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浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024-2025学年七年级下学期5月考数学试卷
1．（2025七下·杭州月考）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约2km的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·杭州月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·杭州月考）下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·杭州月考）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化，如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1=42°，∠2=16°，则∠CGF的度数是（　　）
A．58° B．48° C．26° D．32°
5．（2025七下·杭州月考）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍
6．（2025七下·杭州月考）若，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·杭州月考）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼.意思是：77元钱共买了10斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州月考）如果的展开式中不含项和x项，则p，q的值分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2025七下·杭州月考）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
10．（2025七下·杭州月考）已知a=m+2024，b=m+2025，c=m+2026，则代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
11．（2025七下·杭州月考）要使分式有意义，则的取值范围是　 　.
12．（2025七下·杭州月考）分解因式：　 　.
13．（2025七下·杭州月考）已知多项式x2+ax+81是一个完全平方式，则实数a的值是 　 　．
14．（2025七下·杭州月考）如图，DA//BC//EF，CE平分∠BCF，∠DAC=125°，∠ACF=15°，则∠FEC的度数是　 　.
15．（2025七下·杭州月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　 　.
16．（2025七下·杭州月考）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y=　 　（用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为　 　.
17．（2025七下·杭州月考）将下列各式因式分解：
（1）
（2）
18．（2025七下·杭州月考）解方程（组）：
（1）；
（2）.
19．（2025七下·杭州月考）先化简，再求值：，其中.
小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
原式=① =4-（a+2） ② =2-a ③ 当a=-1时，原式=2-（-1）=3
20．（2025七下·杭州月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形ABC的顶点均在方格纸的格点上，将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使点A落在直线I上的点A'处
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）请描述这个平移过程.
（3）在直线I上找一格点D，使A'，B'，C'、D所围成的四边形的面积为6.
21．（2025七下·杭州月考）如图已知，∠DEC=90°，∠AGF=∠ABC，∠1与∠2互补试判断BF与AC的位置关系，并说明理由
22．（2025七下·杭州月考）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板　 　张或裁得B型纸板　 　张：
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
23．（2025七下·杭州月考）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形
（1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式　 　.
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片　 　张，B类卡片　 　张，C类卡片　 　张。
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值.
②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024.
（4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。
24．（2025七下·杭州月考）已知（a，b是常数，）①
（1）若，，求；
（2）试将等式①变形成“”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）若的取值与x无关，试求a与b的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】原数0.000006的小数点需向右移动6位才能得到6（即6.0）此时指数为负，即-6.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算正确，符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、同底数幂相除，指数相减不是相除；
B、根据积的乘方法则可判断正确；
C、根据完全平方公式可判断错误；
D、根据平方差公式可判断错误.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等号左边是单项式，非多项式，因此不属于分解因式；
B、等号右边不是乘积的形式，因此不属于分解因式；
C、等号右边不是乘积的形式，因此不属于分解因式；
D、等号左边是多项式，右边是乘积形式，因此属于分解因式.
故答案为：D.
【分析】分解因式是将一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形过程必须恒等. 根据定义判断各选项.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠AFG+∠CGF=180°.
∵∠1+∠AFG+∠2=180°，
∴ ∠CGF=∠1+∠2=42°+16°=58°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质，同旁内角互补，即可求出∠CGF度数.
5．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：，即分式的值扩大为原来的2倍.
故答案为：B.
【分析】通过代入扩大后的值并化简分式来比较变化情况.
6．【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，.
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】先计算出a、b、c具体值，然后比较大小.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每斤肉元，每斤鱼元，根据条件“ 77元钱共买了10斤肉和斤鱼 ”可得方程，根据条件“斤肉的钱等于斤鱼的钱 ”可得方程，联立可得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意列出方程组即可.
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；二元一次方程组的其他应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：.
∵展开式不含项和x项，
∴，解得， .
故答案为：C.
【分析】将两个多项式相乘，展开后整理成多项式的一般形式，根据不含x2项和x项的条件，令对应系数为0，解方程组求得p和q的值.
9．【答案】C
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解： ∵.
∴，即.
∵为正数，
∴.
又∵分母，
∴，即
故答案为：C.
【分析】将分式方程转化为整式方程，结合解为正数的条件及分母不为零的条件，确定m的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】通过观察已知条件，可以发现a、b、c之间的差值固定，再观察待求值式子的结构特点，可整理成，代入即可计算.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若 有意义，即，有.
故答案为：.
【分析】分式有意义的条件是分母不为零.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行分解，确保分解彻底.
13．【答案】±18
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式x2+ax+81是一个完全平方式，
∴a=±2×1×9=±18.
故答案为：±18.
【分析】根据完全平方式的特点可得a=±2×1×9，计算即可.
14．【答案】35°
【知识点】角的运算；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ DA//BC，
∴∠DAC+∠ACB=180°，即∠ACB=180°-125°=55°.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=55°+15°=70°.
∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB==70°÷2=35°.
∵ BC//EF，
∴∠FEC=∠ECB=35°.
故答案为：35°.
【分析】根据平行及∠ACF度数，得到∠BCF度数，再根据角平分得到∠ECB度数，最后再根据平行得到∠FEC=∠ECB，即得到∠FEC度数.
15．【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：根据题意，该分式方程有增根，增根为x=1.
方程两边同时乘以x-1，得mx=2-x+1.
代入x=1，得m=2-1+1=2.
故答案为：2.
【分析】分式方程的增根是使分母为零的根，因此确定增根后代入整式方程即可求出参数的值.
16．【答案】（1）
（2）-22
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
【分析】（1）用上式加下式，然后等号两边同时除以3即可；
（2）先求出方程组的解，代入到，得到关于、的关系式，然后整理，即用表示出，最后根据整理后的关系式、结合条件及题目所求，最终可计算出值.
17．【答案】（1）解：原式=5(x2-2x+1) =5(x-1)2.
（2）解：原式=(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1).
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）首先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）通过变形为平方项与一次项的差，提取公因式完成分解.
18．【答案】（1）解：等号两边同时乘以，得
去括号，得
移项、合并同类项得，
检验：代入到原方程，等号左边为，等号右边为，左边=右边，即是原分式方程的解.
（2）解：
，得，解得.
代入到，有，解得.
故方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）用去分母法，即方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程后再求解；
（2）运用加减消元法，即将，先消去求解，再返回代入求.
19．【答案】解：①错误，原式=
当时，原式=-1.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】小聪将原式直接乘以，导致分式被错误处理. 正确的做法应是通分后合并分式，而不是整体乘以分母. 最后代入 计算即可.
20．【答案】（1）解：如下图所示，三角形A'B'C'即为所求.

（2）解：三角形ABC向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度得到三角形A'B'C'.
（3）解：如图，点D'，D"均满足题意.

【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点A与点A'在方格纸上的相对位置关系，得出平移过程，然后即可找到B、C对应点B'、C'，连线得到三角形A'B'C'；
（2）将解答（1）时的平移过程文字描述即可；
（3）直线l上的点只要满足 A'，B'，C'、D 连线而成的图形是平行四边形即可，此时高为2，底为3，面积为6.
21．【答案】解： BFAC 理由如下：
与互补
即.
【知识点】平行线的判定与性质；补角
【解析】【分析】先根据已知角相等判断出两直线平行，再利用平行线的性质得到角的关系，进而判断出BF与AC的位置关系.
22．【答案】（1）9；15
（2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，
则根据题意得：，
整理得，
解得 .
∴，
∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张.
故答案为：9、15.
【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案；
（2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可.
23．【答案】（1）
（2）3；10；8
（3）解：①，
∴
∴
∴
②设，则，，
∴，即
（4）解：，即新长方形的长为，宽为.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法；数形结合
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，.
故答案为：；
（2）∵.
∴ 需要A类卡片3张，B类卡片10张，C类卡片8张.
故答案为：3、10、8.
【分析】（1）由图2可知，边长为（a+b）的正方形面积可由两个边长分别为a、b的正方形面积加上2个边长为a、b的长方形面积求和所得，于是有；
（2）先计算，根据结果、、的系数得出结果；
（3）①由（1）可得，然后代入条件 m+n=5，m2+n2=20计算出mn，从而进一步计算出 （m-n）2的值；②设，将条件 （x-2023）2+（x-2025）2=34转化成以y表示，并求出的值，从而通过开平方根求出的值；
（4）根据题意得出拼后的图形面积为，然后可发现可因式分解为，从而可知能拼成1个新长方形，以及得到长与宽.
24．【答案】（1）解：当 ，时，
；
（2）解：将 两边都乘以 得，
，
去括号得，，
移项得，，
即.
（3）解：∵t的取值与x无关，
∴，即，
∴，即，
∴.
【知识点】分式的约分；利用等式的性质将等式变形
【解析】【分析】（1）代入 ，到原式计算即可；
（2）等号两边同时乘以，然后去括号，将含x的项都移去等号左边，其余移去右边，最后左边提取公因式即可；
（3）若的取值与x无关，意味着及，计算即得到a、b的数量关系.
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1．（2025七下·杭州月考）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约2km的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】原数0.000006的小数点需向右移动6位才能得到6（即6.0）此时指数为负，即-6.
2．（2025七下·杭州月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算正确，符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、同底数幂相除，指数相减不是相除；
B、根据积的乘方法则可判断正确；
C、根据完全平方公式可判断错误；
D、根据平方差公式可判断错误.
3．（2025七下·杭州月考）下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等号左边是单项式，非多项式，因此不属于分解因式；
B、等号右边不是乘积的形式，因此不属于分解因式；
C、等号右边不是乘积的形式，因此不属于分解因式；
D、等号左边是多项式，右边是乘积形式，因此属于分解因式.
故答案为：D.
【分析】分解因式是将一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形过程必须恒等. 根据定义判断各选项.
4．（2025七下·杭州月考）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化，如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1=42°，∠2=16°，则∠CGF的度数是（　　）
A．58° B．48° C．26° D．32°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠AFG+∠CGF=180°.
∵∠1+∠AFG+∠2=180°，
∴ ∠CGF=∠1+∠2=42°+16°=58°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质，同旁内角互补，即可求出∠CGF度数.
5．（2025七下·杭州月考）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：，即分式的值扩大为原来的2倍.
故答案为：B.
【分析】通过代入扩大后的值并化简分式来比较变化情况.
6．（2025七下·杭州月考）若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，.
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】先计算出a、b、c具体值，然后比较大小.
7．（2025七下·杭州月考）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼.意思是：77元钱共买了10斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每斤肉元，每斤鱼元，根据条件“ 77元钱共买了10斤肉和斤鱼 ”可得方程，根据条件“斤肉的钱等于斤鱼的钱 ”可得方程，联立可得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意列出方程组即可.
8．（2025七下·杭州月考）如果的展开式中不含项和x项，则p，q的值分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；二元一次方程组的其他应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：.
∵展开式不含项和x项，
∴，解得， .
故答案为：C.
【分析】将两个多项式相乘，展开后整理成多项式的一般形式，根据不含x2项和x项的条件，令对应系数为0，解方程组求得p和q的值.
9．（2025七下·杭州月考）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解： ∵.
∴，即.
∵为正数，
∴.
又∵分母，
∴，即
故答案为：C.
【分析】将分式方程转化为整式方程，结合解为正数的条件及分母不为零的条件，确定m的取值范围.
10．（2025七下·杭州月考）已知a=m+2024，b=m+2025，c=m+2026，则代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】通过观察已知条件，可以发现a、b、c之间的差值固定，再观察待求值式子的结构特点，可整理成，代入即可计算.
11．（2025七下·杭州月考）要使分式有意义，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若 有意义，即，有.
故答案为：.
【分析】分式有意义的条件是分母不为零.
12．（2025七下·杭州月考）分解因式：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行分解，确保分解彻底.
13．（2025七下·杭州月考）已知多项式x2+ax+81是一个完全平方式，则实数a的值是 　 　．
【答案】±18
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式x2+ax+81是一个完全平方式，
∴a=±2×1×9=±18.
故答案为：±18.
【分析】根据完全平方式的特点可得a=±2×1×9，计算即可.
14．（2025七下·杭州月考）如图，DA//BC//EF，CE平分∠BCF，∠DAC=125°，∠ACF=15°，则∠FEC的度数是　 　.
【答案】35°
【知识点】角的运算；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ DA//BC，
∴∠DAC+∠ACB=180°，即∠ACB=180°-125°=55°.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=55°+15°=70°.
∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB==70°÷2=35°.
∵ BC//EF，
∴∠FEC=∠ECB=35°.
故答案为：35°.
【分析】根据平行及∠ACF度数，得到∠BCF度数，再根据角平分得到∠ECB度数，最后再根据平行得到∠FEC=∠ECB，即得到∠FEC度数.
15．（2025七下·杭州月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　 　.
【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：根据题意，该分式方程有增根，增根为x=1.
方程两边同时乘以x-1，得mx=2-x+1.
代入x=1，得m=2-1+1=2.
故答案为：2.
【分析】分式方程的增根是使分母为零的根，因此确定增根后代入整式方程即可求出参数的值.
16．（2025七下·杭州月考）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y=　 　（用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为　 　.
【答案】（1）
（2）-22
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
【分析】（1）用上式加下式，然后等号两边同时除以3即可；
（2）先求出方程组的解，代入到，得到关于、的关系式，然后整理，即用表示出，最后根据整理后的关系式、结合条件及题目所求，最终可计算出值.
17．（2025七下·杭州月考）将下列各式因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=5(x2-2x+1) =5(x-1)2.
（2）解：原式=(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1).
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）首先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）通过变形为平方项与一次项的差，提取公因式完成分解.
18．（2025七下·杭州月考）解方程（组）：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：等号两边同时乘以，得
去括号，得
移项、合并同类项得，
检验：代入到原方程，等号左边为，等号右边为，左边=右边，即是原分式方程的解.
（2）解：
，得，解得.
代入到，有，解得.
故方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）用去分母法，即方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程后再求解；
（2）运用加减消元法，即将，先消去求解，再返回代入求.
19．（2025七下·杭州月考）先化简，再求值：，其中.
小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
原式=① =4-（a+2） ② =2-a ③ 当a=-1时，原式=2-（-1）=3
【答案】解：①错误，原式=
当时，原式=-1.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】小聪将原式直接乘以，导致分式被错误处理. 正确的做法应是通分后合并分式，而不是整体乘以分母. 最后代入 计算即可.
20．（2025七下·杭州月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形ABC的顶点均在方格纸的格点上，将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使点A落在直线I上的点A'处
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）请描述这个平移过程.
（3）在直线I上找一格点D，使A'，B'，C'、D所围成的四边形的面积为6.
【答案】（1）解：如下图所示，三角形A'B'C'即为所求.

（2）解：三角形ABC向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度得到三角形A'B'C'.
（3）解：如图，点D'，D"均满足题意.

【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据点A与点A'在方格纸上的相对位置关系，得出平移过程，然后即可找到B、C对应点B'、C'，连线得到三角形A'B'C'；
（2）将解答（1）时的平移过程文字描述即可；
（3）直线l上的点只要满足 A'，B'，C'、D 连线而成的图形是平行四边形即可，此时高为2，底为3，面积为6.
21．（2025七下·杭州月考）如图已知，∠DEC=90°，∠AGF=∠ABC，∠1与∠2互补试判断BF与AC的位置关系，并说明理由
【答案】解： BFAC 理由如下：
与互补
即.
【知识点】平行线的判定与性质；补角
【解析】【分析】先根据已知角相等判断出两直线平行，再利用平行线的性质得到角的关系，进而判断出BF与AC的位置关系.
22．（2025七下·杭州月考）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板　 　张或裁得B型纸板　 　张：
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
【答案】（1）9；15
（2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，
则根据题意得：，
整理得，
解得 .
∴，
∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张.
故答案为：9、15.
【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案；
（2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可.
23．（2025七下·杭州月考）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形
（1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式　 　.
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片　 　张，B类卡片　 　张，C类卡片　 　张。
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值.
②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024.
（4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。
【答案】（1）
（2）3；10；8
（3）解：①，
∴
∴
∴
②设，则，，
∴，即
（4）解：，即新长方形的长为，宽为.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法；数形结合
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，.
故答案为：；
（2）∵.
∴ 需要A类卡片3张，B类卡片10张，C类卡片8张.
故答案为：3、10、8.
【分析】（1）由图2可知，边长为（a+b）的正方形面积可由两个边长分别为a、b的正方形面积加上2个边长为a、b的长方形面积求和所得，于是有；
（2）先计算，根据结果、、的系数得出结果；
（3）①由（1）可得，然后代入条件 m+n=5，m2+n2=20计算出mn，从而进一步计算出 （m-n）2的值；②设，将条件 （x-2023）2+（x-2025）2=34转化成以y表示，并求出的值，从而通过开平方根求出的值；
（4）根据题意得出拼后的图形面积为，然后可发现可因式分解为，从而可知能拼成1个新长方形，以及得到长与宽.
24．（2025七下·杭州月考）已知（a，b是常数，）①
（1）若，，求；
（2）试将等式①变形成“”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）若的取值与x无关，试求a与b的数量关系.
【答案】（1）解：当 ，时，
；
（2）解：将 两边都乘以 得，
，
去括号得，，
移项得，，
即.
（3）解：∵t的取值与x无关，
∴，即，
∴，即，
∴.
【知识点】分式的约分；利用等式的性质将等式变形
【解析】【分析】（1）代入 ，到原式计算即可；
（2）等号两边同时乘以，然后去括号，将含x的项都移去等号左边，其余移去右边，最后左边提取公因式即可；
（3）若的取值与x无关，意味着及，计算即得到a、b的数量关系.
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