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1.3《全等三角形的判定》复习题
【题型1 数全等三角形的对数】
1.如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
2.如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，点C，D分别在线段，上，与相交于点E，若，，则图中全等三角形的对数为（）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
4.如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 全等三角形的动态问题】
1.如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒．
2.如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等．
3.题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整
C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整
4.如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ．
【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】
1.题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（ ）
A．点只有在线段上运动时，和才相等
B．点只有在线段的延长线上时，和才相等
C．点在运动过程中，和一直相等
D．无法判断
2.如图，
(1)试判断线段与的关系，并说明理由．
(2)证明．
3.如图1，等腰直角中，，点D是射线上的一动点，是等腰直角三角形，，连接．
(1)如图2，点D是的延长线上的一点，猜想的关系，并证明你的结论；
(2)探究的数量关系，直接写出你的结论　　　　　　．
4.如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．
(1)求证：；；
(2)若直线绕点A旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明．
(3)若直线绕点旋转到图（3）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】
1.已知和都是等腰三角形，，，．
【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或）
【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明．
【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
2.如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
3.如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接．
(1)若，则______．
(2)当点D在线段上时，求证：；
(3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由．
4.（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________；
（2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．

【题型5 结合尺规作图的全等问题】
1.（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
2.在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3.课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
4.（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论．
【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】
1.如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度．
2.如图，，，垂直平分，求证：．
3.如图，已知：，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
4.是等边三角形内一点，，，，则的度数为______．
【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】
1.如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
2.如图，在四边形中，，，，，则的面积等于( )
A. B. C. D.
3.如图，在和中，，，如果的面积那么的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.

【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】
1.已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
2.如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
3.如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么______
4.如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．

(1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想．
【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】
1.在四边形中，，，，为的中点，连接，，．
______；填“”“”或“”
______．
2.如图，，，，连结、，试着判断与的关系，并证明你的结论．
3.如图，中，平分，，若，，则的长为______．
4.如图，已知，，分别平分，．
求：度数．
判断：、、之间关系，并证明．
【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】
1.如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
(2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
2.翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是 ．
3.如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
4.如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，连接并延长交于点，试说明：．
参考答案
【题型1 数全等三角形的对数】
1.B
【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可．
【详解】令和的交点为．
都是的角平分线
是和的公共角
故选：B．
2.C
【分析】图中有3对全等三角形，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，理由为：由AB与DE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由AF=DC，两边都加上FC，得到AC=DF，利用SAS可得证；△ABF≌△DEC，理由为：由AB与DE平行利用两直线平行得到一对内错角相等，由已知两对边相等，利用SAS可得证；△BCF≌△EFC，理由为：由全等三角形对应边相等得到FB=EC，CB=EF，再由FC为公共边，利用SSS即可得证．
【详解】解：图中的全等三角形的对数为3对，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC．
△ABC≌△DEF，理由为：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
△ABF≌△DEC，理由为：
证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
∵△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC，
∴BC＝EF，BF＝EC，
在△BCF和△EFC中，
，
∴△BCF≌△EFC（SSS）．
故选：C．
3.B
【分析】根据全等三角形的判定和性质依次证明图中三角形全等即可．
【详解】解：在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
故全等的三角形有4对，
故选：B．
4.D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：是的平分线，
，
在和中，
，
，
图中有对三角形全等；
同理图中，
，
又，
，
又，
，
图中有对三角形全等；
同理图中有对三角形全等；
由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是．
故选：D．
【题型2 全等三角形的动态问题】
1.2或或4．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
分当点Q在上时以及当点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可．
【详解】解：当点Q在上时，时，，
∴，
∴，解得：．
当点Q在BC上时，
如图：当时，，， ；
∴，解得：；
如图：当时，，
∴，解得，
综上所述，满足条件的t的值为2或或4．
故答案为：2或或4．
2.或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解．
【详解】解：∵点D为的中点，
∴，
∵在中，，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴运动时间为；
当时，，
∵，
∴，
∴运动时间为，
综上所述，点Q的运动时间为或
故答案为：或．
3.A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
当时，则，，
∴，，
∴，
∴此时点的速度为；
当时，则，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴此时点的速度为；
综上，动点的速度为或，
故选：．
4.2或或6
【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴与全等分三种情况讨论：
①如图①，当，且点在上、点在上运动时，
．
此时，
∴，
解得；
②如图②，当，且点与点重合时，
．
此时，
∴，
解得；
③当，且点在上、点在上运动时，．
此时．
当点未到达终点时，
，
解得，
不符合题意，舍去．
当点到达终点时，继续运动，如图③，
此时点与点重合，，
∴，
解得．
综上所述，当的值为2或或6时，与全等．
故答案为：2或或6
【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】
1.C
【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，点在线段上运动时，
∵，，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
点在线段的延长线上时，
∵，，，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
综上可知：点在运动过程中，和一直相等，
故选：．
2.（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
3.（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，则，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：或，理由如下：
当点D是的延长线上的一点时，
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴；
当点D是线段上的一点时，
如图1，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，则，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.（1）证明：①，
，
，
，
；
又，，
，
在和中，
，
；
②，
，；
，
．
（2）解：结论：．
理由：，
，
，
，
；
又，
，
在和中，
，
，
，；
，
；
（3）解：结论是：当、在两侧时，；
理由：如图（1），由（1）②知：；
当、在同侧时，；
理由：如图（3），由（2）知：，
，；
，
．
【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】
1.解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2）解：仍然成立，证明如下：
，
即：，
在和中，
，
，
；
（3），，理由如下：
延长，分别交、于点、，
和都是等腰直角三角形，
，，，
即：，
在和中，
，
，
，，
，
即：．
2.（1）解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，
理由如下：
由可知，，
，
．
3.（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，
，
．
在和中．
，
；
（3）．理由如下：
由（2）知，
．
，
．
，
．
为等边三角形，
，
，
，
．
4.解：（1）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2），，理由如下：
延长交交于点．如图：
∵，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，，
∵，
∴，即．
故答案为：，．
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
1.解：（1）如图所示， 和为所求．
在和中，
在和中，
．
（2）如图①所示，点即为所求；
如图②所示，点即为所求；．
如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点；
如图②，∵，，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，即点E是的中点．
2.A
【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
3.（1）证明：由作图可知，在和中，
，
∴．
故答案为：．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：④．
4.解：（1）当时，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示：
（2），理由如下：
在上截取，
在和中，
，
，
，
，、分别是和的角平分线，与相交于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】
1.
【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
和中，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
2.证明：连接，，
是的垂直平分线，
．
又，，
≌．
．
3.B
【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接，如图，
在与中
，
≌ ，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
4.
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【解答】
解：连接
等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，

故答案为．
【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】
1.如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
2.C
【详解】解：如图，过点作于，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故选：．
3.A
【详解】解：作于，于，如图，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
而，
．
故选：．
4.如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.

【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】
1.（1）解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
，
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM．
（2）解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；
（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
∴MD=ME．
2.过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DF，
∵，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴ FMD CME，
∴．
3.
【分析】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．过点作的平行线，交的延长线于点，证得≌后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长．
【详解】
解：过点作的平行线，交的延长线于点，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
≌，
，
、都是等边三角形，
，即，
，
，
故答案为．
4.（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵E为的中点，
∴， ，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：．理由如下：
过E作交于F，

∵是等边三角形，
∴，．
∴，，即．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，即．
【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】
1.解：，
，
，
，
，
；
故答案为：；
延长、交于点，如图所示：
，
，
，，
点为的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
．
故答案为：．
2.解：，；
，，，
在与中，
≌，
；
延长交于，交于，则，
≌
，
，
．
3.
【详解】解：延长、长于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
4.解：，
，
，分别平分，，
，，
，
；
，
理由如下：延长，交点，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】
1.（1）解：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：（）中的结论仍然成立．
证明：如图中，延长至，使，连接，
∵， ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：结论不成立，结论：．
证明：如图中，在上截取，使，连接，
∵， ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
2.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先在上截取，连接，可证，根据全等三角形对应边相等可得、，根据可证，根据等角对等边可知，所以可证．
【详解】解：如下图所示，在上截取，连接，
，
，
在和中，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
3.解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
4.证明：如图，在上截取，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
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