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第4章 基本平面图形（单元培优卷 北师大版）
考试时间：120分钟，满分：120分
选择题：共10题，每题3分，共30分。
1．如图所示，射线在东北方向，，则的方向是（ ）
A．南偏西 B．西偏南 C．西偏南 D．南偏西
2．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（ ）
A．如图甲所示，直线不经过点P
B．如图乙所示，直线a与直线b交于点O
C．如图丙所示，点C在线段上
D．如图丁所示，线段与射线一定相交
4．周长是的圆，面积是（　　）平方厘米．
A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26
5．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．下列说法中正确的语句共有(　　　)
①直线与直线是同一条直线；②直线总比线段长；③射线与射线表示同一条射线；④连接两点的线段叫两点间的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　）
A．4 B．15 C．3或15 D．4或10
9．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（ ）
A． B． C． D．
10．（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
二、填空题：共6题，每题3分，共18分。
11．已知的余角等于，那么 度．
12．一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）．
13．如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ．
14．如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ．
15．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则 ．
16．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。
17．（4分）如图，，，，，都为格点，，．
(1)在图中找出一个格点，连接，使得；
(2)在图中找出一个格点，连接，使得．
18．（4分）如图，C是线段上一点，且，D是的中点，E是的中点，．
(1)求线段的长；
(2)求．
19．（6分）如图，已知四点，请用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹）
(1)作直线；
(2)作射线；
(3)在线段上取点E，使的值最小．
20．（6分）如图，为直线上一点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由．
21．（8分）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示．
(1)求的面积；
(2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号．
22．（10分）如图，已知B、C在线段上．
(1)图中共有 条线段．
(2)若．
①比较线段的长短： （填“”、“”或“”）．
②若，，求的长度．
23．（10分）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
24．（12分）如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由．
(2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°．
25．（12分）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
第4章 基本平面图形（单元培优卷 北师大版）
考试时间：120分钟，满分：120分
选择题：共10题，每题3分，共30分。
1．如图所示，射线在东北方向，，则的方向是（ ）
A．南偏西 B．西偏南 C．西偏南 D．南偏西
【答案】D
【详解】解：∵射线在东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴射线的方向是南偏西．
故选：D．
2．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【详解】如下图所示：则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有3条：倾斜的三颗黑色的，水平的三颗白色的，右上角的白子到左下角的白子．
故选B．
3．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（ ）
A．如图甲所示，直线不经过点P
B．如图乙所示，直线a与直线b交于点O
C．如图丙所示，点C在线段上
D．如图丁所示，线段与射线一定相交
【答案】C
【详解】解：如图甲所示，直线不经过点P，描述正确，故A不符合题意；
如图乙所示，直线a与直线b交于点O，描述正确，故B不符合题意；
如图丙所示，点C在直线上，原描述错误，故C符合题意；
如图丁所示，线段与射线一定相交，描述正确，故D不符合题意；
故选C
4．周长是的圆，面积是（　　）平方厘米．
A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26
【答案】D
【详解】解：（厘米），
（平方厘米）
故选：D．
5．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
6．下列说法中正确的语句共有(　　　)
①直线与直线是同一条直线；②直线总比线段长；③射线与射线表示同一条射线；④连接两点的线段叫两点间的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①直线与直线是同一条直线，故此说法正确；
②直线没有长度，故此说法错误；
③射线与射线不表示同一条射线，它们的方向不一致，故此说法错误；
④连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故此说法错误；
正确的语句只有一个，即①，
故选：A
7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：第1个图中，，符合题意；
第2个图中，根据同角的余角相等，，符合题意；
第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：，，
∴，符合题意；
第4个图中，根据图形可知与是邻补角，
∴，不符合题意；
综上， 的图形有3个．
故选：C．
8．如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　）
A．4 B．15 C．3或15 D．4或10
【答案】D
【详解】解：∵D为的中点，，
∴，，
∵，
∴，
如图1，当点在点右侧，
∵，
∴，
∴；
如图2，当点在点左侧，
∵，
∴，
故的长为4或10，
故选：D．
9．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，
根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短，
故选：．
10．（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图：
答：阴影部分的面积为
故选： B．
二、填空题：共6题，每题3分，共18分。
11．已知的余角等于，那么 度．
【答案】
【详解】解：∵的余角等于，
∴，
故答案为：．
12．一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）．
【答案】
【详解】解：依题意，这个花坛的实际种花面积为，
故答案为：．
13．如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ．
【答案】 小 两点之间线段最短
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴四边形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原四边形的周长，
故答案为：小；两点之间线段最短．
14．如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ．
【答案】58
【详解】解：以为端点的线段有：，，，，
以为端点的线段有：，，，
以为端点的线段有：，，
以为端点的线段有：，
，
故答案为：．
15．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则 ．
【答案】12
【详解】解：由题意，得：，解得．
多边形的边数为12，即它是十二边形．
故答案为：12．
16．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
【答案】4或24
【详解】①如图，，，
∵点D是折线的“折中点”，
∴，
∵点E为线段的中点，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，，，
∵点D是折线的“折中点”，
∴，
∵点E为线段的中点，
∴
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为4或24，
故答案为：4或24．
三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。
17．（4分）如图，，，，，都为格点，，．
(1)在图中找出一个格点，连接，使得；
(2)在图中找出一个格点，连接，使得．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【详解】（1）解：如图：点即为所求．
（2）解：如图：点即为所求．
18．（4分）如图，C是线段上一点，且，D是的中点，E是的中点，．
(1)求线段的长；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵
∴设，则，
因为D是的中点，E是的中点，
所以，
所以，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，，，
∴，
∴．
19．（6分）如图，已知四点，请用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹）
(1)作直线；
(2)作射线；
(3)在线段上取点E，使的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如上图，射线即为所求；
（3）如上图，设与交于点E，
则，为最小值，
则点E即为所求．
20．（6分）如图，为直线上一点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
【详解】（1）解：由角平分线的定义，得，
．
由邻补角的定义，得，
；
（2）解：，理由如下：
平分，
，
，
，，
21．（8分）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示．
(1)求的面积；
(2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号．
【答案】(1)1
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，
∴，
∵正方形的边长为4，
∴；
（2）解：如图，
22．（10分）如图，已知B、C在线段上．
(1)图中共有 条线段．
(2)若．
①比较线段的长短： （填“”、“”或“”）．
②若，，求的长度．
【答案】(1)6
(2)①；②16
【详解】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条，
故答案为：6．
（2）解：①∵，
∴，
即，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（10分）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线，
∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为，
故答案为：；
（2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次，
∴n边形所有对角线的条数为；
（3）解：把代入，得，
∴一个十边形的对角线的条数为．
24．（12分）如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由．
(2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°．
【答案】(1)直线平分，理由见解析
(2)30
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即直线平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30．
25．（12分）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1)1；2
(2)2；3
(3)；
(4)103
【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，，
∴，
故答案为：103．

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