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湖南省长沙市2025年初中学业水平考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600 000 km，用科学记数法将数据149 600 000表示为
A. 1.496×10 D. 14.96×10
2.左下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是
3.在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量.如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作
A. - 60米 B. - 80米 C. +90米 D. +60米
4.下列运算正确的是
5.2020年,我国承诺,力争于 2030年前实现“碳达峰”,2060 年前实现“碳中和”.倡导低碳生活是每个公民的社会责任.某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量(单位：千克)数据, 依次为: 76,78,77,79,78,75,78,80.则这组数据的众数是
A. 77 B. 78 C. 79 D. 80
6.智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘 10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为
A. 6m B. m+10 C. 60m D. 10m
7. 如图, AB∥CD, 直线EF 与直线AB, CD分别交于点E, F, 直线EG 与直线CD交于点G. 若∠1=70°, ∠2=50°, 则∠GEF的度数为
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
8. 如图, AC, BC为⊙O的弦, 连接OA, OB, OC.若∠AOB=40°, ∠OCA=30°,则∠BCO的度数为
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
9. 如图, 将△ABC沿折痕AD折叠, 使点B落在AC边上的点E处,若AB=4, BC=5,AC=6, 则△CDE的周长为
A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7
10.中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力.据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元.
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量(单位：万亿美元) 国家 GDP总量(单位：万亿美元)
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近
A.法国 B.瑞士 C.巴西 D.英国
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11. 分解因式: mx-2my= .
12.为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查了 100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习.由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有 名.
13.分式方程 的解为 .
14. 如图, AB为⊙O的弦, OC⊥AB于点C, 连接OA, OB,若AB=OA, AC=3, 则OA的长为 .
15. 如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E= °.
16.衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题: 如果a, b, c为实数, 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c； ①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c; ②
第三步: 把②代入①, 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c); ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c); ④
第五步: 把④两边同时除以(a+b+c), 得 2=1. ⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则.
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题 10分，共 72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算:
18.解不等式组：
19. 如图, 在△ABC中, AB=AC, ∠B=72°, 以点C为圆心,适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D.
(1) 求∠BCD的度数;
(2) 若BC=2.5, 求AD的长.
20.2025年5月 18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行.论坛聚焦美育与阅读融合.为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表.(A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格.)
等第 频数 频率
A 20 m
B 30 0.30
C n 0.44
D 6 0.06
根据图表中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查随机抽取了 名学生的成绩；表中m= ，n= ；
(2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 度；
(3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取 2 名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2 名学生恰好来自同一个班级的概率.
21. 如图, 正方形ABCD中, 点E, F 分别在AB, CD上, 且BE=DF .
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2) 连接EF, 若BC=12, BE=5, 求EF的长.
22.为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元
(2)若该食品企业以每千克 8 元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克
23.如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800m.
(1) 求∠ACB的度数;
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
24. 我们约定: 当x ,y ,x ,y 满足( 且 时, 称点(x ,y )与点(x ，y )为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)；
①函数 (k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”； ( )
②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”; ( )
③函数 的图象上至少存在两对“对偶点”. ( )
(2)若关于x的一次函数. 与 都是常数，且. 均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
(3)若关于x的二次函数 是“对偶函数”，求实数a的取值范围.
25.如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点, 连接CD, 且始终满足CD=AD+BC.
(1)求证：CD与该半圆相切；
(2)当半径 时，令 比较m与n的大小，并说明理由；
(3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G , 连接EG 并延长交 AB 于点 F , 连接 AE,BE , 令 EG=x, 求y关于x的函数解析式.(不考虑自变量x的取值范围)
2025年长沙市初中学业水平考试试卷
数学参考答案及评分标准
一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C B D B C D B
二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分)
11. m(x-2y); 12. 108;
14. 6; 15. 205; 16. 五.
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 解: 原式 1…………………………………………………….4分
…………………………………………………6分
18. 解: 解不等式①, 得 x＞-7. …………………………………………………………2分
解不等式②, 得 x≤2. …………………………………………………………4分
∴ 不等式组的解集为 - 7＜x≤2. ……………………………………………6分
19. 解: (1) ∵AB=AC, ∠B=72°,
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知，CD是∠ACB的角平分线，
3分
(2)在△BCD中, 由三角形内角和定理得 ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°,
∴∠BDC=∠B ,
∴CD=CB,
在△ACD中, ∵ ∠BDC=∠A+∠ACD, ∠ACD=36°,
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5,
∴AD=2.5. ………………………………………………………………………6分
20. 解: (1) 100 ; 0.20 ; 44 ; …………………………………………3分
(2) 72 ; ……………………………………………………………………5分
(3)记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图：
一共有 12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果.
21. 解: (1) 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD且AB=CD.
又∵BE=DF ,
∴ AB--BE=CD--DF.
∴ AE=CF.
又∵AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形.…………………………………………4分
(2) 过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形, BC=12,
∴CD=BC=12, ∠B=∠BCD=90°.
又∵∠EHC=90°,
∴四边形EBCH 是矩形.
∴EB=HC=5, EH=BC=12.
又∵DF=BE=5,
∴HF=CD-DF--CH=12-5-5=2.
在Rt△EHF中，由勾股定理得
…8分
22.解：(1)设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元.
………………………………………………………………5分
(2)设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千克，由题意得(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000.
解得m≥2000,
答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克、
……………………………………………………………………………9分
23. 解: (1) 如图, 由题意可得∠ ,
)°.
5分
(2) 方法一:
∵ ∠CBE=60°,
由 (1) 得
又∵AB=800,
∴AB=AC=800.
在Rt△ACM中,
∴BM =BA+AM =800+400=1200.
∵∠BDM=45°, BM⊥DM ,
∴DM =BM =1200.
∴景点C与景点D之间的距离为
方法二：
∵∠CBE=60°, ∠CAF=30°, BE∥AF∥DM ,
∴∠BCM=∠CBE=60°, ∠ACM=∠CAF=30°.
设AM=x,则.
在Rt△BCM 中,
即
解得x=400.经检验得x=400是原方程的解.
∴BM =BA+AM=800+400=1200.
∵∠BDM=45°, BM⊥DM ,
∴BM=DM=1200.
∴景点C与景点D之间的距离为 ………………………..9分
24. 解:(1)①( √) ; ②(√) ; ③( × ) .
……………………………………………………………………………………………….3分
(2)由题意可得 点 与点 且. 是一对
“对偶点”，由于 是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”.
从而有 两式相减可得 同理可得
所以两个一次函数为 由于b ，b 都是常数，且 故此两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和S =（b12+b22） …………………………………………6分
(3)方法一：由题意可得 a≠0，且 时，有 ,以上两式相减可得 从而将 代入①整理可得
此关于x 的一元二次方程必有实数根，由于
时， (不符合题意).
从而必有 Δ=-3+8a＞0, 解得
方法二：由题意可得 a≠0，由于函数 是“对偶函数”，所以它的图象上一定存在一对“对偶点”点A(x ,y )与点B(-y ,-x )且
不妨设经过A，B两点的直线(一次函数)的解析式为y=kx+b，由题意可得 即
联立 ①②,①-②得
由直线AB 与二次函数图象必有两个不同交点，
故必有 (*).
③-④得 将其代入(*)
可得△=1-4+8a＞0, 解得
方法三；由题意可得 a≠0，且 时，有
以上两式相减可得 以上两式相加变形可得 所以关于t的一元二次方程 必有两个不等实数根. 从而 解得 ………………………………10分
25.解: (1) 证法一: 如图1, 连接OC, OD, 过O作( 于点E.
令.
由于
则有
化简得d=r,
∴CD与该半圆相切.
证法二：
如图2，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作( 于点E.
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB,BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠M=∠1.
∵O为AB 的中点,
∴OA=OB.
在△OAM 与△OBC中
∴△OAM≌△OBC(AAS).
∴AM=BC.
∵CD=AD+BC,
∴CD=AD+AM=DM .
∴∠M=∠2.
∴∠1=∠2, 即CO平分∠BCD.
又∵OE⊥CD, OB⊥CB,
∴OE=OB.
∴CD与该半圆相切.
证法三：
如图3, 在DC上截取DE=DA, 连接OE, AE, BE.
∵DC=AD+BC=DE+CE,
∴CE=CB,
∴∠1=∠2, ∠3=∠4.
∵ AD, BC是半圆的切线,
∴AD⊥AB, BC⊥AB.
∴AD∥BC.
∴∠ADC+∠C=180°.
∵∠ADC+∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=360°,
∴∠AEB=90°.
∵O为AB的中点,
连接OD, 在△ADO和△EDO中
∴△ADO≌△EDO (SSS).
∴∠OED=∠OAD=90°.
∴OE⊥CD、
∴CD与该半圆相切..…………………………………………………3 分
(2) m=n.理由如下:
如图4, 过点C作CM⊥AD, 交AD于点M,
在△CDM中，由勾股定理可得
∵CD=AD+BC=a+b, DM =|a-b|, CM=2r,
代入可得
6分
(3) 如图5, ∵ CD, AD, BC均为该半圆的切线, ∴DA=DE, CB=CE,
∵AD⊥AB, BC⊥AB, ∴AD∥BC.
∵∠ACD=∠GCE, ∴△ACD∽△GCE.
∴∠ADC=∠GEC. ∴EG∥AD∥BC,FG∥AD∥BC.
同理可得
由(2)可知
又在Rt△ABE中,
… …10分
(本卷各题的其他合理解法均酌情给分)

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