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(共54张PPT)
第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.3　直线的方程
第1课时　直线方程的点斜式
学习任务 核心素养
1．掌握直线方程的点斜式和斜截式．(重点)
2．了解直线在y轴上的截距的概念．(易混点)
3．了解斜截式与一次函数的关系．(难点) 1．通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养．
2．借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养．
1．如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？
2．若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
必备知识·情境导学探新知
1．直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个________，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．
2．直线l在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的________叫作直线l在y轴上的截距．
方程的解　
纵坐标b　
3．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示

方程 _______________ _________
适用范围 斜率存在
y－y0＝k(x－x0)　
y＝kx＋b
思考　(1)斜截式方程应用的前提是什么？
(2)纵截距一定是距离吗？
[提示]　(1)直线的斜率存在．
(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数．
√
√
×
√
3．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为______________．
y＝2x－3　[由斜截式方程，得y＝2x－3．]
y＝2x－3
4．倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线l的斜截式方程为________________．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直线方程的点斜式
【例1】　根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．
反思领悟　求直线方程的点斜式的步骤
类型2　直线方程的斜截式
【例2】　求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点P(0，1)，斜率为2；
(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
反思领悟　直线方程的斜截式求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．
(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k．
B　[由题意知，斜率与在y轴上的截距异号，故选B．]
√
(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值．
[解]　由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m．
∵直线l过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，得1＝2×1＋m，∴m＝－1．
类型3　点斜式(斜截式)方程的应用
【例3】　过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程．
[思路点拨]　
反思领悟　直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
(1)一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在．
(2)构建函数解析式后，应注明变量的取值范围．
(3)运用均值不等式求最值，应注意“等号”是否取到．如果取不到，可用函数单调性求最值．
[跟进训练]
3．已知直线l过点P(－2，0)，与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
A　[∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2．]
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k＞0，b＞0　 B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0 　 D．k＜0，b＜0
√
B　[∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0．]
3．直线y＝kx＋1恒过点(　　)
A．(1，0) 　 B．(0，1)
C．(－1，0) 　 D．(0，－1)
B　[当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点(0，1)．]
√
4．已知直线l的倾斜角为45°，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为________．
y＝x＋3　[因为直线l的倾斜角为45°，故其斜率为1，由斜截式方程，得y＝x＋3．]
y＝x＋3　
[解]　(1)易知所求直线的斜率k＝－1，
在y轴上的截距b＝－2，
由直线方程的斜截式知，
所求直线方程为y＝－x－2．
直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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课时分层作业(二)　直线方程的点斜式
√
一、选择题
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
D　[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]
题号
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2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝4(x－2)　　　　　
B．y－3＝4(x－2)
C．y－3＝4(x＋2) 　
D．y＋3＝4(x＋2)
√
题号
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4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　)
A．k1B．k1b2
C．k1>k2且b1>b2
D．k1>k2且b1√
A　[设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b1题号
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5．若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 　 B．0C． 　 D．01
√
A　[y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．∴当01时，有两个公共点，故选A．]
题号
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－4　
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7．如图，直线l的斜截式方程是y＝kx＋b，则点(k，b)在第________象限．
二　[由题图知，直线l的倾斜角是钝角，则k<0．又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上，则b>0，故点(k，b)在第二象限．]
二
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8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为___________．

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三、解答题
9．已知在位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．
求：(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
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13．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；
再向右平移1个单位，所得到的直线为____________．
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14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1．
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3[解]　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．
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15．(多选题)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是(　　)
A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点
C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
D．存在恰经过一个整点的直线
√
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15课时分层作业(二)　直线方程的点斜式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝4(x－2)　　　　　 B．y－3＝4(x－2)
C．y－3＝4(x＋2) 　 D．y＋3＝4(x＋2)
3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于(　　)
A．－　 　 　 B．　 　 　
C．－2　 　 　 D．2
4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　)
A．k1B．k1b2
C．k1>k2且b1>b2
D．k1>k2且b15．若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 　 B．0C． 　 D．01
二、填空题
6．直线y＝x－4在y轴上的截距是________．
7．如图，直线l的斜截式方程是y＝kx＋b，则点(k，b)在第________象限．
8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
三、解答题
9．已知在位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．
求：(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
10．如图，直线l：y－2＝(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．
11．将直线y＝(x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(　　)
A．y＝－x＋2　　　　 B．y＝x＋2
C．y＝－x－2 　 D．y＝x－2
12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线
B．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0
C．直线l过点P(x0，y0)，斜率为0，则其方程为y＝y0
D．所有直线都有点斜式和斜截式方程
13．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．
14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1．
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－315．(多选题)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是(　　)
A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点
C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
D．存在恰经过一个整点的直线
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3　直线的方程
第1课时　直线方程的点斜式
学习任务 核心素养
1．掌握直线方程的点斜式和斜截式．(重点) 2．了解直线在y轴上的截距的概念．(易混点) 3．了解斜截式与一次函数的关系．(难点) 1．通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养． 2．借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养．
1．如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？
2．若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
1．直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．
2．直线l在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．
3．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
适用范围 斜率存在
(1)斜截式方程应用的前提是什么？
(2)纵截距一定是距离吗？
[提示]　(1)直线的斜率存在．
(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3． (　　)
(2)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3)． (　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成＝k． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．已知直线过点(1，2)，斜率为－2，则该直线的点斜式方程为(　　)
A．y－1＝2　 B．y－2＝2
C．y－1＝－2　 D．y－2＝－2
D　[由点斜式方程，得y－2＝－2．]
3．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为________．
y＝2x－3　[由斜截式方程，得y＝2x－3．]
4．倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线l的斜截式方程为________．
y＝－x－2　[∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－．
由斜截式可得方程为y＝－x－2．]
类型1　直线方程的点斜式
【例1】　根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．
[解]　(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如图(1)所示．
(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如图(2)所示．
(1)　　　　　　　(2)
(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3．如图(3)所示．
(4)k＝＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如图(4)所示．
(3)　　　　　　　(4)
　求直线方程的点斜式的步骤
[跟进训练]
1．写出下列直线的点斜式方程．
(1)过点(－1，2)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7．
[解]　(1)y－2＝－(x＋1)．
(2)y＝－1．
(3)y＝(x＋7)．
类型2　直线方程的斜截式
【例2】　求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点P(0，1)，斜率为2；
(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
[解]　(1)y＝2x＋1．
(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，
故k＝＝，∴直线l的方程为y＝x＋1．
(3)∵直线的倾斜角为60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3．
　直线方程的斜截式求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．
(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k．
[跟进训练]
2．(1)直线y＝ax－的图象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
B　[由题意知，斜率与在y轴上的截距异号，故选B．]
(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值．
[解]　由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m．
∵直线l过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，得1＝2×1＋m，∴m＝－1．
类型3　点斜式(斜截式)方程的应用
【例3】　过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程．
[思路点拨]　
[解]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，k<0，
则可得A，B(0，1－2k)．
∵与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴ k<0．
于是S△AOB＝|OA||OB|＝·(1－2k)＝＝4．
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，等号成立．
故△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为
y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2．
(2)∵A，B(0，1－2k)(k<0)，
∴截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥3＋2＝3＋2．
当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立．
故截距之和最小值为3＋2，此时l的方程为
y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1．
　直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
(1)一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在．
(2)构建函数解析式后，应注明变量的取值范围．
(3)运用均值不等式求最值，应注意“等号”是否取到．如果取不到，可用函数单调性求最值．
[跟进训练]
3．已知直线l过点P(－2，0)，与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．
[解]　设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得
×|－2|×|b|＝10，b＝±10．
①当b＝10时，直线过点(－2，0)，(0，10)，
斜率k＝＝5．
故直线的斜截式方程为y＝5x＋10．
②当b＝－10时，直线过点(－2，0)，(0，－10)，
斜率k＝＝－5．
故直线的斜截式方程为y＝－5x－10．
综上，直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10．
1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2
B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
A　[∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2．]
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k＞0，b＞0　 B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0 　 D．k＜0，b＜0
B　[∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0．]
3．直线y＝kx＋1恒过点(　　)
A．(1，0) 　 B．(0，1)
C．(－1，0) 　 D．(0，－1)
B　[当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点(0，1)．]
4．已知直线l的倾斜角为45°，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为________．
y＝x＋3　[因为直线l的倾斜角为45°，故其斜率为1，由斜截式方程，得y＝x＋3．]
5．根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为－1，在y轴上截距为－2；
(2)过点A(6，－4)，斜率为－．
[解]　(1)易知所求直线的斜率k＝－1，
在y轴上的截距b＝－2，
由直线方程的斜截式知，
所求直线方程为y＝－x－2．
(2)所求直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，
根据直线方程的点斜式得直线方程为
y＋4＝－(x－6)，
化为斜截式为y＝－x＋4．
直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件
课时分层作业(二)　直线方程的点斜式
一、选择题
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
D　[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]
2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝4(x－2)　　　　　 B．y－3＝4(x－2)
C．y－3＝4(x＋2) 　 D．y＋3＝4(x＋2)
[答案]　A
3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于(　　)
A．－　 　 　 B．　 　 　
C．－2　 　 　 D．2
C　[直线x－ay＝4可化为y＝x－，∴－＝2，得a＝－2．]
4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　)
A．k1B．k1b2
C．k1>k2且b1>b2
D．k1>k2且b1A　[设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b15．若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 　 B．0C． 　 D．01
A　[y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．∴当01时，有两个公共点，故选A．]
二、填空题
6．直线y＝x－4在y轴上的截距是________．
－4　[由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4．]
7．如图，直线l的斜截式方程是y＝kx＋b，则点(k，b)在第________象限．
二　[由题图知，直线l的倾斜角是钝角，则k<0．又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上，则b>0，故点(k，b)在第二象限．]
8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
　[由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则
得k≥．]
三、解答题
9．已知在位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．
求：(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
[解]　(1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．
∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．
(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝，
∴AC边所在直线方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0．
又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．
∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．
10．如图，直线l：y－2＝(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．
[解]　设直线l′的倾斜角为α′，
由直线l的方程y－2＝(x－1)知，直线l的斜率为，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝(x－1)，即y＝(x－1)＋2．
综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝(x－1)＋2．
11．将直线y＝(x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(　　)
A．y＝－x＋2　　　　 B．y＝x＋2
C．y＝－x－2 　 D．y＝x－2
A　[∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°，
∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)．
∴其方程为y－0＝－(x－2)，
即y＝－x＋2．]
12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线
B．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0
C．直线l过点P(x0，y0)，斜率为0，则其方程为y＝y0
D．所有直线都有点斜式和斜截式方程
BC　[A中方程，k＝，x≠－1；D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD错误，BC正确．]
13．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．
y＝－x　y＝－x＋　[将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋．]
14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1．
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3[解]　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．
(2)设函数f (x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足即
解得－≤k≤1．
所以，实数k的取值范围是．
15．(多选题)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是(　　)
A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点
C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
D．存在恰经过一个整点的直线
AD　[A正确，如直线y＝x＋，不经过任何整点(x＝0，y＝；x≠0，y是无理数)；
B错误，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)；
C错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；
D正确，比如直线y＝x只经过一个整点(0，0)．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3　直线的方程
第1课时　直线方程的点斜式
学习任务 核心素养
1．掌握直线方程的点斜式和斜截式．(重点) 2．了解直线在y轴上的截距的概念．(易混点) 3．了解斜截式与一次函数的关系．(难点) 1．通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养． 2．借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养．
1．如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？
2．若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
1．直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个________，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．
2．直线l在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的_______叫作直线l在y轴上的截距．
3．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 _________________ ________
适用范围 斜率存在
(1)斜截式方程应用的前提是什么？
(2)纵截距一定是距离吗？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3． (　　)
(2)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3)． (　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成＝k． (　　)
2．已知直线过点(1，2)，斜率为－2，则该直线的点斜式方程为(　　)
A．y－1＝2　 B．y－2＝2
C．y－1＝－2　 D．y－2＝－2
3．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为________．
4．倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线l的斜截式方程为________．
类型1　直线方程的点斜式
【例1】　根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　求直线方程的点斜式的步骤
[跟进训练]
1．写出下列直线的点斜式方程．
(1)过点(－1，2)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2　直线方程的斜截式
【例2】　求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点P(0，1)，斜率为2；
(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　直线方程的斜截式求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．
(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k．
[跟进训练]
2．(1)直线y＝ax－的图象可能是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值．
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___________________________________________________________________
类型3　点斜式(斜截式)方程的应用
【例3】　过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程．
[思路点拨]　
[尝试解答]　________________________________________________________
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___________________________________________________________________
　直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
(1)一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在．
(2)构建函数解析式后，应注明变量的取值范围．
(3)运用均值不等式求最值，应注意“等号”是否取到．如果取不到，可用函数单调性求最值．
[跟进训练]
3．已知直线l过点P(－2，0)，与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．
___________________________________________________________________
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1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　)
A．y＋3＝x－2
B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k＞0，b＞0　 B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0 　 D．k＜0，b＜0
3．直线y＝kx＋1恒过点(　　)
A．(1，0) 　 B．(0，1)
C．(－1，0) 　 D．(0，－1)
4．已知直线l的倾斜角为45°，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为________．
5．根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为－1，在y轴上截距为－2；
(2)过点A(6，－4)，斜率为－．
[尝试解答]　________________________________________________________
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直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二)
1．D　[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]
2．A
3．C　[直线x－ay＝4可化为y＝，∴－＝2，得a＝－2．]
4．A　[设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b15．A　[y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．∴当01时，有两个公共点，故选A．]
6．－4　[由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4．]
7．二　[由题图知，直线l的倾斜角是钝角，则k<0．又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上，则b>0，故点(k，b)在第二象限．]
8．　[由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则．]
9．解：(1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．
∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．
(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝，
∴AC边所在直线方程为y－1＝(x－1)，即＝0．
又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．
∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．
10．解：设直线l'的倾斜角为α'，
由直线l的方程y－2＝(x－1)知，直线l的斜率为，
则倾斜角为60°．当α'＝90°时，满足l与l'所夹的锐角为30°，此时直线l'的方程为x＝1：当α'＝30°时，也满足l与l'所夹的锐角为30°，此时直线l'的斜率为，由直线方程的点斜式得l'的方程为y－2＝(x－1)，即y＝(x－1)＋2．
综上，所求直线l'的方程为x＝1或y＝(x－1)＋2．
11．A　[∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°，
∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)．
∴其方程为y－0＝－(x－2)，
即y＝－．]
12．BC　[A中方程，k＝，x≠－1：D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD错误，BC正确．]
13．y＝－　[将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－．]
14．解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足
即≤k≤1．
所以，实数k的取值范围是．
15．AD　[A正确，如直线y＝，不经过任何整点(x＝0，y＝：x≠0，y是无理数)：
B错误，直线y＝中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)：
C错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点：
D正确，比如直线y＝x只经过一个整点(0，0)．]
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