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1.4《线段垂直平分线与角平分线》--角平分线的性质
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
1.如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2.如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ．
3.如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ．
4.如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
1.如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ．
3.如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

4.如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ．
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
1.已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
2.如图，于E，于F，，，则的度数是 ．
3.如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
4.如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ．
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
1.如图，在中，，点D在边上，连接，过点D作交于点，点P为线段上一动点，连接，若，则线段的最小值是 ．
2.如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为
3.在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ．
4.如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）若，，则的最小值为 ．
【题型5 利用角平分线的性质证明】
1.如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：．
2.如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：．
3.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
4.如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：．
【题型6 角平分线的判定】
1.如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分．
2.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
3.如图，锐角的两条高相交于点O，且．
(1)求证：；
(2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由．
4.在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【题型7 角平分线的应用】
1.如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
2.如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
3.如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
4.三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
1.如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是16，求的长．
2.如图，，M是的中点，平分．求证：平分．
3.如图，在中，，于点，，点在上，．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
4.如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
参考答案
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
1.B
【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以．
【详解】解：如图，过点P作，垂足为E，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
；
∴，
；
∴，
中，，
∴；
故选：B．
2.2
【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F，
平分，，，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：
3.1.8
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据，，证明，令点到的距离为，点到，的距离为，，则，再由等面积法可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则平分，
令点到的距离为，点到，的距离为，，则，
∴，
则，即：，
∴，
故答案为：1.8．
4.
【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可．
【详解】解：分别过点O作，连接，
∵点是与平分线的交点，
∴点在的角平分线上，
∴，
设，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离等于．
故答案为：．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
1.A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，
，
．
故选：A．
2.
【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：过点作于点，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：
3.
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
4.
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴，
过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
1.（1）证明：∵，的平分线分别交、于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【详解】解：，，，
点在的平分线上，
∴．
∴
∴
故答案为：
3.
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
的外角的平分线与内角平分线交于点，
，，
，
是的平分线，
∵，
∴，
∴，
平分，平分，
，，
，，
，
；
故答案为：．
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
1.6
【分析】由垂线段最短得，当时，线段的值最小，由等边对等角得，根据平行线的性质得 ，则平分，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：由垂线段最短得，当时，线段的值最小，
∵，
，
，
，
∴，即平分，
∵，当时，线段的值最小，
∴线段的最小值是：，
故答案为：6．
2.2
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由作法得：是的平分线，
当时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故答案：．
3.
【分析】首先要根据条件画出草图，如图所示，根据条件可知：点为角平分线的交点，则为到各边的距离，根据角平分线的性质：到三角形三条边的距离相等．可得，，的高都是，则，最后根据三角形三边关系即可得出．
【详解】
解：如图：点为两个内角的角平分线的交点，
为点到三边的距离
设
则
代入数据得：
的最大值为
故答案为
4. 3
【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质即可求解；
（2）如图，过点作于点，交于点，则，可证，得到，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点，由三角形面积得到，又因为是等腰三角形，得到，即的最小值是3，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵平分，，
∴，
∵，，
∴．
（2）如图，过点作于点，交于点，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点，
∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，即的最小值是3；
故答案为：①；②．
【题型5 利用角平分线的性质证明】
1.解：∵是的平分线，，，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
2.证明：∵是的角平分线
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
3.证明：∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
4.解：∵点、分别是、平分线上的点，，，，
∴，，
∴．
【题型6 角平分线的判定】
1.证明： ，，，
为的角平分线，
，
，
在和中，
，
，
平分．
2.
【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是．
【详解】解：过作于，
由题意得：，，，
平分，
，
∵，
，
，
，
、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
，
的长度是．
故答案为：．
3.（1）解： 是的高，
，
，
又 是公共边，
．
（2）解：点在的角平分线上．
理由如下：
，
，
又，
，即：
又，
点在的角平分线上．
4.（1）证明：，
，
又，，
．
（2）证明：过点作，，如图，
由（1）可知，
，，
，
，
又，，
平分．
【题型7 角平分线的应用】
1.如图所示：点即为所求．
2.A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在三条角平分线的交点处．
故选：A
3.如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
4.4
【分析】
此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知．
【详解】
解：如图
故答案为：4．
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
1.（1）解：∵，
，
，
，
，
，即．
（2）证明：过点作交于点交于点，
，
，
由（1）可知，，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分．
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
2.证明：过M作于E，
∵平分，，，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴平分．
3.（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
4.（1）解：，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．

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