资源简介

§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
学习任务 核心素养
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(重点) 2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率．(难点、重点) 1．通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养．
1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？
2．已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？
3．如何刻画直线的方向？
1．直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．
规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0．
范围：倾斜角α的取值范围为．
2．直线的斜率
(1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)．
(2)直线的斜率表示直线的倾斜程度．
3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
(1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图所示．
当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．
(2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)．
若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝．
任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？
[提示]　直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴；当倾斜角不是时，直线的斜率存在且唯一．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一直线都有方向向量，且不唯一． (　　)
(2)若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率k＝． (　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α． (　　)
(4)当x1≠x2时，过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为(　　)
A．　　　　 B．　　
C．1　　　　 D．
B　[由题意可知，直线l的斜率k＝tan 60°＝．]
3．经过点(0，2)和点(3，0)的直线的斜率是________．
－　[斜率k＝＝－．]
类型1　直线的倾斜角
【例1】　求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　　　(2)　　　　　　　(3)
[解]　(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°．
(1)　　　　　　(2)　　　　　　(3)
(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，
∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．
(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．
　求直线的倾斜角的两点注意
(1)直线倾斜角的取值范围是．
(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为．
[跟进训练]
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α．如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
D　[根据题意，画出图形，通过图形可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D．]
类型2　直线的斜率
【例2】　(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率；
(3)已知直线l的一个方向向量是，求该直线的斜率；
(4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．
[解]　(1)直线的斜率分别为k1＝tan 60°＝，k2＝tan 135°＝－1．
(2)直线AB的斜率kAB＝＝．
(3)直线l的斜率k＝＝．
(4)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝．
　求直线斜率的三种方法
(1)已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得；
(2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求．要注意，其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2时，直线斜率不存在；
(3)已知直线的方向向量v＝时，可利用k＝来求，但要注意，当m＝0时，直线的斜率不存在．
[跟进训练]
2．经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于，则m的值是(　　)
A．4　　　　 B．3　　
C．1或3　　 D．1或4
B　[由＝，解得m＝3．]
类型3　直线的倾斜角、斜率的应用
　三点共线问题
【例3】　如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值．
[解]　kAB＝＝，kAC＝＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，∴m＝－6．
　斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
[跟进训练]
3．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
[证明]　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2．
∴kAB＝kAC．
∵直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线．
　数形结合法求倾斜角或斜率范围
【例4】　【链接教材P6例3】
直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角α的范围．
[解]　如图所示．
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
∴45°≤α≤120°．
【教材原题·P6例3】
例3　已知直线l的倾斜角为α，斜率为k．
(1)若0≤α≤，求斜率k的取值范围；
(2)若≤α≤，求斜率k的取值范围；
(3)若－≤k≤－，求倾斜角α的取值范围；
(4)若－1≤k≤，求倾斜角α的取值范围．
[解]　(1)由0≤α≤及正切函数的性质，可得tan 0≤tan α≤tan ，即0≤tan α≤，所以斜率k的取值范围是{k|0≤k≤}．
(2)由正切函数的性质，可得当≤α<时，k＝tan α≥1；当<α≤时，k＝tan α≤－1；当α＝时，斜率k不存在．
综上，斜率k的取值范围是{k|k≤－1或k≥1}．特别地，当α＝时，斜率k不存在．
(3)由－≤k≤－，可得－≤tan α≤－．
又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是．
(4)由－1≤k≤，可得－1≤tan α≤．
又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是．
　直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”．
[跟进训练]
4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
[解]　如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是．
1．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　)
A．45°　　　 B．135°
C．45°或135° 　 D．－45°
B　[作出直线l，如图所示，由图易知，应选B．
]
2．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　)
①　　　②　　　　③　　　④
A．①　　 B．①②
C．①③　　 D．②④
A　[由倾斜角的定义可得．]
3．已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为________．
－2　[∵ ＝tan 45°＝1，∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2．但当m＝－1时，A，B重合，舍去．
∴m＝－2．]
4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
(3，0)或(0，－3)　[设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)．
由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3．
故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．]
5．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°且α≠90°，求直线l的斜率的取值范围．
[解]　设直线l的斜率为k．
当45°≤α＜90°时，k＝tan α∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，k＝tan α∈(－∞，－1]．
所以斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．
3．已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．
课时分层作业(一)　一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系
一、选择题
1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　 B．－2　
C．2　　 D．不存在
B　[由题意可得AB的斜率为k＝＝－2．]
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4，1)与(－4，－1)
B．(0，1)与(1，0)
C．(1，4)与(－1，4)
D．(－4，1)与(－4，－1)
D　[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]
3．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1D　[直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0．直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以04．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　)
A．1 　 B．
C． 　 D．－
B　[法一：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l的斜率k＝tan 2α＝．故选B．
法二：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，∴l的斜率k＝tan 2α＝＝＝．故选B．]
5．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 　 B．4
C．1或3 　 D．1或4
A　[∵kMN＝＝1，∴m＝1．]
二、填空题
6．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是________．
2　[如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2．]
7．已知A(2，－3)，B(4，3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
12　[因为A，B，C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即＝，解得m＝12．]
8．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
　[当0≤k<时，即0≤tan α<，又α∈，所以α∈．]
三、解答题
9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．
[解]　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°．
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°．
10．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
[解]　(1)如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k．
由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．
易知kPA≤k≤kPB．
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8．
故的最大值是8，最小值是．
(2)由(1)知，的最大值是8，最小值是．
又＝＋1，
所以的最大值是9，最小值是．
11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) 　 B．(－1，＋∞)
C．(－1，1) 　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C　[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，∴－112．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则(　　)
A．a＝3，b＝1 　 B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3 　 D．a＝3，b∈R且b≠1
D　[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]
13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是(　　)
A．若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率
B．若直线l的斜率是k，则(1，k)是该直线的一个方向向量
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
[答案]　ABC
14．已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．则直线AC的倾斜角为________；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
0　(－∞，1)∪(1，＋∞)　[因为kAC＝＝＝0，所以直线AC的倾斜角为0．
又kAB＝＝，要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴≠0．
∴k≠1．]
15．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
[解]　法一：设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB．
∵kQA＝，kQB＝，∴＝－．
解得y＝，即点Q的坐标为，∴k入＝kQA＝＝－．
法二：设Q(0，y)，如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B′(－4，3)，
kAB′＝＝－，由题意得，A，Q，B′三点共线．
从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB′＝－．
所以有＝，
解得y＝，所以点Q的坐标为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
学习任务 核心素养
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(重点) 2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率．(难点、重点) 1．通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养．
1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？
2．已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？
3．如何刻画直线的方向？
1．直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把___(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．
规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为_．
范围：倾斜角α的取值范围为________．
2．直线的斜率
(1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝________(x1≠x2)．
(2)直线的斜率表示直线的________．
3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
(1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图所示．
当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．
(2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的________，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)．
若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个________；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝．
任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一直线都有方向向量，且不唯一． (　　)
(2)若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率k＝． (　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α． (　　)
(4)当x1≠x2时，过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝． (　　)
2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为(　　)
A．　　　　 B．　　
C．1　　　　 D．
3．经过点(0，2)和点(3，0)的直线的斜率是________．
类型1　直线的倾斜角
【例1】　求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　　　(2)　　　　　　　(3)
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　求直线的倾斜角的两点注意
(1)直线倾斜角的取值范围是．
(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为．
[跟进训练]
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α．如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
类型2　直线的斜率
【例2】　(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率；
(3)已知直线l的一个方向向量是，求该直线的斜率；
(4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　求直线斜率的三种方法
(1)已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得；
(2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求．要注意，其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2时，直线斜率不存在；
(3)已知直线的方向向量v＝时，可利用k＝来求，但要注意，当m＝0时，直线的斜率不存在．
[跟进训练]
2．经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于，则m的值是(　　)
A．4　　　　 B．3　　
C．1或3　　 D．1或4
类型3　直线的倾斜角、斜率的应用
　三点共线问题
【例3】　如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
[跟进训练]
3．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　数形结合法求倾斜角或斜率范围
【例4】　【链接教材P6例3】
直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角α的范围．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”．
[跟进训练]
4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　)
A．45°　　　 B．135°
C．45°或135° 　 D．－45°
2．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　)
①　　　②　　　　③　　　④
A．①　　 B．①②
C．①③　　 D．②④
3．已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为________．
4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
5．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°且α≠90°，求直线l的斜率的取值范围．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．
3．已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)数智分层作业参考答案
课时分层作业(一)
1．B　[由题意可得AB的斜率为k＝＝－2．]
2．D　[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]
3．D　[直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0．直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以04．B　[法一：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l的斜率k＝tan 2α＝．故选B．
法二：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，∴l的斜率k＝tan 2α＝．故选B．]
5．A　[∵kMN＝＝1，∴m＝1．]
6．2　[如图，kOA＝2，kl'＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2．]
7．12　[因为A，B，C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即，解得m＝12．]
8．　[当0≤k<时，即0≤tan α<，又α∈，所以α∈．]
9．解：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°．
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°．
10．解：(1)如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k．
由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．
易知kPA≤k≤kPB．
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8．
故的最大值是8，最小值是．
(2)由(1)知，的最大值是8，最小值是．
又 ＋1，
所以的最大值是9，最小值是．
11．C　[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，
∴－112．D　[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]
13．ABC
14．0　(－∞，1)∪(1，＋∞)　[因为kAC＝＝0，所以直线AC的倾斜角为0．
又kAB＝，
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴≠0．
∴k≠1．]
15．解：法一：设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB．
∵kQA＝，kQB＝，∴．
解得y＝，即点Q的坐标为，
∴k入＝kQA＝．
法二：设Q(0，y)，如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B'(－4，3)，
kAB'＝，由题意得，A，Q，B'三点共线．
从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB'＝－．
所以有，
解得y＝，所以点Q的坐标为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共56张PPT)
第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.1　一次函数的图象与直线的方程
1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系
学习任务 核心素养
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(重点)
2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)
3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率．
(难点、重点) 1．通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养．
1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？
2．已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？
3．如何刻画直线的方向？
必备知识·情境导学探新知
1．直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把____(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．
规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为__．
范围：倾斜角α的取值范围为_______．
x轴　
0　

2．直线的斜率
(1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝______(x1≠x2)．
(2)直线的斜率表示直线的_________．

倾斜程度
方向向量　
方向向量　

思考　任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？
√
√
×
√
√
3．经过点(0，2)和点(3，0)的直线的斜率是________．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直线的倾斜角
【例1】　求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　(2)　　　　　　(3)
[解]　(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°．
(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，
∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．
(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的
倾斜角为150°．
[跟进训练]
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α．如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
√
D　[根据题意，画出图形，通过图形可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D．]
√
类型3　直线的倾斜角、斜率的应用
角度1　三点共线问题
【例3】　如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值．
反思领悟　斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
[跟进训练]
3．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
反思领悟　直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”．
[跟进训练]
4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　)
A．45°　　　 B．135°
C．45°或135° 　 D．－45°
B　[作出直线l，如图所示，由图易知，应选B．]
2．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　)
√
A．①　　 B．①②
C．①③　　 D．②④
A　[由倾斜角的定义可得．]
3．已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为________．
－2　
4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为__________________．
(3，0)或(0，－3)　
5．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°且α≠90°，求直线l的斜率的取值范围．
[解]　设直线l的斜率为k．
当45°≤α＜90°时，k＝tan α∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，k＝tan α∈(－∞，－1]．
所以斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(一)　一次函数的图象与直线的方程直线
的倾斜角、斜率及其关系
一、选择题
1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　 B．－2　
C．2　　 D．不存在
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4，1)与(－4，－1)
B．(0，1)与(1，0)
C．(1，4)与(－1，4)
D．(－4，1)与(－4，－1)
√
D　[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1√
D　[直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0．直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 　 B．4
C．1或3 　 D．1或4
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是________．
2　[如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2．]
2　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) 　 B．(－1，＋∞)
C．(－1，1) 　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则
(　　)
A．a＝3，b＝1 　 B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3 　 D．a＝3，b∈R且b≠1
√
D　[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是(　　)
A．若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率
B．若直线l的斜率是k，则(1，k)是该直线的一个方向向量
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．则直线AC的倾斜角为________；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为________________________．
0
(－∞，1)∪(1，＋∞)　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15课时分层作业(一)　一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　 B．－2　
C．2　　 D．不存在
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4，1)与(－4，－1)
B．(0，1)与(1，0)
C．(1，4)与(－1，4)
D．(－4，1)与(－4，－1)
3．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k14．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　)
A．1 　 B．
C． 　 D．－
5．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 　 B．4
C．1或3 　 D．1或4
二、填空题
6．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是________．
7．已知A(2，－3)，B(4，3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
8．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
三、解答题
9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．
10．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) 　 B．(－1，＋∞)
C．(－1，1) 　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则(　　)
A．a＝3，b＝1 　 B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3 　 D．a＝3，b∈R且b≠1
13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是(　　)
A．若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率
B．若直线l的斜率是k，则(1，k)是该直线的一个方向向量
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
14．已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．则直线AC的倾斜角为________；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
15．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑