所以单调递增，故，
则的取值范围为．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
18．【答案】（1）解：设，则，解得：，∴
（2）解：∵在上单调递减，若，
则，解得：，
即实数的取值范围是
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
19．【答案】（1）解：由于函数是定义在上的奇函数，
所以.
（2）解：由（1）得，当时，，
所以，
所以
（3）解：函数有零点等价于方程有根，
分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，
所以求k的范围，即求函数的值域，
记，即，
①当时，显然在上单调递减，所以，
所以时，，
②当时，令，则，
记，，
因为对称轴，所以在上单调递增，
所以，即，
所以时，，
综上所述，的值域为，
所以当时，函数有零点．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
20．【答案】（1）解：不等式，化为，
因为在上单调递增，所以，整理得，解得，
则不等式的解集为；
（2）解：因为函数是上的减函数，所以原不等式等价于，解得，
则原不等式的解集为；
（3）解：因为，所以，
解得，所以原不等式的解集为.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
21．【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
22．【答案】（1）解：当时，，
对称轴为：，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；
则，
所以在区间上的值域为；
（2）解：由，
令，可得，
即，
令，，，
函数在区间内有且只有一个零点，
等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；
①当时，在上递减，
在上递增，
而，
所以函数与的图象在内有唯一交点.
②当时，图象开口向下，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，
即，
解得，
所以.
③当时，图象开口向上，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
，
即，
解得，
所以.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
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