资源简介

广东省惠州市博罗县2025年中考备考质量诊断数学试卷
1．（2025·博罗模拟）实数的相反数是（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义判断即可.
2．（2025·博罗模拟）公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．（2025·博罗模拟）由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．
用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数．
4．（2025·博罗模拟）为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题可知，此次实验共有四种选择，因此，从四个实验中随机选一个实验有4种等可能结果，其中“电解水”实验被选中的结果有1种，
∴“电解水”实验被选中的概率是：．
故答案为：C．
【分析】直接根据概率公式求解“电解水”实验被选中的概率即可.
5．（2025·博罗模拟）如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=60°，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·博罗模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
7．（2025·博罗模拟）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
即这个正八边形的一个内角是，
故选：D．
【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)×180°及正多边形的性质解答即可．
8．（2025·博罗模拟）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程中，a=1，b=-5，c=7，，
∴ 一元二次方程 没有实数根，
故答案为：A．
【分析】由一元二次方程可知a=1，b=-5，c=7，由此可得，根据Δ与0的大小关系可以判断一元二次方程的根的情况，Δ＞0有两个不相等的实数根，Δ=0有两个相等的实数根，Δ＜0没有实数根.
9．（2025·博罗模拟）如图，若是的直径，是的弦，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵，，
∴．
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-32°=58°.
故答案为：C．
【分析】由是的直径可得，进而得出∠DAB+∠ABD=90°，由圆周角定理可得，即可得出结论.
10．（2025·博罗模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：当x=0时，=6，
当y=0时，，
∴x=8，
∵ 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
∴A（-8，0），B（0，6）
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中，AB==10，
如图，设
设与直线相切于点D，连接PD、PB，
∴PD⊥AB，PD=PO=PM，
∵，
∴
即
∴PD=3
∴OM=2PD=6，
∴AM=OA-OM=2，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图像与x轴、y轴分可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 根据可得，进而即可得出答案.
11．（2025·博罗模拟）因式分解：　 　．
【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．（2025·博罗模拟）若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为　 　．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是，
故答案为：．
【分析】根据方向向左故为小于号，然后根据-1处为实心点，即包含等号得到不等式组的解集即可．
13．（2025·博罗模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点O对称的点的坐标是：，
故答案为：．
【分析】利用关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数解答．
14．（2025·博罗模拟）当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，设反比例函数，
∵点在反比例函数图象，
∴，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
故答案为：10 ．
【分析】先求出解反比例函数解析式，然后代入求出R的值即可．
15．（2025·博罗模拟）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】连接B'D'，交AC'于点O，如图所示：
由旋转的性质可知，四边形AB'C'D'是菱形，∠CAC'=30°，∠AB'C'=∠ABC=120°，AB'=AB=，
∴B'D'⊥AC'，OB'=B'D'，AO=AC'，∠D'AB'=180°-∠AB'C'=60°，
∴△D'AB'是等边三角形，
∴B'D'=，AO=AB'·sin60°=3，
∴OB'=，AC=6，
∴==.
故答案为：．
【分析】连接B'D'，交AC'于点O，由旋转的性质可知，四边形AB'C'D'是菱形，∠CAC'=30°，∠AB'C'=∠ABC=120°，AB'=AB=由菱形的性质可知B'D'⊥AC'，OB'=B'D'，AO=AC'，∠D'AB'=180°-∠AB'C'=60°，△D'AB'是等边三角形，由等边三角形的性质可得OB'=，AC=6，再根据即可得出答案．
16．（2025·博罗模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用算术平方根、绝对值的性质、0指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简，再计算即可.
17．（2025·博罗模拟）如图，在△ABC中，，．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数．
【答案】（1）解：如图设所示：∴直线MN和点D就是所求作的图形．

（2）解：∵的垂直平分线交AC于点D，∴．
∴．
∵，
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用作线段AB的垂直平分线解答即可．
（2）根据等边对等角和三角形的内角和求出然后根据线段的垂直平分线得到，即可得到然后根据角的和差解答即可．
18．（2025·博罗模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点A作于点F，如图所示：
∴△ABF为直角三角形，∠BFA=90°，
∵在中，米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
由题意得：四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，
∴，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，DG=3米，
∴（米），
在中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴（米）．
故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点F，在中解直角三角形，即可求出的长；
（2）过点A作于点G，可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，利用矩形的性质得，（米），分别在Rt△ACD和Rt△ABF中解直角三角形，求得FC和BF的长，由BF+CF，即可得到结论.
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
19．（2025·博罗模拟）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
【答案】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，
根据题意，得：，
解得：．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，利用“ 节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据“ 总费用不超过4600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据题意，得：
，
解得．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得：
，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
20．（2025·博罗模拟）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】解：（1）1，2；
（2）°；
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
【分析】（1）先根据调查的总人数得到促2部对应的人数，进而根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数结合题意补全条形统计图即可求解；
（4）根据题意画出树状图，进而得到共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，在等可能事件的概率即可求解。
21．（2025·博罗模拟）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
【答案】解：（1）画出函数图象，如下：
（2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为．
点、在该图象上
，解得，
与之间的函数表达式为．
（3）当时，即，
解得：，
则
∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）在坐标系中描出各点，然后用光滑的曲线连接即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式；
（3）令求出x的值解答即可．
22．（2025·博罗模拟）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形．
请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图2，连接，，
∵，，
∴，
∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴垂直平分，
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点A作，交延长线于点N，
∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
则由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据“”得到，即可得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到是平行四边形，再根据AO=CO即可得到结论；
（2）连接，，即可求出AC长，根据折叠，设，则，根据勾股定理求出x值，利用菱形的面积公式计算解题；
（3）过点A作，交延长线于点N，即可得到，，求出，设，则，根据勾股定理列方程解答即可．
23．（2025·博罗模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标．
【答案】（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可得，即，再根据边之间的关系可得，则，再根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过作轴于，根据x轴上点的坐标特征可得，由题意可得，根据两点间距离可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过作轴于，求出直线解析式为，直线的解析式为，设（），则，，根据两点间距离可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，，再根据边之间的关系可得，建立方程，解方程可得m=9，则，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点P，E坐标代入解析式可得直线解析式为，再将x=5代入即可求出答案.
（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
1 / 1广东省惠州市博罗县2025年中考备考质量诊断数学试卷
1．（2025·博罗模拟）实数的相反数是（　　）
A．5 B． C． D．
2．（2025·博罗模拟）公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·博罗模拟）由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·博罗模拟）为激发学生对化学学科的研究兴趣，王老师计划在“空气中氧气含量的测定”“高锰酸钾制氧气”“电解水”“木炭还原氧化铜”四个实验中随机选一个在课堂上给学生演示，则“电解水”实验被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·博罗模拟）如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．（2025·博罗模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·博罗模拟）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·博罗模拟）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．（2025·博罗模拟）如图，若是的直径，是的弦，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·博罗模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·博罗模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·博罗模拟）若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为　 　．
13．（2025·博罗模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为　 　．
14．（2025·博罗模拟）当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是　 　．
15．（2025·博罗模拟）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
16．（2025·博罗模拟）计算：．
17．（2025·博罗模拟）如图，在△ABC中，，．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数．
18．（2025·博罗模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
19．（2025·博罗模拟）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
20．（2025·博罗模拟）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
21．（2025·博罗模拟）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
22．（2025·博罗模拟）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形．
请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积．
23．（2025·博罗模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义判断即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．
用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数．
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题可知，此次实验共有四种选择，因此，从四个实验中随机选一个实验有4种等可能结果，其中“电解水”实验被选中的结果有1种，
∴“电解水”实验被选中的概率是：．
故答案为：C．
【分析】直接根据概率公式求解“电解水”实验被选中的概率即可.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=60°，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】逐一判断选项即可，即由同底数幂乘除法判断A，B，结合合并同类项代数式加法运算判断C，幂的乘方运算判断D.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
即这个正八边形的一个内角是，
故选：D．
【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)×180°及正多边形的性质解答即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程中，a=1，b=-5，c=7，，
∴ 一元二次方程 没有实数根，
故答案为：A．
【分析】由一元二次方程可知a=1，b=-5，c=7，由此可得，根据Δ与0的大小关系可以判断一元二次方程的根的情况，Δ＞0有两个不相等的实数根，Δ=0有两个相等的实数根，Δ＜0没有实数根.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵，，
∴．
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-32°=58°.
故答案为：C．
【分析】由是的直径可得，进而得出∠DAB+∠ABD=90°，由圆周角定理可得，即可得出结论.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：当x=0时，=6，
当y=0时，，
∴x=8，
∵ 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
∴A（-8，0），B（0，6）
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中，AB==10，
如图，设
设与直线相切于点D，连接PD、PB，
∴PD⊥AB，PD=PO=PM，
∵，
∴
即
∴PD=3
∴OM=2PD=6，
∴AM=OA-OM=2，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图像与x轴、y轴分可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 根据可得，进而即可得出答案.
11．【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是，
故答案为：．
【分析】根据方向向左故为小于号，然后根据-1处为实心点，即包含等号得到不等式组的解集即可．
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点O对称的点的坐标是：，
故答案为：．
【分析】利用关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数解答．
14．【答案】10
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，设反比例函数，
∵点在反比例函数图象，
∴，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
故答案为：10 ．
【分析】先求出解反比例函数解析式，然后代入求出R的值即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】连接B'D'，交AC'于点O，如图所示：
由旋转的性质可知，四边形AB'C'D'是菱形，∠CAC'=30°，∠AB'C'=∠ABC=120°，AB'=AB=，
∴B'D'⊥AC'，OB'=B'D'，AO=AC'，∠D'AB'=180°-∠AB'C'=60°，
∴△D'AB'是等边三角形，
∴B'D'=，AO=AB'·sin60°=3，
∴OB'=，AC=6，
∴==.
故答案为：．
【分析】连接B'D'，交AC'于点O，由旋转的性质可知，四边形AB'C'D'是菱形，∠CAC'=30°，∠AB'C'=∠ABC=120°，AB'=AB=由菱形的性质可知B'D'⊥AC'，OB'=B'D'，AO=AC'，∠D'AB'=180°-∠AB'C'=60°，△D'AB'是等边三角形，由等边三角形的性质可得OB'=，AC=6，再根据即可得出答案．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用算术平方根、绝对值的性质、0指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简，再计算即可.
17．【答案】（1）解：如图设所示：∴直线MN和点D就是所求作的图形．

（2）解：∵的垂直平分线交AC于点D，∴．
∴．
∵，
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用作线段AB的垂直平分线解答即可．
（2）根据等边对等角和三角形的内角和求出然后根据线段的垂直平分线得到，即可得到然后根据角的和差解答即可．
18．【答案】（1）解：过点A作于点F，如图所示：
∴△ABF为直角三角形，∠BFA=90°，
∵在中，米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
由题意得：四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，
∴，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，DG=3米，
∴（米），
在中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴（米）．
故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点F，在中解直角三角形，即可求出的长；
（2）过点A作于点G，可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，利用矩形的性质得，（米），分别在Rt△ACD和Rt△ABF中解直角三角形，求得FC和BF的长，由BF+CF，即可得到结论.
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
19．【答案】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，
根据题意，得：，
解得：．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，利用“ 节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据“ 总费用不超过4600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据题意，得：
，
解得．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得：
，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
20．【答案】解：（1）1，2；
（2）°；
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
【分析】（1）先根据调查的总人数得到促2部对应的人数，进而根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数结合题意补全条形统计图即可求解；
（4）根据题意画出树状图，进而得到共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，在等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】解：（1）画出函数图象，如下：
（2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为．
点、在该图象上
，解得，
与之间的函数表达式为．
（3）当时，即，
解得：，
则
∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）在坐标系中描出各点，然后用光滑的曲线连接即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式；
（3）令求出x的值解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图2，连接，，
∵，，
∴，
∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴垂直平分，
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点A作，交延长线于点N，
∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，
则由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据“”得到，即可得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到是平行四边形，再根据AO=CO即可得到结论；
（2）连接，，即可求出AC长，根据折叠，设，则，根据勾股定理求出x值，利用菱形的面积公式计算解题；
（3）过点A作，交延长线于点N，即可得到，，求出，设，则，根据勾股定理列方程解答即可．
23．【答案】（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可得，即，再根据边之间的关系可得，则，再根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过作轴于，根据x轴上点的坐标特征可得，由题意可得，根据两点间距离可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过作轴于，求出直线解析式为，直线的解析式为，设（），则，，根据两点间距离可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，，再根据边之间的关系可得，建立方程，解方程可得m=9，则，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点P，E坐标代入解析式可得直线解析式为，再将x=5代入即可求出答案.
（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑