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5.4三角函数的图像与性质
一、单选题
1．（2021高一下·会泽月考）下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019高二下·吉林期末）正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理（　　）
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
3．（2025高一上·洮北期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0，2π])的图象和直线y＝的交点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
4．函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为(　　)
A． B． C． D．
5．（2019·哈尔滨模拟）已知函数 ，点 和 是其相邻的两个对称中心，且在区间 内单调递减，则 （　　）
A． B． C． D．
6．y=sin（ωx+φ）（ω＞0）与y=a函数图象相交于相邻三点，从左到右为P、Q、R，若PQ=3QR，则a的值为（　　）
A．± B．± C．± D．±1
7．（2020高一下·上海期中）设函数 ， ，值域为 ，则以下结论错误的是（　　）
A． 的最小值为
B．a不可能等于 ，
C． 的最大值为
D．b不可能等于 ，
二、多选题
8．（2024高三上·重庆市月考）下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于点中心对称
D．图象关于直线轴对称
9．（2020高三上·黄冈月考）下列有关命题的说法正确的是（　　）
A． ，使得 成立
B．命题 ，都有 ，则 ，使得
C．函数 与函数 是同一个函数
D．若 、 、 均为正实数，且 ， ，则
三、填空题
10．（2023高一上·渝北月考）函数，的值域是　 　．
11．（2022·湖南模拟）设函数 ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　 　．
12．（2025高一上·绍兴期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则　 　.
13．（2019高一下·杭州期末）函数 的最小正周期为　 　；单调递增区间为　 　．
14．（2024高一下·九江期末）已知是函数在上的两个零点，且，则　 　，　 　.
15．（2019高三上·朝阳月考）设函数 ，若对于任意的 ，在区间 上总存在唯一确定的 ，使得 ，则 的最小值为　 　．
16．（2025高三下·北京市月考）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：
①函数是圆的一个太极函数；
②对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
③存在圆，使得是圆的一个太极函数；
④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，则.
所有正确的是　 　.
四、解答题
17．（2025高一上·阜宁期末）已知（），对任意都有．
（1）求的值；
（2）若当时方程有唯一实根，求的范围．
18．（2025高一上·大兴期末）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，，．
（1）求的值；
（2）写出函数的单调区间；
（3）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使为偶函数，直接写出一个满足题意的值．
条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（2024高一下·马山期中）设函数．
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．
20．（2023高一上·青岛期末）已知．
（1）写出的最小正周期及的值；
（2）求的单调递增区间及对称轴．
21．（2025高一下·聊城月考）如图是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．
22．（2024高一上·昌宁月考）已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值.
23．（2019高一上·蓟州月考）已知f(x)＝ sin(2x－ )，x∈[ ， ]，求：
（1）函数f(x)单调区间；
（2）f(x)最小值和最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
2．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
3．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；运用诱导公式化简求值
4．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
5．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
6．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；正弦函数的图象
8．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质
9．【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；同一函数的判定；函数单调性的性质；正弦函数的图象
10．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
11．【答案】
【知识点】余弦函数的性质
12．【答案】8
【知识点】正弦函数的性质
13．【答案】；
【知识点】正弦函数的性质
14．【答案】；
【知识点】正弦函数的性质
15．【答案】
【知识点】子集与真子集；函数的最大（小）值；正弦函数的性质
16．【答案】①④
【知识点】奇偶函数图象的对称性；正弦函数的图象
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】正弦函数的性质
18．【答案】（1），.
（2）单调递增区间，单调递减区间为.
（3）若选条件①答案不唯一；若选条件②：，答案不唯一
【知识点】正弦函数的性质
19．【答案】（1）解：，
∵，，
∴，
∴函数的最大值为，最小值为．
（2）解：，
∵该函数为偶函数，∴，得，
又∵，∴k取0，，
∴，
令，解得，
从而得到其增区间为．
【知识点】正弦函数的性质
20．【答案】（1）解：依题意，，
所以的最小正周期，.
（2）解：由（1）知，
由得：，
所以函数的单调递增区间是；
由得，，
所以函数的对称轴为.
【知识点】正弦函数的性质
21．【答案】（1）
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为，
（3），
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
22．【答案】（1）解： ，所以，该函数的最小正周期为 .
解不等式 ，得 .
因此，函数 最小正周期为 ，单调递增区间为
（2）解： ， .
当 时，即当 时，函数 取得最大值，即 ；
当 时，即当 时，函数 取得最小值，即 .
【知识点】余弦函数的性质
23．【答案】（1）解：函数f（x）的最小正周期T= = =π．
由﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ（k∈Z），
得﹣ +kπ≤x≤ +kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]（k∈Z）
（2）解：由 ，得0≤2x﹣ ≤ ，
∴﹣ ≤sin（2x﹣ ）≤1，
由此可得：当2x﹣ = 时，即x= 时，函数的最小值[f（x）]min= =﹣1；
当2x﹣ = 时，即x= 时，函数的最大值[f（x）]max= =
【知识点】正弦函数的性质
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