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章末综合测评(一)　直线与圆
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线过点，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
2． 若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是(　　)
A．－1或2 　 B．－1
C．2 　 D．
3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． 　 B．2
C．3 　 D．3
4．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　)
A． 　 B．－
C．1 　 D．－1
5．以A，B为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 　 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 　 D．3x＋y＋2＝0
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．2
7．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　)
A．±2 　 B．±
C．± 　 D．±3
8．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列过点的直线方程是(　　)
A．y－2＝k(x＋1) 　 B．k＝
C．x＋1＝0 　 D．y－2＝0
10．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且||＝||，其中O为原点，则实数a的值可能为(　　)
A．2 　 B．－2
C． 　 D．－
11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
13．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
14．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则|OP|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
16．(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
17．(15分)已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x所截得的弦长为2，求该圆的方程．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于点P，Q，
(1)求直线PQ的方程；
(2)求线段PQ的取值范围．
19．(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切．
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)综合测评卷参考答案
章末综合测评(一)
1．A　[由k＝，得直线的倾斜角为30°．]
2．C　[由a(a－1)－1×2＝0，得a＝－1或2，
经检验a＝－1时，两直线重合，所以a＝2．]
3．D　[化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为．]
4．A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝．]
5．B　[∵kAB＝，AB的中点坐标为(－2，2)，
∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0．故选B．]
6．D　[由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2．]
7．C　[数形结合，m为直线在y轴上的截距，m＝±．]
8．D　[由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0．
令
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．]
9．ACD　[经检验，只有B不正确．]
10．AB　[由||，得OA⊥OB，又|OA|＝|OB|，∴△OAB是等腰直角三角形，∴圆心到直线x＋y＝a即x＋y－a＝0的距离d＝r，即×2，解得a＝±2．]
11．ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，
如图所示，连接MB，MN，MQ，
则当∠PBA最小时，点P与N重合，
|PB|＝，
当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．综上，选ACD．]
12．8　[圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，
∴|C1C2|＝5．
又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是
|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．]
13．2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C(1，0)，半径R＝2，圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2．由S△ABC＝，得，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
14．
2　8　[如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA．又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|＝2．
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，
即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝．
故所求最小值为2＝8．]
15．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①
又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．②
解①②组成的方程组得
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a．③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝－(－b)．④
由③④联立，解得
经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为
16．解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则，
∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0．
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0．
(3)∵kAC＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0．
17．解：法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，
∴a＝±1．
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，
即2r2＝(a－b)2＋14．①
由于所求圆与y轴相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，半径r＝．
在圆的方程中，令x＝0，
得y2＋Ey＋F＝0．
由于所求圆与y轴相切，
∴Δ＝0，则E2＝4F．①
圆心到直线y＝x的距离为
d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0．③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
18．解：(1)依题意，A，P，C，Q四点共圆，其中线段AC是该圆的直径，故该圆的方程为＝0，
所以直线PQ的方程为x0x－3y＋7＝0．
(2)由圆的弦长公式得
＝ 2，
所以线段PQ的取值范围是．
19．解：(1)设圆C的圆心坐标为(a，2a)，
则半径r＝，两圆的圆心距为r，
因为两圆外切，所以r＝r＋9，所以r＝＋1．
(2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2)，
①若斜率不存在，则直线方程为x＝1，
圆心C到它的距离|a－1|＝r＝，
由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，
所以它不是公切线．
②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)，
则d＝对任意的a都成立，
，
两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，
当k＝1时，直线与l1重合，
当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
故还存在一条公切线，
其方程为7x－y－5＝0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1　求直线方程
求直线方程时，注意其适用条件：
(1)点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线．
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线．
(3)一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0．
【例1】　从点P(3，－2)发出的光线l，经过直线l1：x＋y－2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好经过点Q(5，1)，求l的方程．
[思路点拨]　已知点P在l上，只需在直线l上再求出一个点即可．
[解]　设点P(3，－2)关于l1：x＋y－2＝0对称的点P1的坐标为(x，y)，则直线l1为线段PP1的垂直平分线，可得方程组
解得
即P1(4，－1)．
于是直线P1Q的方程为2x－y－9＝0．
设直线l1与直线P1Q交于A，
联立解得A．
又直线l经过点P，点A，
于是l的方程为x－2y－7＝0．
类型2　求圆的方程
利用待定系数法求圆的方程：
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值．
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【例2】　(1)以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　　
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
(2)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4　 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 　 D．x2＋(y－1)2＝16
(1)B　(2)B　[(1)直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)，∴圆心为(1，1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．
(2)由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2)，设圆心为B(0，1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2．故选B．]
类型3　直线与圆的方程的应用
直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离．
提醒：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．
【例3】　(1)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2　 　　 B．3　　 　
C．4　　 　 D．6
(2)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 　 B．2
C． 　 D．3
(1)C　(2)C　[(1)设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝2＝4，故选C．
(2)切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝．]
章末综合测评(一)　直线与圆
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线过点，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
A　[由k＝＝，得直线的倾斜角为30°．]
2． 若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是(　　)
A．－1或2 　 B．－1
C．2 　 D．
C　[由a(a－1)－1×2＝0，得a＝－1或2，
经检验a＝－1时，两直线重合，所以a＝2．]
3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． 　 B．2
C．3 　 D．3
D　[化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3．]
4．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　)
A． 　 B．－
C．1 　 D．－1
A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝．]
5．以A，B为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 　 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 　 D．3x＋y＋2＝0
B　[∵kAB＝＝，
AB的中点坐标为(－2，2)，
∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0．
故选B．]
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．2
D　[由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2＝2．]
7．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　)
A．±2 　 B．±
C．± 　 D．±3
C　[数形结合，m为直线在y轴上的截距，m＝±＝±．]
8．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
D　[由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0．
令得
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列过点的直线方程是(　　)
A．y－2＝k(x＋1) 　 B．k＝
C．x＋1＝0 　 D．y－2＝0
ACD　[经检验，只有B不正确．]
10．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且||＝||，其中O为原点，则实数a的值可能为(　　)
A．2 　 B．－2
C． 　 D．－
AB　[由||＝||，得OA⊥OB，又|OA|＝|OB|，∴△OAB是等腰直角三角形，∴圆心到直线x＋y＝a即x＋y－a＝0的距离d＝r，即＝×2，解得a＝±2．]
11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，
如图所示，连接MB，MN，MQ，
则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，
当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．综上，选ACD．
]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
8　[圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5．
又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是
|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．]
13．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
2(2，－2，，－中任意一个均可)　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
14．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则|OP|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为________．
2　8　[如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA．又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|
＝2
＝2．
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，
即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝＝2．
故所求最小值为2＝8．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1) l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①
又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．②
解①②组成的方程组得
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a．③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝－(－b)．④
由③④联立，解得或
经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为
或
16．(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
[解]　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0．
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，
∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0．
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0．
17．(15分)已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x所截得的弦长为2，求该圆的方程．
[解]　法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，
∴a＝±1．
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14．①
由于所求圆与y轴相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得
或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
半径r＝．
在圆的方程中，令x＝0，
得y2＋Ey＋F＝0．
由于所求圆与y轴相切，
∴Δ＝0，则E2＝4F．①
圆心到直线y＝x的距离为d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0．③
联立①②③，解得
或
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于点P，Q，
(1)求直线PQ的方程；
(2)求线段PQ的取值范围．
[解]　(1)依题意，A，P，C，Q四点共圆，其中线段AC是该圆的直径，故该圆的方程为x＋y＝0，
所以直线PQ的方程为x0x－3y＋7＝0．
(2)由圆的弦长公式得＝＝，
所以线段PQ的取值范围是．
19．(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切．
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．
[解]　(1)设圆C的圆心坐标为(a，2a)，
则半径r＝＝，
两圆的圆心距为＝|a－1|＝r，
因为两圆外切，
所以r＝r＋9，
所以r＝＋1．
(2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2)，
①若斜率不存在，则直线方程为x＝1，
圆心C到它的距离|a－1|＝r＝，
由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，
所以它不是公切线．
②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)，
则d＝＝r＝对任意的a都成立，
＝＝，
两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，
解得k＝1或k＝7，
当k＝1时，直线与l1重合，
当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
故还存在一条公切线，
其方程为7x－y－5＝0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1　求直线方程
求直线方程时，注意其适用条件：
(1)点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线．
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线．
(3)一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0．
【例1】　从点P(3，－2)发出的光线l，经过直线l1：x＋y－2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好经过点Q(5，1)，求l的方程．
[思路点拨]　已知点P在l上，只需在直线l上再求出一个点即可．
[尝试解答]　________________________________________________________
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类型2　求圆的方程
利用待定系数法求圆的方程：
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值．
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【例2】　(1)以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　　
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
(2)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4　 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 　 D．x2＋(y－1)2＝16
[尝试解答]　________________________________________________________
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类型3　直线与圆的方程的应用
直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离．
提醒：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．
【例3】　(1)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2　 　　 B．3　　 　
C．4　　 　 D．6
(2)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 　 B．2
C． 　 D．3
[尝试解答]　________________________________________________________
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共47张PPT)
第一章　直线与圆
章末综合提升
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1　求直线方程
求直线方程时，注意其适用条件：
(1)点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线．
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线．
(3)一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0．
【例1】　从点P(3，－2)发出的光线l，经过直线l1：x＋y－2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好经过点Q(5，1)，求l的方程．
[思路点拨]　已知点P在l上，只需在直线l上再求出一个点即可．
类型2　求圆的方程
利用待定系数法求圆的方程：
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值．
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【例2】　(1)以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为
(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　　
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
(2)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4　 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 　 D．x2＋(y－1)2＝16
√
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类型3　直线与圆的方程的应用
直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离．
提醒：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．
√
√
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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章末综合测评(一)　直线与圆
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C　[由a(a－1)－1×2＝0，得a＝－1或2，
经检验a＝－1时，两直线重合，所以a＝2．]
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8．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
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ACD　[经检验，只有B不正确．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
8　[圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5．
又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．]
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题号
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14．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则|OP|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为______．
8　
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1) l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
题号
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16．(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
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19．(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切．
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．
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两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，
解得k＝1或k＝7，
当k＝1时，直线与l1重合，
当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
故还存在一条公切线，
其方程为7x－y－5＝0．

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