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河南省2025年中考数学真题
1．（2025·河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　）
A．+3个 B．-3个 C．+4个 D．-4个
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 因为进4个球记作+4个，所以失3个球记作-3个.
故答案为：B.
【分析】用相反数表示一对意义相反的量，若其中一个为正，则另一个为负.
2．（2025·河南）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：A、圆柱的展开图是上下两个圆加中间一个矩形；
B、长方体的展开图中不包含扇形；
C、三棱柱的展开图中不包含扇形；
D、是圆锥的展开图；
故答案为：D.
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆.
3．（2025·河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数.
4．（2025·河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：设正六边形部件的内角为x，则
故答案为：C.
【分析】邻补角的和是.
5．（2025·河南）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
6．（2025·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先由平行线分线段成比例定理得，即DE为的中位线，则DE等于BC的一半.
7．（2025·河南）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】由于两个分式的分母互为相反数，则通分可化减法为加法，再对分子分解因式并约分化结果为整式即可.
8．（2025·河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
　 美 丽 山 河
美 / （美丽） （美山） （美河）
丽 （美丽） / （丽山） （丽河）
山 （美山） （丽山） / （山河）
河 （美河） （丽河） （山河） /
共有12种等可能结果，抽到（丽山）的结果有2种
故答案为：B.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
9．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
10．（2025·河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、观察图象知，当速度为0时，轮胎的摩擦系数为0.9，正确；
B、 当时，摩擦系数是车速的反比例函数，随的增大而减小，正确；
C、由于随的增大而减小，则当时，，错误；
D、观察图象知，当时，，当时，，即，正确；
故答案为：C.
【分析】观察图象知，当时，摩擦系数，而当时，摩擦系数可近视地看作是车速的反比例函数，由于图象在第一象限，即反比例系数为正，则随的增大而减小，当车速超过时，则摩擦系数，最后由反比例函数图象上点的坐标特征知当车速从增大到时， 摩擦系数从0.75减小到0.71，即减小了0.04.
11．（2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的的值：　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：在取值范围内任意选择一个实数即可.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
12．（2025·河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
故答案为：甲.
【分析】方差衡量一组数据的离散趋势，方差越小，数据越稳定.
13．（2025·河南）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
第个式子为：
故答案为：.
【分析】先对前4个单项式进行变形，可发现单项式的系数是的2倍，字母的指数是，即
.
14．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
15．（2025·河南）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
16．（2025·河南）
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式=2+1-3
=0
（2）解：原式 …4分
=1
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；零指数幂；二次根式的乘除法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先分别求立方根、0次幂和二次根式的积，再进行加减运算即可；
（2）整式的混合运算，先利用完全平方公式和单项式对多项式的乘积展开积的结果，再去括号并合并同类项即可.
17．（2025·河南）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
统计量 年级
七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众数 7 b
优秀率 38% c
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的　 　，　 　，　 　．
（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
【答案】（1）7.5；8；22%
（2）解：我认为七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为七年级的优秀率更高(注：答案不唯一，合理即可)
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）中位数是指对一组数据先按照从小到大的顺序排序，再根据数据总个数取正中间一个或正中间两个数据的平均值，因此；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个，因此；优秀率直接用9分或9分以上的学生人数除以50再乘以100%即可；
（2）由于两个班级的平均成绩相同，因此可通过优秀率进行比较，当然也可以用中位数进行比较，答案不唯一.
18．（2025·河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含角的三角板OAB的直角边OA落在轴上，含角的三角板OAC的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点C(2，2)
∴k=4
∴这个反比例函数的表达式为
（2）解：如图，过点C作轴、轴，垂足分别为M、N，设点A、D绕点O顺时针旋转90°到点A`、D`.
由旋转的性质知，
，即
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）如图所示，由于点，则过点C分别作轴的垂线段CM和CN，则CM=CN=2，由于是等腰直角三角形，则CN是斜边OA上的中线，即OA=4，则由旋转的性质知，OA`=OA=4，即点D`的横坐标为4，此时利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出D`的纵坐标为1，即A`D`=1，再由旋转的性质知AD=A`D`=1，由于点D在第二象限，则.
19．（2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
【答案】（1）解：如图.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC， AD∥BC
又∵E为AD中点， O为BC中点
∴四边形AOCE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由于BC是的直径，则可利用尺规作图作线段BC的垂直平分线即可得到BC的中点，即圆心O；
（2）由平行四边形的性质知AD平行BC且等于BC，则当E为AD中点时，AE必然与OC平行且相等，则四边形AOCE是平行四边形.
20．（2025·河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
【答案】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意，得
解方程组，得
答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元
（2）解：设该公司购买甲种苹果a箱，则购买乙种水果(12-a)箱，根据题意，得
12-a≤a
∴a≥6
设该公司花费为y元，则
y=100a+80(12-a)=20a+960
∵20＞0
∴y随a的增大而增大
时，. 元，
答：该公司最少需花费1080元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据相等关系“ 2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元 ”列方程组并求解即可；
（2）设该公司购买甲种苹果a箱，则购买乙种水果(12-a)箱，则由不等关系“ 乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数 ”可列不等式并求解即可确定a的取值范围，再用a的代数式表示出公司总花费y，可发现y是a的一次函数，且一次系数为正，则y随a的增大而增大，显然当a取最小值时，y也有最小值，代入此时a的最小值即可.
21．（2025·河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
【答案】（1）解：理由如下：
根据题意。得EF∥AD， ED∥AC
∴∠EFD=∠ADC， ∠EDF=∠ACD
∴△EDF∽△ACD
∴CD=CA
（2）解：如图， 过点E作EH⊥AC于点H.设AB=x米
则EH∥BN， EH=CD=CA=(x+1.2)米
BN=CM=(x+2.2)米， AH=(x-0.9)米
∴∠ANB=∠AEH
即：
解得：
经检验。 符合题意
答：纪念碑AB 的高度为19.8米
（3）解：
故小红的结果误差较大
原因可能是测量工具不精确
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由于太阳光线可看作是一组平行线，即EF//AD，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即ED//AC，则由两直线平行同位角相等可判定，由相似比可得；
（2）如图， 过点E作EH⊥AC于点H，可得，显然四边形EDCH、MNBC都是矩形，则借助（1）的结论可得EH=CD=AC，BN=CM，BC=MN，此时可设AB为x，则EH、BN、AH均可用含x 的代数式表示，由于EH//BN，则，即，解和可得，再解方程即可；
（3）直接计算两个结果的误差并比较，原因可能是测量工具不精确，也可能是计算有误，答案不唯一.
22．（2025·河南）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… -2 0 1 …
… -2 -2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
【答案】（1）解：把x=-2， y=-2、x=1， y=1代入得
解方程组：得
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x-2
（2）解：故它的顶点坐标为(-1，-3)
它的图象如图
（3）解：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）
解：设平移后的二次函数解析式为：
抛物线的对称轴为直线
抛物线的二次项系数为1
函数有最小值且在对称轴的右侧，随的增大而增大；在对称轴的左侧，随的增大而减小
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
当时，或
解得；
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
综上所述，
【分析】
（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）把二次函数的一般形式通过配方转化为顶点式即可，当然也可以直接应用公式法，即对于二次函数，其顶点坐标为；
（3）先由平移变换写出平移后的抛物线的解析式，则抛物线的对称轴为直线，由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线开口向上，函数有最小值，再分类讨论，即当对称轴在原点左侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在直线的右侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在轴与直线之间时，由于对称轴到轴的距离与到直线的距离大小不确定，因此最大值可能是对应的函数值也可能是对应的函数值，所以再分两种情况进行计算即可.
23．（2025·河南）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线DE，OC交于点，过点作，垂足为点．
（1）观察猜想
如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：　 　．
（2）类比探究
如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
当，且时，若，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：如图
不成立，正确结论是CG-OE=OD。证明如下：
如图，过点CH⊥AE 作于点H
又∵CG⊥DE于G， DE⊥OA于E
∴∠CHE=∠HEG=∠G=90°
∴四边形CGEH 是矩形
∴CG=EH=OE+OH
∵OC平分∠AOB
∴∠COD=∠COH
又∵CD⊥OB于D.
∴∠ODC=∠OHC=90°
又∵OC=OC
∴△ODC≌△OHC(AAS)
∴CG=OE+OD， 即CG-OE=OD
（3）解：或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）
解：如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CGEH是矩形
平分
即：
（3）如图所示，当时，过点C作于点H.
由（1）知，四边形CHEG为矩形
又
，即
设
如图所示，当时，过点C作于点H.
同上，设，则
故的值为或 .
【分析】（1）由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点C作OB的垂线段CH，则CH=CD，则由HL可判定，则OD=OH；此时可结合已知证明四边形CGEH是矩形，则HE=CG，等量代换即可得到；
（2）当为钝角时，同理过C作OA的垂线段CH，则四边形CHEG为矩形，则CG=EH=OE+OH，由于可角平分线上的点到角两边距离相等，则CH=CD，则由HL可证OD=OH，即此时结论变成OD=CG-OE；
（3）由于，则可分类讨论，即当时，过点C作于点H，则由矩形的判定及性质可得CH平行且等于GE，再由平行线的性质及角平分线的性质可得CH=CD=DF，则可得DG=EF，由于GF=3EF，此时为便于计算可设Ef为a，则DG=a，DC=DF=4a，再由勾股定理可得，此时再证明，由相似比可得，由（1）的结论知，则；而当时，过点C作于点H，同理仍设，则，由勾股定理可得，再证明，由相似比可得，则由（2）知，则.
1 / 1河南省2025年中考数学真题
1．（2025·河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　）
A．+3个 B．-3个 C．+4个 D．-4个
2．（2025·河南）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·河南）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2025·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．
7．（2025·河南）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
10．（2025·河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
11．（2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的的值：　 　．
12．（2025·河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　（填“甲”或“乙”）．
13．（2025·河南）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为　 　．
14．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2025·河南）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
16．（2025·河南）
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（2025·河南）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
统计量 年级
七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众数 7 b
优秀率 38% c
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的　 　，　 　，　 　．
（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
18．（2025·河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含角的三角板OAB的直角边OA落在轴上，含角的三角板OAC的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
19．（2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
20．（2025·河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
21．（2025·河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
22．（2025·河南）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… -2 0 1 …
… -2 -2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
23．（2025·河南）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线DE，OC交于点，过点作，垂足为点．
（1）观察猜想
如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：　 　．
（2）类比探究
如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
当，且时，若，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 因为进4个球记作+4个，所以失3个球记作-3个.
故答案为：B.
【分析】用相反数表示一对意义相反的量，若其中一个为正，则另一个为负.
2．【答案】D
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：A、圆柱的展开图是上下两个圆加中间一个矩形；
B、长方体的展开图中不包含扇形；
C、三棱柱的展开图中不包含扇形；
D、是圆锥的展开图；
故答案为：D.
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】用科学记数法常把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：设正六边形部件的内角为x，则
故答案为：C.
【分析】邻补角的和是.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
6．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先由平行线分线段成比例定理得，即DE为的中位线，则DE等于BC的一半.
7．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】由于两个分式的分母互为相反数，则通分可化减法为加法，再对分子分解因式并约分化结果为整式即可.
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
　 美 丽 山 河
美 / （美丽） （美山） （美河）
丽 （美丽） / （丽山） （丽河）
山 （美山） （丽山） / （山河）
河 （美河） （丽河） （山河） /
共有12种等可能结果，抽到（丽山）的结果有2种
故答案为：B.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、观察图象知，当速度为0时，轮胎的摩擦系数为0.9，正确；
B、 当时，摩擦系数是车速的反比例函数，随的增大而减小，正确；
C、由于随的增大而减小，则当时，，错误；
D、观察图象知，当时，，当时，，即，正确；
故答案为：C.
【分析】观察图象知，当时，摩擦系数，而当时，摩擦系数可近视地看作是车速的反比例函数，由于图象在第一象限，即反比例系数为正，则随的增大而减小，当车速超过时，则摩擦系数，最后由反比例函数图象上点的坐标特征知当车速从增大到时， 摩擦系数从0.75减小到0.71，即减小了0.04.
11．【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：在取值范围内任意选择一个实数即可.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
12．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
故答案为：甲.
【分析】方差衡量一组数据的离散趋势，方差越小，数据越稳定.
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
第个式子为：
故答案为：.
【分析】先对前4个单项式进行变形，可发现单项式的系数是的2倍，字母的指数是，即
.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
15．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
16．【答案】（1）解：原式=2+1-3
=0
（2）解：原式 …4分
=1
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；零指数幂；二次根式的乘除法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先分别求立方根、0次幂和二次根式的积，再进行加减运算即可；
（2）整式的混合运算，先利用完全平方公式和单项式对多项式的乘积展开积的结果，再去括号并合并同类项即可.
17．【答案】（1）7.5；8；22%
（2）解：我认为七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为七年级的优秀率更高(注：答案不唯一，合理即可)
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）中位数是指对一组数据先按照从小到大的顺序排序，再根据数据总个数取正中间一个或正中间两个数据的平均值，因此；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个，因此；优秀率直接用9分或9分以上的学生人数除以50再乘以100%即可；
（2）由于两个班级的平均成绩相同，因此可通过优秀率进行比较，当然也可以用中位数进行比较，答案不唯一.
18．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点C(2，2)
∴k=4
∴这个反比例函数的表达式为
（2）解：如图，过点C作轴、轴，垂足分别为M、N，设点A、D绕点O顺时针旋转90°到点A`、D`.
由旋转的性质知，
，即
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）如图所示，由于点，则过点C分别作轴的垂线段CM和CN，则CM=CN=2，由于是等腰直角三角形，则CN是斜边OA上的中线，即OA=4，则由旋转的性质知，OA`=OA=4，即点D`的横坐标为4，此时利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出D`的纵坐标为1，即A`D`=1，再由旋转的性质知AD=A`D`=1，由于点D在第二象限，则.
19．【答案】（1）解：如图.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC， AD∥BC
又∵E为AD中点， O为BC中点
∴四边形AOCE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由于BC是的直径，则可利用尺规作图作线段BC的垂直平分线即可得到BC的中点，即圆心O；
（2）由平行四边形的性质知AD平行BC且等于BC，则当E为AD中点时，AE必然与OC平行且相等，则四边形AOCE是平行四边形.
20．【答案】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意，得
解方程组，得
答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元
（2）解：设该公司购买甲种苹果a箱，则购买乙种水果(12-a)箱，根据题意，得
12-a≤a
∴a≥6
设该公司花费为y元，则
y=100a+80(12-a)=20a+960
∵20＞0
∴y随a的增大而增大
时，. 元，
答：该公司最少需花费1080元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据相等关系“ 2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元 ”列方程组并求解即可；
（2）设该公司购买甲种苹果a箱，则购买乙种水果(12-a)箱，则由不等关系“ 乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数 ”可列不等式并求解即可确定a的取值范围，再用a的代数式表示出公司总花费y，可发现y是a的一次函数，且一次系数为正，则y随a的增大而增大，显然当a取最小值时，y也有最小值，代入此时a的最小值即可.
21．【答案】（1）解：理由如下：
根据题意。得EF∥AD， ED∥AC
∴∠EFD=∠ADC， ∠EDF=∠ACD
∴△EDF∽△ACD
∴CD=CA
（2）解：如图， 过点E作EH⊥AC于点H.设AB=x米
则EH∥BN， EH=CD=CA=(x+1.2)米
BN=CM=(x+2.2)米， AH=(x-0.9)米
∴∠ANB=∠AEH
即：
解得：
经检验。 符合题意
答：纪念碑AB 的高度为19.8米
（3）解：
故小红的结果误差较大
原因可能是测量工具不精确
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由于太阳光线可看作是一组平行线，即EF//AD，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即ED//AC，则由两直线平行同位角相等可判定，由相似比可得；
（2）如图， 过点E作EH⊥AC于点H，可得，显然四边形EDCH、MNBC都是矩形，则借助（1）的结论可得EH=CD=AC，BN=CM，BC=MN，此时可设AB为x，则EH、BN、AH均可用含x 的代数式表示，由于EH//BN，则，即，解和可得，再解方程即可；
（3）直接计算两个结果的误差并比较，原因可能是测量工具不精确，也可能是计算有误，答案不唯一.
22．【答案】（1）解：把x=-2， y=-2、x=1， y=1代入得
解方程组：得
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x-2
（2）解：故它的顶点坐标为(-1，-3)
它的图象如图
（3）解：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）
解：设平移后的二次函数解析式为：
抛物线的对称轴为直线
抛物线的二次项系数为1
函数有最小值且在对称轴的右侧，随的增大而增大；在对称轴的左侧，随的增大而减小
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
当时，或
解得；
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
综上所述，
【分析】
（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）把二次函数的一般形式通过配方转化为顶点式即可，当然也可以直接应用公式法，即对于二次函数，其顶点坐标为；
（3）先由平移变换写出平移后的抛物线的解析式，则抛物线的对称轴为直线，由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线开口向上，函数有最小值，再分类讨论，即当对称轴在原点左侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在直线的右侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在轴与直线之间时，由于对称轴到轴的距离与到直线的距离大小不确定，因此最大值可能是对应的函数值也可能是对应的函数值，所以再分两种情况进行计算即可.
23．【答案】（1）
（2）解：如图
不成立，正确结论是CG-OE=OD。证明如下：
如图，过点CH⊥AE 作于点H
又∵CG⊥DE于G， DE⊥OA于E
∴∠CHE=∠HEG=∠G=90°
∴四边形CGEH 是矩形
∴CG=EH=OE+OH
∵OC平分∠AOB
∴∠COD=∠COH
又∵CD⊥OB于D.
∴∠ODC=∠OHC=90°
又∵OC=OC
∴△ODC≌△OHC(AAS)
∴CG=OE+OD， 即CG-OE=OD
（3）解：或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）
解：如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CGEH是矩形
平分
即：
（3）如图所示，当时，过点C作于点H.
由（1）知，四边形CHEG为矩形
又
，即
设
如图所示，当时，过点C作于点H.
同上，设，则
故的值为或 .
【分析】（1）由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点C作OB的垂线段CH，则CH=CD，则由HL可判定，则OD=OH；此时可结合已知证明四边形CGEH是矩形，则HE=CG，等量代换即可得到；
（2）当为钝角时，同理过C作OA的垂线段CH，则四边形CHEG为矩形，则CG=EH=OE+OH，由于可角平分线上的点到角两边距离相等，则CH=CD，则由HL可证OD=OH，即此时结论变成OD=CG-OE；
（3）由于，则可分类讨论，即当时，过点C作于点H，则由矩形的判定及性质可得CH平行且等于GE，再由平行线的性质及角平分线的性质可得CH=CD=DF，则可得DG=EF，由于GF=3EF，此时为便于计算可设Ef为a，则DG=a，DC=DF=4a，再由勾股定理可得，此时再证明，由相似比可得，由（1）的结论知，则；而当时，过点C作于点H，同理仍设，则，由勾股定理可得，再证明，由相似比可得，则由（2）知，则.
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