资源简介

6．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道名题为“宝塔装灯”，
福安市 2021 年初中生综合文化素质竞赛
内容为如下：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？
数学科试卷 （倍加增指相邻两层中下面层数是上面层数的 2倍），那么塔的顶层有（ ）盏灯．
100 60 A．2 B．3 C．4 D．5（满分： 分 时间： 分钟 ）
2 2
姓名：___________ 座位号：_________ 3 2 x 4 3 x2 3
2
4 x
7．某组数据方差计算公式为：s ，由公式提供的信息，
n
友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效．
下列结论错误的是（ ）
一、选择题（本大题有 8小题，每小题 4分，共 32分．每小题只有一个正确的选项，请将 A．样本的容量是 3 B．样本的中位数是 3
答案填入答．题．卡．的相应位置） C．样本的众数是 3 D．样本的平均数是 3
1．下列实数中，是负数的是（ ）
8．如图，△AOB为等腰三角形，OA＝AB，顶点 A的坐标（4，3），底边 OB在 x轴上
A．﹣（﹣3） B．（﹣2）2 C．|﹣4| D．﹣ 5 ①将△AOB 绕点 B按顺时针方向旋转一定角度后
2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） 得△A'O'B，点 A的对应点 A′在 x轴上；
②将△A'O' B绕点 A'按顺时针方向旋转一定角度后
得△A'O″B '，点 O'的对应点 O″在 x轴上，则点
A． B． C． D． B'的坐标是（ ） 第8题图
a
89 24 72 24
3．若 a为正整数， a a a 等于（ ） A． （ ， ） B．（ ， ）
a 5 5 5 5个a
72 12 89 12
C．（ ， ） D．（ ， ）
A a2a B a 2 a 2a 1 5 5 5 5． ． 2a C． a D． a
二、填空题（本大题有 7小题，每小题 5分，共 35分．请将答案填入答．题．卡．的相应位置）
4．如图所示给出的 m，n两个数，满足 m+n＜0，m n＜0，则原点所在的位置可能是（ ）
9．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标
A．点 A B．点 B
A的位置为(3，60°)，目标 B的位置为(4，180°)，
C．点 C D．点 D 第 4 题图
5 2．若要说明命题“若 x ＞ y ，则 x＞y”不正确，则可以列举的反例是（ ） 目标 C的位置为(2，300°)，则图中目标 D的位置可
A．若 x 1， y 3 B．若 x 3， y 2 记为_______．
C．若 x 1， y 3 D．若 x 3， y 2 10．已知： a b 2 2，则 a b2 4b _______．
第 9 题图
第 1页，共 4 页 数学科试卷 第 2页，共 4 页
11．如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 54°，B为圆心，以 BC长为半径作弧，交 AB 17．（本题满分 12 分）福安市某商店准备购进 A、B两种商品，A种商品每件的进价比 B
于点 D，连接 CD，则∠ACD的度数是_______°． 种商品每件的进价 2倍少 10元，购进 20件 A种商品比购进 12件 B种商品多 220元．商
2x 1 3 店将 A种商品每件的售价定为 65元，B种商品每件的售价定为 45元．
12．关于 x不等式组 的解集是1 x 3，则 a的值是 ．
a x 1 （1）A种商品每件的进价和 B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过 700元的资金购进 A、B两种商品共 40件，其中 A种商品的数
量不低 16件，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠活动，决定对每件A种商品售价优惠 a（10＜a＜20）元，
第 11题图 第 13题图 第 14 题图 B种商品售价不变，在（2）的条件下，求销售这 40件商品商店获得利润 w最大
13．如图所示正方形网格，点 A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC +∠ACD＝ °． 时的进货方案．
14．如图，将△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到△ABE和△ADC，BE与CD相交于点O，
若∠EOC = 84°，则∠BAC =______°．
y x 1 115．已知： m 2n 3，若在平面直角坐标系中，点 P在直线 l： 上，点Q ( m，n )，
2 2
则 PQ的最小值是_______．
二、解答题（本大题有 3小题，共 33分．请在答．题．卡．相应位置作答）
18．（本题满分 13分）如图，已知 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，点 D是 BC上
16．（本题满分 8分）高铁和航空业的飞速发展更方便了人们的出行，据统计，在 2021年
一个动点，将线段 AD绕点 D顺时针方向旋转 60°得到线段 DE，连接 AE，BE．
1月到 5月从 A市到 B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 20万人次．为了解乘客出 （1）如图 1，当 AE∥BC时，若 DE与 AB交于点 M，求证：点 M是 AB中点；
行的满意度，现从中随机抽取 100人次作为样本，得到如表（单位：人次）数据： （2）如图 2，当 AE不与 BC平行时，求证：AE=BE；
老年人 中年人 青年人 （3）如图 3，若点 N在 BC上，且 BN=2CN，连接 EN，探究：在点 D在 BN上时，线
满意度 段 EN，BN与 DN的数量关系，并说明理由．
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 E
A E A A
10分（满意） 11 1 18 3 20 4 E
M
5分（一般） 3 2 8 2 4 9
0分（不满意） 1 0 4 2 4 4 C D B C D B C N D B
图 1 图 2 图 3
（1）在样本中任取 1个，求这个人恰好是老年人的概率；
（2）如果甲要从 A 市前往 B市，以满意度的平均值作为决策依据，你会建议甲乘坐高
铁还是飞机？
第 3页，共 4 页 数学科试卷 第 4页，共 4 页福安市 2021 年初中生综合文化素质竞赛
数学科参考答案
⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的
评分标准的精神进行评分．
⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，
可酌情给分．
⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数．
⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．
一、选择题：（本大题有 8小题，每小题 4 分，共 32 分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D B A C D B A B
二、填空题：（本大题有 7小题，每小题 5分，共 35分）
9． (5,150°) 10．4 11．18 12． 4
13．90 14． 138 15． 2
三、解答题：（本大题共 3小题，共 33 分）
16. (本题满分 8分）
（1）乘坐高铁和飞机的老人共有：11+3+1+1+2+0=18（人）
18 9
所以在样本中任取 1 人，这个人恰好是老年人的概率 p .........3 分
100 50
（2）乘坐高铁：10 分（满意）的有 11+18+20=49（人）
5分（一般）的有 3+8+4=15（人）
0分（不满意）的有 1+4+4=9（人）
x 10 49 5 15 0 9 565所以：乘高铁的满意度 .....................5 分
49 15 9 73
乘坐飞机：10 分（满意）的有 1+3+4=8（人）
5 分（一般）的有 2+2+9=13（人）
0 分（不满意）的有 0+2+4=6（人）
数学试题参考答案及评分说明 第 1 页 共 4 页
x 10 8 5 13 0 6 145所以：乘飞机的满意度 .....................7 分
8 13 6 27
565 145
∵ > ,∴我建议甲乘坐高铁.....................................8 分
73 27
17. （本题满分 12 分）
（1）解：设 A种商品每件的进价为 x元，B种商品每件的进价为 y元，依题意得：
x 2y 10
.................................................2 分
20x -12y 220
x 20
解得： ..................................................3 分
y 15
答：A种商品每件的进价为 20元，B种商品每件的进价为 15元。
（2）解：设 A种商品购进了 x件，则 B种商品购进（40-x）件，依题意得：
20x 15 40 - x 700 ...............................................5 分
解得： x 20 ....................................................6 分
又 A种商品的数量不低于 16件，∴ x 16
∴16 x 20
∵x为正整数，∴x=16、17、18、19、20，..............................7 分
答：该商店有 5种进货方案。
（3）依题意得：
w 65 20 a x 45 15 40 - x 15 - a x 1200 ..................9 分
∵ 10＜a＜20，
①当 10＜a＜15时，15-a＜0，w随着 a的增大而增大，
当 x=20时，w最大，即买 20件 A种商品，20件 B种商品，利润最大.............10 分
②当 a=15时，15-a=0，w与 a的值无关，
即（2）问中所有进货方案获利相同 .......................................11 分
数学试题参考答案及评分说明 第 2 页 共 4 页
③当 15＜a＜20时，15-a＜0，w随着 a的增大而减少，
当 x=16时，w最大，即买 16件 A种商品，24件 B种商品，利润最大... .......12 分
综上所述：①当 10＜a＜15时，买 20件 A种商品，20件 B种商品，利润最大
②当 a=15时，15-a=0，w与 a的值无关，
③当 15＜a＜20时，买 16件 A种商品，24件 B种商品，利润最大.
18. （本题满分 13 分）
（1）证明：依题意得：AD=DE，∠ADE=60°， A E
∴△ADE是等边三角形
M
∴∠DAE=60° .......................................1 分
如图 1，当 AE∥BC时，∠EAB=∠ABC=30° C D B
图 1
∴∠DAB=∠DAE-∠EAB=60°-30°=30°
∴∠EAB=∠DAB=30°，在等边三角形 ADE中，DM=EM
又 ∵∠AME=∠BMD, ∴△AME≌△BMD, ∴ AM=BM
即，点 M是 AB中点................................................3 分
（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=180°-90°-30°=60°
∴∠CAB=∠DAE，∴∠CAB-∠BAD=∠DAE-∠BAD
∴∠CAD=∠BAE ...................................................5 分
如图 2，过点 E作 EF⊥AB于点 F，∴∠ACD=∠AFE=90°，
在等边三角形 ADE中，AD=AE ∴△ACD≌△AFE.......................6 分
1
在 Rt△ACB中，∠ABC=30° ∴ AC AB
2
1
∴ AF AB
2
∴ EF垂直平分 AB
图 2
∴ AE=BE ....................................8 分
数学试题参考答案及评分说明 第 3 页 共 4 页
（3）连接 AN，设 CN=x，则 BN=2CN=2x
∴ BC=CN+BN=x+2x=3x
Rt△ACB 2 2 2 2中， AC BC AB ,即 AC 3x 2 2AC 2
∴ AC 2 3x2，即 AC 3x
2 2 2 2
∴ AN AC CN 3x x2 4x2
图 3
∴ AN=2x ....................................10 分
即 AN=BN，又 AE=BE ∴EN垂直平分 AB ............11 分
令 EN交 AB于点 M，∴∠AME=90°
由（2）可知 △ACD≌△AME
EM=CD=CN+ND=x+ND
1
在 Rt△NMB中 MN BN x
2
∴ EN=EM+MN=x+ND+x=2x+ND、
即 EN=BN+ND ................................................13 分
数学试题参考答案及评分说明 第 4 页 共 4 页

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