资源简介

(共65张PPT)
第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.5　两条直线的交点坐标
学习任务 核心素养
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)
2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点) 1．通过求两条相交直线的交点坐标，提升数学运算素养．
2．通过对方程组的解和两直线交点坐标的对应关系的学习，培养逻辑推理和直观想象素养．
必备知识·情境导学探新知
1．两直线的交点坐标与方程组的解
直线l1：A1x＋B1 y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2 y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 ____ ____ ____
相交
重合　
平行　
2．两直线相交、平行的判定
若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．
①k1≠k2时，l1与l2 ____；
②k1＝k2且b1≠b2时，l1与l2 ____；
③k1＝k2且b1＝b2时，l1与l2重合；
④k1k2＝－1时，l1与l2垂直．
相交
平行
[提示]　A1B2－A2B1≠0．
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． (　　)
(2)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． (　　)
(3)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解． (　　)
√
√
2．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋2y＋7＝0　　　　　
B．3x＋2y－7＝0
C．－3x＋2y－7＝0
D．－3x＋2y＋7＝0
B　[由题知，与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故选B．]
√
3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
a≠2　[由题意得6a－12≠0，即a≠2．]
a≠2　
4．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为____________．
x＋y＝0　[∵l2不过原点，
∴可设直线l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点(0，0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0．]
x＋y＝0　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　两直线的交点问题
【例1】　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．
反思领悟　方程组解的个数与两直线的位置关系
一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想．
[跟进训练]
1．(1)已知两条直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是(　　)
A．－4　　　 B．3　
C．3或－4　　　 D．±4
(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是___________．
√

类型2　由交点求直线方程
【例2】　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
[思路点拨]　思路一：求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解；思路二：利用过两直线的交点的直线系方程求解．
[母题探究]
将本例改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．”
反思领悟　经过两直线交点的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
(3)过两直线l1：A1x＋B1 y＋C1＝0，l2：A2x＋B2 y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1 y＋C1)＋λ2(A2x＋B2 y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．
类型3　直线过定点问题
【例3】　求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
[跟进训练]
2．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
类型4　对称问题
【例4】　△ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(3，1)，则点C的坐标为_______．
(2，4)　
[跟进训练]
3．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A．3x－y＋5＝0 　 B．2x－y＋3＝0
C．2x－y＋5＝0 　 D．x＋2y－5＝0
√
C　[点A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为2x－y＋5＝0．故选C．]
学习效果·课堂评估夯基础
√
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2) 　 B．(2，3)
C．(－2，－3) 　 D．(－3，－2)
√
3．已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3，2)对称的直线方程为
(　　)
A．3x－y－17＝0 　
B．3x＋y－17＝0
C．3x－y＋17＝0 　
D．3x＋y＋17＝0
√
A　[设直线l关于点A(3，2)对称的直线为l′，则l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)．
取直线l上一点E(0，3)，该点关于点A的对称点为E′(6，1)，则E′在直线l′上，所以1＝18＋b，
即b＝－17．
所以直线l′的方程为3x－y－17＝0．]
4．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为______________．
2x＋y－4＝0　[直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)．
又直线的斜率为－2，
∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)，即2x＋y－4＝0．]
2x＋y－4＝0　
5．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，则直线l的方程为______________．
3x＋2y－1＝0　
3．若直线l1：A1x＋B1 y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2 y＋C2＝0．那么
A1B2－A2B1≠0 l1与l2相交；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 l1∥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0 l1、l2重合；
A1A2＋B1B2＝0 l1⊥l2．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(五)　两条直线的交点坐标
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　 B．相交　
C．重合　　 D．不确定
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 　
B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 　
D．3x＋19y＝0
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－4 　 B．20
C．0 　 D．24
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为(　　)
A．－9 　 B．9
C．－6 　 D．6
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
－1　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为____________．
(－1，－2)　[直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．]
(－1，－2)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．
[解]　∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，
∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，
把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0，
∴m＝－1，即直线AB方程为5x－4y－1＝0，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 　 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 　 D．x＋2y－3＝0
√
D　[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．(多选题)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则
(　　)
A．Ax0＋By0＋C≠0
B．Ax0＋By0＋C＝0
C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线
D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
AD　[因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．已知直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0．
(1)若它们相交于一点，则a＝________；
(2)若它们共有两个不同的交点，则a＝________．
－11
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
图①　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
图②1.5　两条直线的交点坐标
学习任务 核心素养
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点) 1．通过求两条相交直线的交点坐标，提升数学运算素养． 2．通过对方程组的解和两直线交点坐标的对应关系的学习，培养逻辑推理和直观想象素养．
1．已知l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？
2．若方程组 有唯一解
则P(x0，y0)是直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点吗？其逆命题成立吗？
1．两直线的交点坐标与方程组的解
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
方程组 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 ____ ____ ____
2．两直线相交、平行的判定
若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．
①k1≠k2时，l1与l2____；
②k1＝k2且b1≠b2时，l1与l2____；
③k1＝k2且b1＝b2时，l1与l2重合；
④k1k2＝－1时，l1与l2垂直．
方程组 有唯一一组解的充要条件是什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． (　　)
(2)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． (　　)
(3)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解． (　　)
2．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋2y＋7＝0　　　　　
B．3x＋2y－7＝0
C．－3x＋2y－7＝0
D．－3x＋2y＋7＝0
3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
4．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为________．
类型1　两直线的交点问题
【例1】　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　方程组解的个数与两直线的位置关系
一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想．
[跟进训练]
1．(1)已知两条直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是(　　)
A．－4　　　 B．3　
C．3或－4　　　 D．±4
(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
类型2　由交点求直线方程
【例2】　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
[思路点拨]　思路一：求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解；思路二：利用过两直线的交点的直线系方程求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
[母题探究]
将本例改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．”
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　经过两直线交点的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
(3)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．
类型3　直线过定点问题
【例3】　求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　处理动直线过定点问题的常用方法
(1)将直线方程化为点斜式；
(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；
(3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f (x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，
则由此方程组求得定点坐标．
[跟进训练]
2．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型4　对称问题
【例4】　△ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(3，1)，则点C的坐标为________．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：
①点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点P′(m，n)，
则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
[跟进训练]
3．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A．3x－y＋5＝0 　 B．2x－y＋3＝0
C．2x－y＋5＝0 　 D．x＋2y－5＝0
1．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是(　　)
A．y＝－x＋5　　　　 B．3x＋2y＝0
C．＝1 　 D．＝1
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2) 　 B．(2，3)
C．(－2，－3) 　 D．(－3，－2)
3．已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3，2)对称的直线方程为(　　)
A．3x－y－17＝0 　 B．3x＋y－17＝0
C．3x－y＋17＝0 　 D．3x＋y＋17＝0
4．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．
5．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，则直线l的方程为________．
1．解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)的形式，可通过求解定点．
2．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
3．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．那么
A1B2－A2B1≠0 l1与l2相交；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 l1∥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0 l1、l2重合；
A1A2＋B1B2＝0 l1⊥l2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(五)
1．B　[∵k1＝，k2＝－<0，∴k1≠k2，∴两直线相交．]
2．B　[由
本题也可代入选项验证．]
3．D　[联立直线l1，l2的方程
即直线l1与l2的交点为，
故所求的直线方程为y＝－x，
即3x＋19y＝0．]
4．A　[由两直线垂直得－＝－1，∴a＝10，
将垂足代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，
再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，
∴a＋b＋c＝－4．]
5．A　[由
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9．]
6．－1　[由
将(4，－2)代入ax＋2y＋8＝0，得4a＋2×(－2)＋8＝0，∴a＝－1．]
7．　[直线y＝－x＋1交x轴于点(4，0)．
∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)．∴0＝4k＋3k－2．∴k＝．]
8．(－1，－2)　[直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．]
9．解：(1)由
解得
∴点P的坐标是(－2，2)．
又所求直线l与x－2y－1＝0垂直，
可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0．
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2．
∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0．
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1．
10．解：∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，
∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，
把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0，
∴m＝－1，即直线AB方程为5x－4y－1＝0，
由即B(1，1)．
同理可得C(6，0)，∴kBC＝．
∴直线BC的方程为y＝－(x－6)，
即x＋5y－6＝0．
11．A　[点P，Q所在直线的方程为y＝0，
由，由－1≤≤1，得－2≤b≤2．]
12．D　[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0．故选D．]
13．AD　[因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P：又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C．故选AD．]
14．(1)－11　(2)－1或　[因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，
若它们相交于一点，则－－3＝0，所以a＝－11．
若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－，解得a＝－1：当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－，解得a＝．]
15．解：(1)如图①，设点C关于l的对称点为C'(a，b)，
则
所以C'(－1，1)．
所以直线AC'的方程为y＝1．
由
得直线AC'与直线l的交点为P，
此时|AP|＋|CP|取最小值．
图①　　　　　　　　　　图②
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B'(m，n)，
则
所以B'(3，3)，
所以直线AB'的方程为2x＋y－9＝0，
由
得直线AB'与直线l的交点为Q(2，5)，
此时||AQ|－|BQ||取最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.5　两条直线的交点坐标
学习任务 核心素养
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点) 1．通过求两条相交直线的交点坐标，提升数学运算素养． 2．通过对方程组的解和两直线交点坐标的对应关系的学习，培养逻辑推理和直观想象素养．
1．已知l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？
2．若方程组 有唯一解
则P(x0，y0)是直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点吗？其逆命题成立吗？
1．两直线的交点坐标与方程组的解
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
方程组 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
2．两直线相交、平行的判定
若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．
①k1≠k2时，l1与l2相交；
②k1＝k2且b1≠b2时，l1与l2平行；
③k1＝k2且b1＝b2时，l1与l2重合；
④k1k2＝－1时，l1与l2垂直．
方程组 有唯一一组解的充要条件是什么？
[提示]　A1B2－A2B1≠0．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． (　　)
(2)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． (　　)
(3)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋2y＋7＝0　　　　　
B．3x＋2y－7＝0
C．－3x＋2y－7＝0
D．－3x＋2y＋7＝0
B　[由题知，与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故选B．]
3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
a≠2　[由题意得6a－12≠0，即a≠2．]
4．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为________．
x＋y＝0　[∵l2不过原点，
∴可设直线l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点(0，0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0．]
类型1　两直线的交点问题
【例1】　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．
[解]　(1)解方程组
得
所以l1与l2相交，交点坐标是．
(2)
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2．
(3)
①×2得6x＋8y－10＝0，
因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合．
　方程组解的个数与两直线的位置关系
一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想．
[跟进训练]
1．(1)已知两条直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是(　　)
A．－4　　　 B．3　
C．3或－4　　　 D．±4
(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
(1)C　(2)　[(1)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点为，
又该点在直线y＝－x上，
所以＝－，解得k＝3或－4．
(2)直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点为，
又该点位于第四象限，则
解得－类型2　由交点求直线方程
【例2】　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
[思路点拨]　思路一：求出两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解；思路二：利用过两直线的交点的直线系方程求解．
[解]　法一：由方程组
得两直线交点坐标为，
∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝3，
∴根据点斜式有y－＝3．
即所求直线方程为15x－5y＋2＝0．
法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0．
∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝．
从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0．
[母题探究]
将本例改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．”
[解]　法一：解方程组
得
即交点P(－5，2)．
∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，
∴所求直线的斜率是．
故所求直线的方程是y－2＝(x＋5)，
即3x－2y＋19＝0．
法二：设所求直线方程是3x－2y＋m＝0．
解方程组
得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19．
故所求直线方程为3x－2y＋19＝0．
法三：设所求直线的方程为(2x＋y＋8)＋λ(x＋y＋3)＝0，即(2＋λ)x＋(1＋λ)y＋8＋3λ＝0(*)，∵所求直线与直线2x＋3y－10＝0垂直，∴－＝，解得λ＝－，把λ＝－代入(*)式得所求直线方程为3x－2y＋19＝0．
　经过两直线交点的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
(3)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．
类型3　直线过定点问题
【例3】　求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
[证明]　法一：令k＝1，得到直线l1：x＝1，
令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0，
由
得l1与l2交点M(1，－1)，
把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，
∴无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1)．
法二：由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1)，
因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)；
当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1)．
综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)．
法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0，
由
可得
显然
使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立，
∴无论k取任何实数值时，
直线l必过定点(1，－1)．
　处理动直线过定点问题的常用方法
(1)将直线方程化为点斜式；
(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；
(3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f (x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无关，
则由此方程组求得定点坐标．
[跟进训练]
2．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
[证明]　法一：取m＝1，直线为y＝－4；
再取m＝，直线为x＝9．
两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5．
故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二：原方程可化为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数m都成立，
则必有解得
∴无论m为任何实数时，此直线恒过定点(9，－4)．
类型4　对称问题
【例4】　△ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4，2)，B(3，1)，则点C的坐标为________．
(2，4)　[把A，B两点的坐标分别代入y＝2x知，点A，B都不在直线y＝2x上，
∴直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线．
设点A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(a，b)，
则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，
则
解得
即A′(4，－2)．
∵直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线，
∴A′在直线BC上，
∴直线BC的方程为＝，
即3x＋y－10＝0．
由
解得
∴点C的坐标为(2，4)．]
　有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：
①点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点P′(m，n)，
则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
[跟进训练]
3．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A．3x－y＋5＝0 　 B．2x－y＋3＝0
C．2x－y＋5＝0 　 D．x＋2y－5＝0
C　[点A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为2x－y＋5＝0．故选C．]
1．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是(　　)
A．y＝－x＋5　　　　 B．3x＋2y＝0
C．＝1 　 D．＝1
C　[kl＝－，又选项C中所对应直线的斜率k＝－，∴kl≠k，从而两直线相交．]
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3，2) 　 B．(2，3)
C．(－2，－3) 　 D．(－3，－2)
B　[解方程组得
故两条直线的交点坐标为(2，3)．]
3．已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3，2)对称的直线方程为(　　)
A．3x－y－17＝0 　 B．3x＋y－17＝0
C．3x－y＋17＝0 　 D．3x＋y＋17＝0
A　[设直线l关于点A(3，2)对称的直线为l′，则l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)．
取直线l上一点E(0，3)，该点关于点A的对称点为E′(6，1)，则E′在直线l′上，所以1＝18＋b，
即b＝－17．
所以直线l′的方程为3x－y－17＝0．]
4．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．
2x＋y－4＝0　[直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)．
又直线的斜率为－2，
∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)，即2x＋y－4＝0．]
5．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，则直线l的方程为________．
3x＋2y－1＝0　[由方程组
得两直线的交点为(－1，2)，
所以所求直线斜率为k＝＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即直线l的方程为3x＋2y－1＝0．]
1．解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)的形式，可通过求解定点．
2．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
3．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．那么
A1B2－A2B1≠0 l1与l2相交；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 l1∥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0 l1、l2重合；
A1A2＋B1B2＝0 l1⊥l2．
课时分层作业(五)　两条直线的交点坐标
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　 B．相交　
C．重合　　 D．不确定
B　[∵k1＝，k2＝－＜0，∴k1≠k2，∴两直线相交．]
2．直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：4x－3y－＝0的交点坐标为(　　)
A．(2，3) 　 B．
C． 　 D．
B　[由得
本题也可代入选项验证．]
3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 　 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 　 D．3x＋19y＝0
D　[联立直线l1，l2的方程
解得
即直线l1与l2的交点为，
故所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0．]
4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－4 　 B．20
C．0 　 D．24
A　[由两直线垂直得－＝－1，∴a＝10，
将垂足代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，
再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，
∴a＋b＋c＝－4．]
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为(　　)
A．－9 　 B．9
C．－6 　 D．6
A　[由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9．]
二、填空题
6．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
－1　[由得
将(4，－2)代入ax＋2y＋8＝0，得4a＋2×(－2)＋8＝0，∴a＝－1．]
7．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．
　[直线y＝－x＋1交x轴于点(4，0)．
∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)．∴0＝4k＋3k－2．∴k＝．]
8．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
(－1，－2)　[直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．]
三、解答题
9．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
[解]　(1)由
解得
∴点P的坐标是(－2，2)．
又所求直线l与x－2y－1＝0垂直，
可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0．
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2．
∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0．
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1．
10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．
[解]　∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，
∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，
把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0，
∴m＝－1，即直线AB方程为5x－4y－1＝0，
由得
即B(1，1)．
同理可得C(6，0)，∴kBC＝＝－．
∴直线BC的方程为y＝－(x－6)，
即x＋5y－6＝0．
11．已知点P(－1，0)，Q(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] 　 B．[－1，1]
C． 　 D．[0，2]
A　[点P，Q所在直线的方程为y＝0，
由得交点，由－1≤≤1，得－2≤b≤2．]
12．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 　 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 　 D．x＋2y－3＝0
D　[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0．
故选D．]
13．(多选题)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则(　　)
A．Ax0＋By0＋C≠0
B．Ax0＋By0＋C＝0
C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线
D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线
AD　[因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C．故选AD．]
14．已知直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0．
(1)若它们相交于一点，则a＝________；
(2)若它们共有两个不同的交点，则a＝________．
(1)－11　(2)－1或　[因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，
若它们相交于一点，则－a＋－3＝0，所以a＝－11．
若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－＝，解得a＝－1；当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－＝－，解得a＝．]
15．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
[解]　(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，
则解得
所以C′(－1，1)．
所以直线AC′的方程为y＝1．
由
得直线AC′与直线l的交点为P，
此时|AP|＋|CP|取最小值．
图①　　　　　　　　　　　图②
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，
则解得
所以B′(3，3)，
所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，
由
得直线AB′与直线l的交点为Q(2，5)，
此时||AQ|－|BQ||取最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(五)　两条直线的交点坐标
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　 B．相交　
C．重合　　 D．不确定
2．直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：4x－3y－＝0的交点坐标为(　　)
A．(2，3) 　 B．
C． 　 D．
3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 　 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 　 D．3x＋19y＝0
4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－4 　 B．20
C．0 　 D．24
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为(　　)
A．－9 　 B．9
C．－6 　 D．6
二、填空题
6．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
7．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．
8．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
三、解答题
9．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
10．已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB、AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．
11．已知点P(－1，0)，Q(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] 　 B．[－1，1]
C． 　 D．[0，2]
12．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 　 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 　 D．x＋2y－3＝0
13．(多选题)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则(　　)
A．Ax0＋By0＋C≠0
B．Ax0＋By0＋C＝0
C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线
D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线
14．已知直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0．
(1)若它们相交于一点，则a＝________；
(2)若它们共有两个不同的交点，则a＝________．
15．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑