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(共86张PPT)
第二章　圆锥曲线
章末综合提升
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1　圆锥曲线的定义
1．圆锥曲线的定义、标准方程及简单的几何性质是本章的基础．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．圆锥曲线定义的应用技巧
(1)在求动点的轨迹方程时，若所求动点的轨迹符合圆锥曲线的定义，则可由定义法求其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题，常用圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．
(3)在抛物线中，常利用定义实现“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．
[思路点拨]　(1)根据定义法求解．(2)焦点三角形问题一般是利用圆锥曲线的定义，并结合解三角形的知识求解．
类型2　圆锥曲线的方程
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用．
(3)定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
√
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类型3　圆锥曲线的性质
圆锥曲线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等，要树立用性质解题的思想，它可以简化求解过程．
√
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类型4　直线与圆锥曲线的位置关系
1．将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系可用判别式来判断．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
3．常见定值问题的处理方法
(1)先表示：确定一个(或两个)变量为核心变量，注意：通常这个核心变量要有一定的几何意义，比如直线的斜率、截距，曲线上点的坐标，将所求表达式用核心变量进行表示；
(2)后化简：对表达式进行化简，在化简的过程中，尽量做到整体代入，以便简化运算．
4．圆锥曲线中的最值与范围问题的解法总体上主要有两种，一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的知识与方法等进行求解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数、不等式等知识进行求解．
5．解决圆锥曲线中的取值范围问题的两种方法
(1)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2)构建关于待求量的不等式，通过解不等式求其范围．常见构建不等式的方法是：利用判别式构造不等关系；利用已知的不等关系构造不等式；利用圆锥曲线的范围构造不等式．
角度1　“点差法”
【例4】　求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
[思路点拨]　要求过点(1，－1)的弦所在的直线方程，只需求出斜率即可，用“点差法”求直线的斜率．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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章末综合测评(二)　圆锥曲线
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A　[由椭圆的定义知，△ABF2的周长为4×5＝20．]
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3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
√
A　[∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．]
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13．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．

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19类型1　圆锥曲线的定义
1．圆锥曲线的定义、标准方程及简单的几何性质是本章的基础．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．圆锥曲线定义的应用技巧
(1)在求动点的轨迹方程时，若所求动点的轨迹符合圆锥曲线的定义，则可由定义法求其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题，常用圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．
(3)在抛物线中，常利用定义实现“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．
【例1】　(1)已知点A(1，0)和圆B：(x＋1)2＋y2＝16．P是圆上任一点，则线段AP的垂直平分线l与线段PB的交点M的轨迹方程是________．
(2)若F1，F2是双曲线＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．
[思路点拨]　(1)根据定义法求解．(2)焦点三角形问题一般是利用圆锥曲线的定义，并结合解三角形的知识求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
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类型2　圆锥曲线的方程
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用．
(3)定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
【例2】　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1　　　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
(2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＋y2＝1 　 D．＝1
[尝试解答]　________________________________________________________
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类型3　圆锥曲线的性质
圆锥曲线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等，要树立用性质解题的思想，它可以简化求解过程．
【例3】　(1)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4　　 B．3
C．2　　 D．
(2)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
[尝试解答]　________________________________________________________
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类型4　直线与圆锥曲线的位置关系
1．将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系可用判别式来判断．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
3．常见定值问题的处理方法
(1)先表示：确定一个(或两个)变量为核心变量，注意：通常这个核心变量要有一定的几何意义，比如直线的斜率、截距，曲线上点的坐标，将所求表达式用核心变量进行表示；
(2)后化简：对表达式进行化简，在化简的过程中，尽量做到整体代入，以便简化运算．
4．圆锥曲线中的最值与范围问题的解法总体上主要有两种，一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的知识与方法等进行求解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数、不等式等知识进行求解．
5．解决圆锥曲线中的取值范围问题的两种方法
(1)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2)构建关于待求量的不等式，通过解不等式求其范围．常见构建不等式的方法是：利用判别式构造不等关系；利用已知的不等关系构造不等式；利用圆锥曲线的范围构造不等式．
　“点差法”
【例4】　求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
[思路点拨]　要求过点(1，－1)的弦所在的直线方程，只需求出斜率即可，用“点差法”求直线的斜率．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　定点与定值问题
【例5】　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　最值与范围问题
【例6】　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
[尝试解答]　________________________________________________________
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)章末综合测评(二)　圆锥曲线
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A．　　 B．
C．1　　 D．
2．椭圆＝1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20 　 B．12
C．10 　 D．6
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
6．方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为(　　)
A．抛物线 　 B．椭圆
C．双曲线 　 D．圆
7．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
8．双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C1：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　)
A．＝2 　 B．e1e2＝
C．＝ 　 D．＝1
10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
11．双曲线＝1的离心率为e1，双曲线＝1的离心率为e2，则e1＋e2的值不可能是(　　)
A．3 　 B．2
C． 　 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C过双曲线＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
13．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
16．(15分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值；
17．(15分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
19．(17分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1　圆锥曲线的定义
1．圆锥曲线的定义、标准方程及简单的几何性质是本章的基础．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．圆锥曲线定义的应用技巧
(1)在求动点的轨迹方程时，若所求动点的轨迹符合圆锥曲线的定义，则可由定义法求其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题，常用圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．
(3)在抛物线中，常利用定义实现“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．
【例1】　(1)已知点A(1，0)和圆B：(x＋1)2＋y2＝16．P是圆上任一点，则线段AP的垂直平分线l与线段PB的交点M的轨迹方程是________．
(2)若F1，F2是双曲线＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．
[思路点拨]　(1)根据定义法求解．(2)焦点三角形问题一般是利用圆锥曲线的定义，并结合解三角形的知识求解．
(1)＝1　(2)3　[(1)如图所示，连接MA．
∵M为线段AP的垂直平分线l上的一点，∴|MP|＝|MA|．
于是|MB|＋|MA|＝|MB|＋|MP|＝|BP|＝4．又|BA|＝2，
∴点M的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，设其方程为＝1(a>b>0)．
由题意知a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3．
故点M的轨迹方程为＝1．
(2)由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，
所以a＝4，c＝5．
由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，则M在右支上，根据双曲线定义，有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2，
而|F1F2|＝2c＝10，
则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，连接F1N，
则F1N⊥MF2，且|F1N|＝＝3，
从而＝×2×3＝3．]
类型2　圆锥曲线的方程
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用．
(3)定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
【例2】　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1　　　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
(2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＋y2＝1 　 D．＝1
(1)C　(2)D　[(1)如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．故选C．
(2)依题意得＝，2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝，所以椭圆C的标准方程为＝1．]
类型3　圆锥曲线的性质
圆锥曲线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等，要树立用性质解题的思想，它可以简化求解过程．
【例3】　(1)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4　　 B．3
C．2　　 D．
(2)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(1)C　(2)C　[(1)设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝2．
故选C．
(2)设P(x0，y0)，由题意知B(0，b)，
因为＝1，a2＝b2＋c2，
所以|PB|2＝＋(y0－b)2＝＋(y0－b)2＝－＋＋a2＋b2，
因为－b≤y0≤b，当－≤－b，
即b2≥c2时＝4b2，
即|PB|max＝2b，符合题意，
由b2≥c2可得a2≥2c2，即0当－>－b，
即b2即＋a2＋b2≤4b2，
化简得，(c2－b2)2≤0，
显然该不等式不成立．故选C．]
类型4　直线与圆锥曲线的位置关系
1．将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系可用判别式来判断．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
3．常见定值问题的处理方法
(1)先表示：确定一个(或两个)变量为核心变量，注意：通常这个核心变量要有一定的几何意义，比如直线的斜率、截距，曲线上点的坐标，将所求表达式用核心变量进行表示；
(2)后化简：对表达式进行化简，在化简的过程中，尽量做到整体代入，以便简化运算．
4．圆锥曲线中的最值与范围问题的解法总体上主要有两种，一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的知识与方法等进行求解；
二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数、不等式等知识进行求解．
5．解决圆锥曲线中的取值范围问题的两种方法
(1)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2)构建关于待求量的不等式，通过解不等式求其范围．常见构建不等式的方法是：利用判别式构造不等关系；利用已知的不等关系构造不等式；利用圆锥曲线的范围构造不等式．
　“点差法”
【例4】　求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
[思路点拨]　要求过点(1，－1)的弦所在的直线方程，只需求出斜率即可，用“点差法”求直线的斜率．
[解]　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由得
kAB＝．⑤
由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，
∴＝．
将④⑤代入上式，可得kAB＝－4．
∴弦所在直线的方程为y＋1＝－4(x－1)，
即4x＋y－3＝0．
　定点与定值问题
【例5】　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
[解]　(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4．
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＝1．
(2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且小于0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，k＜0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝．
直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，
则yM＋yN＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝6．
所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3)．
　最值与范围问题
【例6】　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
[解]　(1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程为x＝－，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为＝p＝2，所以该抛物线的方程为y2＝4x．
(2)设Q(x0，y0)，则＝9＝(9－9x0，－9y0)，
所以P(10x0－9，10y0)，由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝，所以直线OQ的斜率kOQ＝＝＝，
当y0＝0时，kOQ＝0；
当y0≠0时，kOQ＝，
当y0>0时，因为25y0＋≥2＝30，
此时0即y0＝时，等号成立；
当y0<0时，kOQ<0；
综上，直线OQ的斜率的最大值为．
章末综合测评(二)　圆锥曲线
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A．　　 B．
C．1　　 D．
B　[右焦点F(1，0)，∴d＝．]
2．椭圆＝1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20 　 B．12
C．10 　 D．6
A　[由椭圆的定义知，△ABF2的周长为4×5＝20．]
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
A　[∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．]
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0．由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以0根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2．因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，　②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝．]
5．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[由椭圆C：＋y2＝1的方程得a2＝2，b2＝1．
由椭圆的性质可知＝－＝－．
∴＝．
∵∴∈．]
6．方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为(　　)
A．抛物线 　 B．椭圆
C．双曲线 　 D．圆
A　[由已知得＝，根据抛物线的定义，方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为抛物线．]
7．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝．]
8．双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
D　[不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立，
解得即P．
因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2．
因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝．
所以双曲线的方程为＝1，故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C1：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　)
A．＝2 　 B．e1e2＝
C．＝ 　 D．＝1
BD　[因为＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．
在焦点△PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，
则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，
故＝，e1e2＝＝＝1，故选BD．]
10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1；
当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1；
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线方程y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确．
故选ABD．]
11．双曲线＝1的离心率为e1，双曲线＝1的离心率为e2，则e1＋e2的值不可能是(　　)
A．3 　 B．2
C． 　 D．
CD　[(e1＋e2)2＝＋2e1e2＝＋2×＝2＋＋2≥2＋2＋2×2＝8，当且仅当a＝b时取等号．故选CD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C过双曲线＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
　[由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为．易求它到双曲线中心的距离为．]
13．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
　[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
由可得x2＋2x－24＝0，
故x＝4或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离为d＝＝．]
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______．
13　[∵椭圆的离心率为e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝，
∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程：x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6 cy－9c2＝0，
判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，
∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝2×6×4×＝6，
∴c＝，得a＝2c＝，
∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝．
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，即＝3，解得k＝－．
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得＝，
∴＝．
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．
∴kMN＝＝＝－．
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0．
16．(15分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值；
[解]　(1)设P，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ＞0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－．
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0．
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±．
17．(15分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值．
[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝＝＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　(*)
①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1．
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，易知k≠0．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，得mk＜1，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝
＝
＝＋2＋1．
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[解]　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，
半焦距为c，则2a＝2，c＝，
得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得x2－2k1x－－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，xA＞，xB＞，
易知≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝＝(1＋＝(1＋)·＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以
所以
即又k1≠k2，所以k1＝－k2，
即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
19．(17分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
[解]　(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设，直线MN：x＝my＋1，
由 可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4．
当直线MN的斜率存在时，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan ＝＝＝＝，当且仅当＝2k即k＝时，等号成立，
所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan (α－β)＜．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)章末综合测评(二)
1．B　[右焦点F(1，0)，∴d＝．]
2．A　[由椭圆的定义知，△ABF2的周长为4×5＝20．]
3．A　[∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．]
4．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0．由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以0根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2．因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，　②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝．]
5．C　[由椭圆C：＋y2＝1的方程得a2＝2，b2＝1．
由椭圆的性质可知·．
∴．
∵∈[1，2]，∴．]
6．A　[由已知得 ，根据抛物线的定义，方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为抛物线．]
7．A　[设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m，所以C的离心率e＝．]
8．D　[不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立，解得．
因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝＝b，所以b＝2．
因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以，化简得，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝＝1，故选D．]
9．BD　[因为·|，所以△MF1F2为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．
在焦点△PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a'，
则c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a')2＝，即e2＝，
故，e1e2＝＝2，＝1，故选BD．]
10．ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
☉A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l与☉A相切，A选项正确：
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝，B选项正确：
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1：
当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1：
于是PA⊥AB不成立，C选项错误：
D选项，法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－，于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线方程y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，根据两点间的距离公式，得＋1，
整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确．
故选ABD．]
11．CD　[(e1＋e2)2＝＋2e1e2 ＝≥2＋2＋2×2＝8，当且仅当a＝b时取等号．故选CD．]
12．　[由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为．]
13．　[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
由可得x2＋2x－24＝0，
故x＝4或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离为d＝．]
14．13　[∵椭圆的离心率为e＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，
∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，
∴∠AF2O＝，
∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程：x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6 cy－9c2＝0，
判别式Δ＝(6 c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，
∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝6，∴c＝，得a＝2c＝，
∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．]
15．解：法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由 消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝．
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，即＝3，解得k＝－．
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－，即3x＋4y－5＝0．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得，
∴．
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．
∴kMN＝．
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0．
16．解：(1)设P，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－．
若，即x1x2＋y1y2＝0．
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±．
17．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝··，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　(*)
①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1．
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，易知k≠0．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，得mk<1，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝
＝＋2＋1．
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)．
18．解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
半焦距为c，则2a＝2，c＝，
得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得(16－)x2－2k1－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，xA>，xB>，
易知16－≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝，
|TB|＝，
则|TA|·|TB|＝＝(1＋＝(1＋)·＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以，
所以，
即，又k1≠k2，所以k1＝－k2，
即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
19．解：(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，
由 可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4．
当直线MN的斜率存在时，
由斜率公式可得kMN＝，kAB＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝，
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan，
当且仅当时，等号成立，
所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan(α－β)<．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
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