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第一章《三角形》复习题--三角形的中线、角平分线、高
【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】
1.如图，在中，关于高的说法正确的是（　　）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
2.下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
3.如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 利用三角形的中线求长度】
1.在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
2.如图，是的中线，是的中线，若，则 ．

3.如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是 ．
4.如图①是一张三角形纸片，将对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与的交点记为D．
(1)请在图②中画出边上的中线；
(2)若，，求与的周长差．
【题型3 利用三角形的中线求面积】
1.如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．
2.如图所示，是的中线，是的中线．
(1)在中作边上的高；
(2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？
3.如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第2024个的面积为 ．
4.【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ．
证明：过点A作于E，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴．
【拓展探究】
（1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____；
（2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值；
【问题解决】
（3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积．
（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．）
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
1.有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙
2.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
3.在中，，是边上的高且，则的度数是
4.已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°）
【题型5 等积法求值】
1.如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ．
2.如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．16
3.如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

4.如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ．
【题型6 与角平分线有关的求值】
1.如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
2.如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ．
3.如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【题型7 与角平分线有关的证明】
1.如图，中，是角平分线，，垂足为．
(1)已知，，求的度数；
(2)若，求证：．
2.如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．

3.在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：．
4.已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接．
(1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出的数量关系；
(2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，求的大小．
【题型8 探究三角形的边、角、线】
1.如图1，，平分交于点，且
(1)若，且，求的度数．
(2)过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点．
①如图2，若，探究与的数量关系并说明理由．
②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）
2.如图，在中，AE是的高，，，
【探究发现】
（1）如图1，若AD是的平分线，求的度数；
【迁移拓展】
（2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数．
3.如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”．
(1)如图①，在规形中，若，求的度数；
(2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由．
4.数学教科书中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”.
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则．
∵（想一想为什么写出理由），
∴．
（1）如图2，在中，如果，能否证明
同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；
（2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数．
参考答案
【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】
1.B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：于点，
中，是边上的高，故A不符合题意，
，线段是边上的高，B选项符合题意；
于点，
是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
2.B
【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可．
【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意；
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意；
C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意；
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意．
故选：B．
3.B
【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案．
【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B．
故选：B．
4.D
【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D．
【详解】解：A、∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴结论A正确，故该选项不符合题意；
B、∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴结论B正确，故该选项不符合题意；
C、∵是的中线，
∴，
∴，
即，
∴结论C正确，故该选项不符合题意；
D、∵，但不一定小于，
故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【题型2 利用三角形的中线求长度】
1.A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答．
【详解】解：设，则，
当且时，即，解得：，
∴，，
∵，
∴能组成三角形，即符合题意；
当且时，即，解得：；
∴，，
∵，
∴三边不能组成三角形，即不符合题意；
综上，的长是16．
故选A．
2.12
【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，是的中线，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为：12．
3.24
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵为边上的中线，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的周长，
故答案为：24．
4.（1）解：连接，如图所示，边上的中线为所求；
（2）解：周长等于，周长等于，
由题意得，
与的周长差等于
与的周长差．
【题型3 利用三角形的中线求面积】
1.C
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积．
【详解】连接，
，的面积为3
，
，的面积为，
，
，
与等底等高，
，
图中阴影部分的面积为9，
故选：C．
2.（1）解：如图所示，为边上的高；
（2）解：是的中线，是的中线，
，，
，
的面积为36，，
，
解得，
即点到边的距离为3．
3.
【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线平分三角形面积是关键．由三角形的中线平分三角形的面积得：的面积，同理中线得：的面积，重复这样的过程，可得结论．
【详解】解：∵的面积为，边中线，
的面积，
取的中点，
的面积，
同理得的面积，
则个三角形的面积为；
故答案为：．
4.解：（1）∵点D是边上的中点，
∴，
∴；
故答案为：3；
（2）取中点E，连接，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，取中点E，连接，
则，
∴，
即，
∴四边形被平均分．
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
1.B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到答案．根据题意画出图形进行计算即可．
【详解】解：① ，
是边上的高，的平分线与边交于点F，
，乙同学正确，
② ，
是边上的高，的平分线与边交于点F，
，丙同学正确．
故选B．
2.当高AD在△ABC的内部时，如图1，
∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
当高AD在△ABC的外部时，如图2，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°，
综上，∠BAC的度数为90°或50°．
3.或
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可．
【详解】解：如图所示，当高在内部时，

∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，，
∴．
如图所示，当高在外部时，

∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
综上所述，或．
故答案为：或．
4.或
【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键；
分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可．
【详解】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O，
则，，
∴，
∴；
当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O，
则，，
∴；
故答案为：或．
【题型5 等积法求值】
1.10
【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质．
根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，即
化简可得：
解得，
则取最大值时，取最小值，
由垂线段最短可得当时，最小，
由可得，
∴的最大值为．
故答案为：10．
2.A
【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案．
【详解】解：作于点，
如图，
，垂足为，，，，
，即，
，
是线段上的任意一点，连接，
当点与点重叠时取得最小值，最小值为12，
的长不可能是11，
故选：A．
3.6
【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
故答案为：6．
4.
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，连接，，
，D为中点，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：．
【题型6 与角平分线有关的求值】
1.C
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题．
【详解】解：如图：
平分，平分，
，，
设，，，
由外角的性质得：
， ，
，解得，
，
．
故选：C．
2.
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
∴，
故答案为：；．
3.A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是和平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴,
故选：A．
4.C
【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得，再结合即可求出的度数．②当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，，再结合即可求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①如图，当点F在线段上时，
，
，
∵平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，
，
，
又，，
，
∵平分，
，
，
，
，
中，，
中，，
又，
解得．
故选：C．
【题型7 与角平分线有关的证明】
1.（1）解：，，
，
是角平分线，
，
；
（2）证明：设，则，
，
是角平分线，
，
又，
，
，
，
．
2.证明：∵在中，，，
∴．
∵平分，
∴．
∵．
∴．
3.证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.（1）解：如图1，过P作，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点Q作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∵，
∴，
由（2）知，即，
∴，
解得，
如图3，过K作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
∴的大小为．
【题型8 探究三角形的边、角、线】
1.（1）解：∵，，
∴，
，
，，
，，
∵平分，
，
；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
设，则，
∵，
，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
过点作直线，如图：
，，
，
∵，
∴；
②当点在点右侧时，过点作，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
，，
，
∵，
∴；
当点在点左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∵，
，
综上，或．
2.解：（1），，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
；
（2）和的角平分线交于点G，
，，
，，
，
即，
是的高，
，
．
3.（1）解：如图1，延长交于，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：，理由如下；
如图2，延长交于，记的夹角为，
∵分别是和的角平分线，
∴，，即，，
由题意知，，，
∴，即．
4.解：∵，
∴；
（1）证明：由折叠知，，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：由折叠知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

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