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4.4 一次函数的应用-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2025八上·招远期末）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·宁波期末）正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025八上·嘉兴期末）一次函数与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·茂名期末）点和都在直线上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能比较
5．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　).
A． B．
C． D．
6．（2025八上·成都期末）在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据．
时间x/分钟 6 10 15 …
时间 28 40 55 …
则加热18分钟时水的温度是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·成都期末）关于函数，下列结论正确的（　　）
A．函数图象一定经过点
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．的值随的值的增大而增大
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为
8．（2025八上·龙岗期末）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图1），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）。上午9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h（cm）与流水时间t（min）的关系如图3所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲容器的初始水面高度为30cm；
B．14：00甲容器的水流光；
C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为；
D．11：00时甲容器的水面高度为12cm。
二、填空题
9．（2024八上·夏县期末）函数的图象与y轴的交点坐标是　 　．
10．（2024八上·龙华期中）同一温度的华氏度数（℉）与摄氏度数（℃）之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是　 　℉．
11．（2024八上·宝安期中）函数和的图象相交于点，则方程的解为　 　．
12．（2025八上·余姚期末）若点 和点 是一次函数 的图象上的两点， 与 的大小关系是： 　 　（填＂＞，＜或 。
13．（2024八上·龙岗期中）如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为　 　．
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是　 　.
三、解答题
15．（2020八上·平果期末）如图，一次函数y x+6与坐标轴交于A、B两点，求点A、B的坐标.
16．（2023八上·鄞州月考）有一水箱，它的容积为，水箱内原有水，现往水箱中注水，已知每分钟注水．
（1）写出水箱内水量与注水时间的函数关系．
（2）求注水时水箱内的水量？
（3）需多长时间把水箱注满？
17．（2023八上·昆都仑期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示．
（1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
18．（2025八上·拱墅期末）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往地（此公路全程速度限定为不超过），地与地的距离为300km.甲车在上午7点离开地，以的速度向地匀速行驶（途中不停靠）.设甲车行驶的时间为，行驶路程为.
（1）写出关于的函数表达式，并求出甲车到地所需的时间.
（2）已知乙车在当天上午8点出发，以的速度向地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲，乙两车谁先到达地，并说明理由.
19．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。
20．（2025八上·镇海区期末）某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价（元／件） 90 75
售价（元／件） 120 100
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
（3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值．
四、实践探究题
21．（2025八上·苍南期末）根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
22．（2025八上·淳安期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（）求函数的“倍差函数”的表达式；
（）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（）在（）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，．若直线与有交点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数解析式为，
令，可得，
∴，
∴函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数图象与x轴交点的坐标为，
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的平移法则可得平移后的函数解析式，再求出时的值即可得解．
2．【答案】D
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：直线
∴y随x的增大而减小， 当 时，
∴若 则 同号，但不能确定y1y3的正 负，故选项A不合题意；
若 则 异号，但不能确定 的正负，故选项B不合题意；
若 则 同号，但不能确定 的正负，故选项C不合题意；
若 则x2， x3异号， 且 ， 所以 故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的增减性， 时， 时， 然后对各选项分析判断后利用排除法求解.
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入，
可得，
解得，
即一次函数与轴的交点坐标是．
故答案为：C．
【分析】将代入，解得值解题．
4．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由直线得，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答.
6．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x的解析式为，
由表格数据知：当时，； 当时，．
∴，
解得：，
∴y与x的解析式为，
当时，
（），
∴加热18分钟时水的温度是．
故答案为：B。
【分析】设y与x的解析式为，根据表格中信息可知，当时，； 当时，，将以上两组数代入解析式中，得到关于k，b二元一次方程组，求出y与x的解析式，然后再将代入解析式，然后再进行求解即可。
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵当时，，
∴函数图象不经过点，故此选项结论错误，不符合题意；
B、∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故此选项结论错误，不符合题意；
C、∵，
∴的值随的值的增大而减小，故此选项结论错误，不符合题意，
D、当，，
当，由得，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故此选项结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将代入函数解析式，算出对应的函数值，将该函数值与比较即可判断A选项；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断B选项；在一次函数“y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）”中，当a＞0时，y随X的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断C选项；根据一次函数图象与纵坐标轴交点的坐标特点“与x轴交点纵坐标为零，与y轴交点横坐标为零”求出函数图象与两坐标轴的交点，进而根据三角形面积计算公式计算即可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图3可知.
甲容器的初始水面高度为30cm，故选项A正确，不符合题意；
水面每小时下降的高度为6cm，
30÷6=5(h)，9+5=14(h)，
即14：00甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意；
设h=kt+b，
∵点（0，30)和点(60，24)在该函数图象上，
，解得：
即甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，故选项C正确，符合题意；
11：00时甲容器的水面高度为：
-0.1×（11-9)×60+30=18(cm），故选项C错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入y=3x-4得，y=0-4=-4，
∴ 函数的图象与y轴的交点坐标 为（0，-4）.
故答案为：（0，-4）.
【分析】根据直线与y轴相交的点的坐标特征“横坐标=0”可求解.
10．【答案】41
【知识点】函数值；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：将x=5代入，可得：y=×5+32=41，
故答案为：41.
【分析】将x=5直接代入解析式求出y的值即可.
11．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由题意知的解为两直线交点的横坐标
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数图象的交点与一次方程解的关系.根据题意可得，方程的解为其交点的横坐标，进而可知的解为两直线交点的横坐标，再找出两直线交点的横坐标，据此可求出方程的解.
12．【答案】＞
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：y1=-2×（-3）+3=9，y2=-2×2+3=-1，∴y1＞y2
故答案为：＞。
【分析】本题将P和Q点分别代入一次函数中，求出y1和y2的值之后比较大小即可。
13．【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当y=0时，则x=4，即A（4，0）
当x=0时，则y=3，即B（0，3）
∴OA=4，OB=3
∴
①当点A落在y轴正半轴上时
设点C的坐标为（m，0）
由折叠可得：A'O=3+5=8，A'C=AC=4-m
∵
∴
解得：m=-6
②当点A落在y轴负半轴上时
设点C的坐标为（m，0）
由折叠可得：A'O=5-3=2，A'C=AC=4-m
∵
∴
解得：
综上所示，当点落在轴上时，点的坐标为或
故答案为：或
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A，B点坐标，则OA=4，OB=3，再根据勾股定理可得AB=5，分情况讨论：①当点A落在y轴正半轴上时，设点C的坐标为（m，0）根据折叠性质可得A'O=3+5=8，A'C=AC=4-m，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当点A落在y轴负半轴上时，设点C的坐标为（m，0）根据折叠性质可得A'O=5-3=2，A'C=AC=4-m，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，
∵线段AB所在直线的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴AO=BO=4，
∴AB，OM相互垂直平分，
∴四边形AOBM是正方形，
∴点M(4，4)，
∵点C(0，2)，
∴P0+PC的最小值为CM，
∴CM=.
故答案为：.
【分析】作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，PO+PC的最小值为CM，分别求出点A，B的坐标，证明四边形AOBM是正方形，即可求出点M的坐标，即可求出CM的长度，也就是PO+PC的最小值.
15．【答案】解：当x=0时，y x+6=6，则A（0，6）；
当y=0时 x+6=0，解得：x=8，则B（8，0）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】分别计算自变量为0时对应的函数值和函数值为0对应的自变量的值可确定A、B点的坐标.
16．【答案】（1）解：依题意得：水箱内水量与注水时间的函数关系是：
（2）解：解：把代入中，
可得，
答：求注水时水箱内的水量是
（3）解：解：把代入
可得（min）．
答：需把水箱注满
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出解析式，即可求得；
（2）将t=18代入（1）中的解析式，即可求得；
（3）将代入（1）中解析式，即可求得.
17．【答案】解：（1）设与t之间的函数关系式为．
把，分别代入，得
解得
∴与时间t之间的函数关系式为：
， t的取值范围是；
（2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个，
故甲的工作效率为每小时加工零件40个．
甲组共加工（时），
得（个）．
∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；
（3）由题意可知，当时，由于工作效率没变，
∴．
当时，
，
解得．
答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）直线经过两点（5，0）与（8，360），采用待定系数法确定解析式即可；
（2）由图象知，甲前3小时加工120个，从而根据工作效率等于工作总量除以工作时间，可求出甲组每小时所做的零件数；结合图象用总时间减去修机器的时间1小时就是甲组工作时间，从而可确定甲组的工作总量a的值；
（3）确定再次工作时甲的解析式，根据“ 甲、乙两组加工零件的总数为480个 ”列方程求解即可．
18．【答案】（1），当时，，
所以甲车需要5个小时到达地
（2）甲车在当天中午12点到达地，
乙车的行驶时间：小时小时，
所以乙车在中午12点前到达地，
所以乙车先到达地
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可写出s与t的函数关系式，再令s=300，即可求出甲车到达B地的时间；
（2）由（1）可知，甲到达的B地的时间是12点，再求出乙车的行驶时间，判断出乙车在12点之前达到，即可解答.
19．【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x，
∴2k1= 4，2k+ 5=4，
∴k1=2，k=，
∴正比例函数解析式为：y=2x
（2）如图，连接OM，
由条件可知OB=5，
∴S△BOC=×5×2=5，
∴S△BOM= 2S△BOC = 10，
∴点M的横坐标为4或-4，
∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7，
∴M的坐标为(4，3)，（-4，7）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解；
(2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标.
20．【答案】（1）解：根据题意，得 2500，
∴y关于x的函数关系式为
（2）解：根据题意，得 解得
∴y随x的增大而增大，
且x为非负整数，
∴当 时， y值最大，
(件)
答：购进A款衣服66件、B款衣服34件才能获得最大利润，最大利润为2830元
（3）解：商场实施奖励计划后，商场总利润
根据题意，得，解得，
答： m的值为10， n的值为5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“总利润=每件A款衣服的利润×购进A款衣服件数+每件B款衣服的利润×购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式即可；
(2)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时100--x的值即可；
(3)根据“商场实施奖励计划后，商场总利润=(A款衣服的售价-A款衣服的进价 购进A款衣服件数+(B款衣服的售价-B款衣服的进价 购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式，整理成为y关于x的一次函数的一般形式，令x的系数为0、常数项为2000列关于m和n的二元一次方程组并求解即可.
21．【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
22．【答案】解：（）∵，
∴，
即；
（）∵点在函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵函数的“倍差函数”的表达式为，
∴点的坐标为，
∵与点的纵坐标的和为，
∴．
解得，
∴点的坐标为；
（）由（）可得：点的坐标为，，
∵直线交轴于点，
∴点，
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵直线与有交点，
∴直线与线段有交点即可，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（）利用 “倍差函数”的定义计算解题；
（）先得到点的坐标，然后利用“倍差点”的定义解题即可；
（）得到的坐标，即可画出，利用函数图象得到临界值解题即可.
1 / 14.4 一次函数的应用-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2025八上·招远期末）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数解析式为，
令，可得，
∴，
∴函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数图象与x轴交点的坐标为，
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的平移法则可得平移后的函数解析式，再求出时的值即可得解．
2．（2025八上·宁波期末）正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：直线
∴y随x的增大而减小， 当 时，
∴若 则 同号，但不能确定y1y3的正 负，故选项A不合题意；
若 则 异号，但不能确定 的正负，故选项B不合题意；
若 则 同号，但不能确定 的正负，故选项C不合题意；
若 则x2， x3异号， 且 ， 所以 故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的增减性， 时， 时， 然后对各选项分析判断后利用排除法求解.
3．（2025八上·嘉兴期末）一次函数与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入，
可得，
解得，
即一次函数与轴的交点坐标是．
故答案为：C．
【分析】将代入，解得值解题．
4．（2025八上·茂名期末）点和都在直线上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能比较
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由直线得，，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
5．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答.
6．（2025八上·成都期末）在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据．
时间x/分钟 6 10 15 …
时间 28 40 55 …
则加热18分钟时水的温度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与x的解析式为，
由表格数据知：当时，； 当时，．
∴，
解得：，
∴y与x的解析式为，
当时，
（），
∴加热18分钟时水的温度是．
故答案为：B。
【分析】设y与x的解析式为，根据表格中信息可知，当时，； 当时，，将以上两组数代入解析式中，得到关于k，b二元一次方程组，求出y与x的解析式，然后再将代入解析式，然后再进行求解即可。
7．（2025八上·成都期末）关于函数，下列结论正确的（　　）
A．函数图象一定经过点
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．的值随的值的增大而增大
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵当时，，
∴函数图象不经过点，故此选项结论错误，不符合题意；
B、∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故此选项结论错误，不符合题意；
C、∵，
∴的值随的值的增大而减小，故此选项结论错误，不符合题意，
D、当，，
当，由得，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故此选项结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将代入函数解析式，算出对应的函数值，将该函数值与比较即可判断A选项；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断B选项；在一次函数“y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）”中，当a＞0时，y随X的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断C选项；根据一次函数图象与纵坐标轴交点的坐标特点“与x轴交点纵坐标为零，与y轴交点横坐标为零”求出函数图象与两坐标轴的交点，进而根据三角形面积计算公式计算即可判断D选项.
8．（2025八上·龙岗期末）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图1），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）。上午9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h（cm）与流水时间t（min）的关系如图3所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲容器的初始水面高度为30cm；
B．14：00甲容器的水流光；
C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为；
D．11：00时甲容器的水面高度为12cm。
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图3可知.
甲容器的初始水面高度为30cm，故选项A正确，不符合题意；
水面每小时下降的高度为6cm，
30÷6=5(h)，9+5=14(h)，
即14：00甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意；
设h=kt+b，
∵点（0，30)和点(60，24)在该函数图象上，
，解得：
即甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，故选项C正确，符合题意；
11：00时甲容器的水面高度为：
-0.1×（11-9)×60+30=18(cm），故选项C错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题
9．（2024八上·夏县期末）函数的图象与y轴的交点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入y=3x-4得，y=0-4=-4，
∴ 函数的图象与y轴的交点坐标 为（0，-4）.
故答案为：（0，-4）.
【分析】根据直线与y轴相交的点的坐标特征“横坐标=0”可求解.
10．（2024八上·龙华期中）同一温度的华氏度数（℉）与摄氏度数（℃）之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是　 　℉．
【答案】41
【知识点】函数值；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：将x=5代入，可得：y=×5+32=41，
故答案为：41.
【分析】将x=5直接代入解析式求出y的值即可.
11．（2024八上·宝安期中）函数和的图象相交于点，则方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由题意知的解为两直线交点的横坐标
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数图象的交点与一次方程解的关系.根据题意可得，方程的解为其交点的横坐标，进而可知的解为两直线交点的横坐标，再找出两直线交点的横坐标，据此可求出方程的解.
12．（2025八上·余姚期末）若点 和点 是一次函数 的图象上的两点， 与 的大小关系是： 　 　（填＂＞，＜或 。
【答案】＞
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：y1=-2×（-3）+3=9，y2=-2×2+3=-1，∴y1＞y2
故答案为：＞。
【分析】本题将P和Q点分别代入一次函数中，求出y1和y2的值之后比较大小即可。
13．（2024八上·龙岗期中）如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当y=0时，则x=4，即A（4，0）
当x=0时，则y=3，即B（0，3）
∴OA=4，OB=3
∴
①当点A落在y轴正半轴上时
设点C的坐标为（m，0）
由折叠可得：A'O=3+5=8，A'C=AC=4-m
∵
∴
解得：m=-6
②当点A落在y轴负半轴上时
设点C的坐标为（m，0）
由折叠可得：A'O=5-3=2，A'C=AC=4-m
∵
∴
解得：
综上所示，当点落在轴上时，点的坐标为或
故答案为：或
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A，B点坐标，则OA=4，OB=3，再根据勾股定理可得AB=5，分情况讨论：①当点A落在y轴正半轴上时，设点C的坐标为（m，0）根据折叠性质可得A'O=3+5=8，A'C=AC=4-m，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当点A落在y轴负半轴上时，设点C的坐标为（m，0）根据折叠性质可得A'O=5-3=2，A'C=AC=4-m，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是　 　.
【答案】2
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，
∵线段AB所在直线的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴AO=BO=4，
∴AB，OM相互垂直平分，
∴四边形AOBM是正方形，
∴点M(4，4)，
∵点C(0，2)，
∴P0+PC的最小值为CM，
∴CM=.
故答案为：.
【分析】作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，PO+PC的最小值为CM，分别求出点A，B的坐标，证明四边形AOBM是正方形，即可求出点M的坐标，即可求出CM的长度，也就是PO+PC的最小值.
三、解答题
15．（2020八上·平果期末）如图，一次函数y x+6与坐标轴交于A、B两点，求点A、B的坐标.
【答案】解：当x=0时，y x+6=6，则A（0，6）；
当y=0时 x+6=0，解得：x=8，则B（8，0）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】分别计算自变量为0时对应的函数值和函数值为0对应的自变量的值可确定A、B点的坐标.
16．（2023八上·鄞州月考）有一水箱，它的容积为，水箱内原有水，现往水箱中注水，已知每分钟注水．
（1）写出水箱内水量与注水时间的函数关系．
（2）求注水时水箱内的水量？
（3）需多长时间把水箱注满？
【答案】（1）解：依题意得：水箱内水量与注水时间的函数关系是：
（2）解：解：把代入中，
可得，
答：求注水时水箱内的水量是
（3）解：解：把代入
可得（min）．
答：需把水箱注满
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出解析式，即可求得；
（2）将t=18代入（1）中的解析式，即可求得；
（3）将代入（1）中解析式，即可求得.
17．（2023八上·昆都仑期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示．
（1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
【答案】解：（1）设与t之间的函数关系式为．
把，分别代入，得
解得
∴与时间t之间的函数关系式为：
， t的取值范围是；
（2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个，
故甲的工作效率为每小时加工零件40个．
甲组共加工（时），
得（个）．
∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；
（3）由题意可知，当时，由于工作效率没变，
∴．
当时，
，
解得．
答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）直线经过两点（5，0）与（8，360），采用待定系数法确定解析式即可；
（2）由图象知，甲前3小时加工120个，从而根据工作效率等于工作总量除以工作时间，可求出甲组每小时所做的零件数；结合图象用总时间减去修机器的时间1小时就是甲组工作时间，从而可确定甲组的工作总量a的值；
（3）确定再次工作时甲的解析式，根据“ 甲、乙两组加工零件的总数为480个 ”列方程求解即可．
18．（2025八上·拱墅期末）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往地（此公路全程速度限定为不超过），地与地的距离为300km.甲车在上午7点离开地，以的速度向地匀速行驶（途中不停靠）.设甲车行驶的时间为，行驶路程为.
（1）写出关于的函数表达式，并求出甲车到地所需的时间.
（2）已知乙车在当天上午8点出发，以的速度向地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲，乙两车谁先到达地，并说明理由.
【答案】（1），当时，，
所以甲车需要5个小时到达地
（2）甲车在当天中午12点到达地，
乙车的行驶时间：小时小时，
所以乙车在中午12点前到达地，
所以乙车先到达地
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可写出s与t的函数关系式，再令s=300，即可求出甲车到达B地的时间；
（2）由（1）可知，甲到达的B地的时间是12点，再求出乙车的行驶时间，判断出乙车在12点之前达到，即可解答.
19．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。
【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x，
∴2k1= 4，2k+ 5=4，
∴k1=2，k=，
∴正比例函数解析式为：y=2x
（2）如图，连接OM，
由条件可知OB=5，
∴S△BOC=×5×2=5，
∴S△BOM= 2S△BOC = 10，
∴点M的横坐标为4或-4，
∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7，
∴M的坐标为(4，3)，（-4，7）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解；
(2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标.
20．（2025八上·镇海区期末）某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价（元／件） 90 75
售价（元／件） 120 100
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
（3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值．
【答案】（1）解：根据题意，得 2500，
∴y关于x的函数关系式为
（2）解：根据题意，得 解得
∴y随x的增大而增大，
且x为非负整数，
∴当 时， y值最大，
(件)
答：购进A款衣服66件、B款衣服34件才能获得最大利润，最大利润为2830元
（3）解：商场实施奖励计划后，商场总利润
根据题意，得，解得，
答： m的值为10， n的值为5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“总利润=每件A款衣服的利润×购进A款衣服件数+每件B款衣服的利润×购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式即可；
(2)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时100--x的值即可；
(3)根据“商场实施奖励计划后，商场总利润=(A款衣服的售价-A款衣服的进价 购进A款衣服件数+(B款衣服的售价-B款衣服的进价 购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式，整理成为y关于x的一次函数的一般形式，令x的系数为0、常数项为2000列关于m和n的二元一次方程组并求解即可.
四、实践探究题
21．（2025八上·苍南期末）根据提供的材料解决问题．
材料一 内容
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【答案】解：任务一：设直线函数解析式为
由题意可得：，
直线函数解析式为
任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为，甲葡萄的进货量为
乙葡萄的利润
甲葡萄的利润
因为
时，利润最大
即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤．
任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤
总成本（元）
让利给购买者后的利润（元）
总销售额为：（元）
销售价 =19100÷2000=9.55（元/斤）
即销售价应定为：9.55（元/斤）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据待定系数法求函数解析式，利用函数图象点的坐标求解函数. 需要根据给出的两点M(50，600)和N(100，1100)代入一次函数通式y=kx+b（k≠0），构造二元一次方程组，求解即可求出函数解析式；
（2）本题考考查了一次函数的实际应用-销售问题及一次函数图象的性质.一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.本题解题的关键是根据题意列出400≤x≤1000，再根据题目中数量关系表示出总利润w的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出w的最大值.
（3）根据（1）、（2）的结论，计算出总成本和让利后的总利润，再求出总销售额.最后用总销售额除以总重量即可求出混合销售价格.
22．（2025八上·淳安期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（）求函数的“倍差函数”的表达式；
（）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（）在（）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，．若直线与有交点，求的取值范围．
【答案】解：（）∵，
∴，
即；
（）∵点在函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵函数的“倍差函数”的表达式为，
∴点的坐标为，
∵与点的纵坐标的和为，
∴．
解得，
∴点的坐标为；
（）由（）可得：点的坐标为，，
∵直线交轴于点，
∴点，
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵直线与有交点，
∴直线与线段有交点即可，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（）利用 “倍差函数”的定义计算解题；
（）先得到点的坐标，然后利用“倍差点”的定义解题即可；
（）得到的坐标，即可画出，利用函数图象得到临界值解题即可.
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