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四川省眉山市2024-2025学年八年级下学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题
1．下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C． D．3
2．年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．分式中，当的值都扩大3倍时，分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．不变
5．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对边平行且相等 B．对角线相等的四边形是矩形
C．菱形的对角线互相垂直平分且相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．某校在“五四”歌咏比赛中，八年级甲，乙两个班都进行了《爱我中华》的诗歌朗诵，每个班参加表演的八位同学身高的折线统计图如下，则甲，乙两个班参加演出同学身高的方差，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．直线与交于点，关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将沿着对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数，其中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．小亮从家跑步到篮球馆打篮球，再去图书馆看书，最后散步回家，小亮离家距离y（米）与时间x（分）之间的关系如图，下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到篮球馆用了5分钟 B．小亮打篮球的时间是35分钟
C．图书馆到小亮家的距离是400米 D．小亮从篮球馆到图书馆平均每分钟走75米
12．如图，正方形中，，，交于点M，连接，点H是的中点，连接，点G在上，下列结论中：①；②；③；④当时，的最小值是；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．计算： ．
14．已知菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为 ．
15．如图，在矩形中，，对角线与交于点O，E为边上一个动点，，垂足分别为点F，G，则 ．
16．如图，中，，，点在上，四边形是平行四边形，则的最小值是 ．
17．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C，D在x轴上，四边形是平行四边形，且面积为5，则k的值是 ．
18．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ．
三、解答题
19．解方程
20．先化简，再求值：，其中．
21．某校八年级甲，乙两班学生进行安全知识测试，测试完成后分别随机抽取了10名学生成绩统计如下（分值为10分制，单位：分）：
甲班：10，9，7，8，9，10，6，8，7，8；
乙班：8，7，10，9，7，10，7，9，9，7．
根据以上信息解答下列问题：
(1)直接写出甲班10名学生成绩的众数：______；
(2)直接写出甲，乙两个班级10名学生成绩的中位数：甲______，乙______；
(3)求乙班10名学生成绩的平均数．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)连结，，求的面积．
23．如图，在矩形中，点是矩形对角线的中点，过点作交于点，交于点，连结，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
24．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？
25．如图，在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移4个单位长度，交轴于点，交轴于点，在线段上有一点，连结，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上．
(1)直接写出直线的解析式：______；
(2)求点的坐标；
(3)在坐标平面内有一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
26．综合与实践：学生学行四边形，矩形，菱形，正方形，老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．下面是老师引导学生对四边形的探究：四边形形中，点在边上，点不与四边形顶点重合，．
【操作发现】如图1，四边形是平行四边形，，，把绕点逆时针旋转得，若点在同一条直线上，可得到以下结论：①，②为等边三角形，③
根据结论①可以得到：______，
根据结论①②③可以得到：______．（填图1中的一条线段）
【初步探究】如图2，四边形是菱形，．
求证：；
【深入探究】如图3，四边形是正方形，，分别交对角线于点．求证：；
【拓展延伸】如图4，四边形是矩形，，直接写出之间的数量关系：______．
参考答案
1．B
解：A．：分母为常数2，不含字母，属于整式，故A不符合题意；
B．：分母为字母，符合分式定义，故B符合题意；
C．：分母为圆周率（常数），不含字母，属于整式，故C不符合题意；
D．：无分母，属于整式，故D不符合题意．
故选：Ｂ．
2．C
解：∵，
故选：C．
3．D
解：关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点关于轴对称的点的坐标是．
故选：D．
4．D
解：当和都扩大到原来的3倍时，新的分式为：．
化简后结果与原分式相同，因此分式的值不变．
故选：D
5．A
解：A．平行四边形的对边平行且相等，符合平行四边形的基本性质，故A正确，符合题意；
B．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形，故B错误，不符合题意；
C．菱形的对角线互相垂直平分，但长度不一定相等（仅正方形时相等），故C错误，不符合题意；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，需对角线相等才是正方形，故D错误，不符合题意．
故选A．
6．C
解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定，
∴，
故选：C．
7．B
解：将点代入，
得，
∴，
∵直线与交于点，
∴方程组的解为．
故选：B．
8．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
故选：A．
9．C
压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C．
10．C
解：A、∵反比例函数经过第二、四象限，则，此时一次函数经过第一、三象限，则，故该选项不符合题意；
B、∵反比例函数经过第一、三象限，则，此时一次函数经过第二、四象限，则，故该选项不符合题意；
C、∵反比例函数经过第二、四象限，则，此时一次函数经过第一、二、四象限，则，故该选项符合题意；
D、∵反比例函数经过第二、四象限，则，此时一次函数经过第一、三象限，则，故该选项不符合题意；
故选：C
11．B
解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到篮球馆用了5分钟，故该选项正确，不符合题意；
B. 小亮打篮球的时间是（分钟），故该选项错误，符合题意；
C. 从函数图象可得出，图书馆到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意；
D. 小亮从篮球馆到图书馆平均每分钟走（米），故该选项正确，不符合题意．
故选：B．
12．D
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
即，故①正确；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
连接，取的中点N，连接，，如图所示：
∵，H为的中点，
∴，
同理得：，
∴，
∵N为的中点，H为的中点，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当N、H、C三点在同一直线上时，最小，即最小，即的长，
连接，过点N作于点L，延长交于点K，如图所示：
，
∵在正方形中，，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵N为中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②③④共4个．
故选：D．
13．
解：，
故答案为：．
14．24
解：如图所示：
依题意，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴
则菱形的面积为，
故答案为：24
15．4.8
解：连接，过点B作与点H，如下图：
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
即，
∴，
故答案为：4.8
16．
令与的交点为
四边形是平行四边形
求最小值即最小值
当时，最小
故答案为：．
17．
解：点A在反比例函数的图象上，
设，
四边形ABCD是平行四边形，点C，D在x轴上，
轴，
点B的纵坐标为，
点B在反比例函数的图象上，
点B的横坐标为，
，
四边形ABCD是平行四边形，且面积为5，
，
解得，
故答案为：．
18．
解：过点作轴，
∵为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：；
故答案为：．
19．
解：方程两边同时乘乘（），得 ：
解得
检验：当时，；
故原分式方程的解为．
20．，1
解：
，
∵，
∴．
21．(1)8
(2)
(3)
（1）解：在甲班10名学生成绩中，8分出现次数为3次，且出现次数最多，
∴甲班10名学生成绩的众数：8；
（2）解：依题意，排序后：
甲班：10，10，9，9，8，8，8，7，7，6；
乙班：10，10，9，9，9，8，7，7，7，7．
∵抽取了10名学生成绩，
∴中位数排在第5和6名，
∴甲班级10名学生成绩的中位数是
∴乙班级10名学生成绩的中位数是
故答案为：；
（3）解：依题意，，
∴乙班10名学生成绩的平均数为．
22．(1)，
(2)或
(3)8
（1）解：依题意，把代入，
得，
∴，
则，
把代入，
得，
∴，
把和分别代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：根据图象，不等式的解集为或；
（3）解：记与x轴的交点为，如图所示：

由（1）得直线的解析式为
令则，
解得，
则，
由（1）得，
∴的面积
．
23．(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：四边形是矩形，
，
为对角线的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）
解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，，，
，，
在中，由勾股定理得，
即
解得，
所以的长为．
24．(1)购买1件甲种农机具需要万元，购买1件乙种农机具需要万元
(2)购买这批农机具最少要用65万元
（1）解：设购买1件甲种农机具需要万元，则购买1件乙种农机具需要万元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
∴，
答：购买1件甲种农机具需要万元，购买1件乙种农机具需要万元；
（2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件，
由题意，得：，
解得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值；
答：购买这批农机具最少要用65万元．
25．(1)
(2)
(3)或或
（1）解：根据平移的性质可得，直线的解析式为
，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作轴，交轴于点，
由解析式得，
，
∴，
，
，
由旋转的性质可得，
又，
∴，
∴，
假设，则，
∴，代入得，
，
解得，
∴；
（3）解：①如图，当为平行四边形对角线时，过点轴，交轴于点，
由平行四边形的性质可得，，
∴，
又∵，
∴，
，
由解析式得，当时，，
∴，
∴，
，
此时，；
②如图，当为平行四边形对角线时，
此时，，
，即；
③如图，当为平行四边形对角线时，
此时，，
，即；
综上，或或．
26．[操作发现] ，；[初步探究]见解析；[深入探究] 见解析；[拓展延伸]
[操作发现]
解：∵，，
∴，
，
∵把绕点逆时针旋转得，
∴，
∴，，，
，
，
又，
，
，
∵点在同一条直线上，
∴，
又为等边三角形，
∴，
∴，
即
故答案为：，；
[初步探究]
把绕点逆时针旋转得，如图，
∴，
∴，，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴与重合，
连结，
与[操作发现]同理可证：，
，
是的一条边，
，
，
即；
[深入探究]
将绕点B顺时针旋转得到，
则，与是对应边，
，，，，
连结，
，，
，
，
，
，
又，
，
∵将绕点B顺时针旋转得到，与是对应边，
∴与成角，
即，
，
；
[拓展延伸]
在上截取，连结，在上截取，连结，
设，，
，
，
∵四边形是矩形，
∴，，，
，，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，解得：（舍去）或，
，
，，
，
，
．

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