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2025 年春季学期高二期末教学质量监测
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一、二册占 30%，选择性必修第一、二、三册占 70%
．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若复数 的模为 ，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 用 1，2，3，5，6 可以组成 个无重复数字的五位偶数，则 （ ）
A 24 B. 48 C. 60 D. 72
4. 已知 ， ， ， 是平面中四个不同的点，则“ （ ）”是“ ， ， 三点共
线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知半径为 的球的表面积为 ，当 时， 的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
6. 展开式中 的系数是（ ）
A. 15 B. C. 30 D.
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7. 若 （ ， ），则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 12 D. 49
8. 若数列 满足 ， ， 的前 项和为 ，则 的整数部分为（
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 若随机变量 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 若 （ ），
则（ ）
A. B. 的值可能为 25
C. D. 值可能为 32
11. 在棱长为 2 的正方体 中，动点 在底面 内（含边界），且点 到点 的距离
等于点 到平面 的距离，点 的轨迹记为曲线 ，直线 与曲线 交于点 ，则（ ）
A. 曲线 为抛物线 一部分
B.
C. 与底面 所成角的正切值为
D. 异面直线 与 所成角的余弦值的平方为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若集合 的子集的个数为 2，则 的取值集合为______．
13. 圆 与圆 的位置关系是______．
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14. 如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取 3 粒胶囊，则这 3 粒胶囊中有 1 粒与另外 2 粒都相邻（左
右相邻或上下相邻）的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
16. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动
的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了 100 名大学生，得到的数据如表所示：
单位：人
篮球运动
性别 合计
喜欢 不喜欢
男 40 20 60
女 15 25 40
合计 55 45 100
（1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？
（2）从表中喜欢篮球运动的 55 人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取 11 人，再从
这 11 人中选取 3 人进行采访，设被采访的 3 人中女生的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
附： ．
0.1 0.05 0 01 0.005 0 001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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17. 如图，在四棱锥 中， 为正三角形， ， ， ， ，
．
（1）证明： 底面 ．
（2）过点 作平面 的垂线，指出垂足 的位置，并求四面体 的体积．
（3）求二面角 的正弦值．
18. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求正数 的取值范围；
（3）设 ，比较 与 2 的大小．
19. 已知双曲线 ： （ ， ）的焦距为 ， ，且点 在 上．
（1）求 的方程；
（2）若直线 ： 与 的右支交于点 （ ），求 的取值范围；
（3）若 ， 是 上不同的两点（异于点 ）， 的平分线垂直于 （ 为坐标原点），证明：
直线 的倾斜角为定值．
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2025 年春季学期高二期末教学质量监测
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一、二册占 30%，选择性必修第一、二、三册占 70%
．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1 题答案】
【答案】D
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】A
【5 题答案】
【答案】D
【6 题答案】
【答案】A
【7 题答案】
【答案】B
【8 题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
【9 题答案】
【答案】AC
【10 题答案】
【答案】ABD
【11 题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
【12 题答案】
【答案】
【13 题答案】
【答案】相交
【14 题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15 题答案】
【答案】（1） ；
（2） .
【16 题答案】
【答案】（1）能 （2）分布列见详解；
【17 题答案】
【答案】（1）证明见详解
（2）点 在 中点，理由见详解；
（3）
【18 题答案】
【答案】（1）答案见解析；
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（2） ；
（3） .
【19 题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
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