北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆1.3第1课时直线方程的点斜式课件+学案+练习+答案

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北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆1.3第1课时直线方程的点斜式课件+学案+练习+答案

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(共54张PPT)
第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1.3 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
学习任务 核心素养
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式.(重点)
2.了解直线在y轴上的截距的概念.(易混点)
3.了解斜截式与一次函数的关系.(难点) 1.通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习,培养数学抽象与直观想象素养.
2.借助求直线的点斜式与斜截式方程,培养数学运算素养.
1.如果一个方程称为直线l的方程,那么它需要满足什么条件?
2.若直线经过点P(x0,y0),且斜率为k,则直线上任意一点的坐标满足什么关系?
必备知识·情境导学探新知
1.直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个________,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程.
2.直线l在y轴上的截距
定义:直线l与y轴交点(0,b)的________叫作直线l在y轴上的截距.
方程的解 
纵坐标b 
3.直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示

方程 _______________ _________
适用范围 斜率存在
y-y0=k(x-x0) 
y=kx+b
思考 (1)斜截式方程应用的前提是什么?
(2)纵截距一定是距离吗?
[提示] (1)直线的斜率存在.
(2)纵截距不一定是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,可取一切实数.


×

3.已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为-3,则直线l的斜截式方程为______________.
y=2x-3 [由斜截式方程,得y=2x-3.]
y=2x-3
4.倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2的直线l的斜截式方程为________________.
关键能力·合作探究释疑难
类型1 直线方程的点斜式
【例1】 根据条件写出下列直线的方程,并画出图形.
(1)经过点A(-1,4),斜率k=-3;
(2)经过坐标原点,倾斜角为45°;
(3)经过点B(3,-5),倾斜角为90°;
(4)经过点C(2,8),D(-3,-2).
反思领悟 求直线方程的点斜式的步骤
类型2 直线方程的斜截式
【例2】 求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过点P(0,1),斜率为2;
(2)与直线y=-x+1在y轴上的截距相等,且过点Q(2,2);
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
反思领悟 直线方程的斜截式求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定某直线,只需两个独立的条件.
(3)利用直线的斜截式求方程时,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
B [由题意知,斜率与在y轴上的截距异号,故选B.]

(2)已知斜率为2,在y轴上截距为m的直线方程l,若直线l过点(1,1),求m的值.
[解] 由直线方程的斜截式,得直线方程为y=2x+m.
∵直线l过点(1,1),将x=1,y=1代入方程y=2x+m,得1=2×1+m,∴m=-1.
类型3 点斜式(斜截式)方程的应用
【例3】 过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程.
[思路点拨] 
反思领悟 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
(1)一般地,已知直线上某点时,常设出其点斜式,且注意斜率是否存在.
(2)构建函数解析式后,应注明变量的取值范围.
(3)运用均值不等式求最值,应注意“等号”是否取到.如果取不到,可用函数单调性求最值.
[跟进训练]
3.已知直线l过点P(-2,0),与坐标轴围成的三角形的面积为10,求直线l的方程.
学习效果·课堂评估夯基础

1.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是(  )
A.y+3=x-2 B.y-3=x+2
C.y+2=x-3 D.y-2=x+3
A [∵直线l的斜率k=tan 45°=1,∴直线l的点斜式方程为y+3=x-2.]
2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(  )
A.k>0,b>0  B.k>0,b<0
C.k<0,b>0   D.k<0,b<0

B [∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.]
3.直线y=kx+1恒过点(  )
A.(1,0)   B.(0,1)
C.(-1,0)   D.(0,-1)
B [当x=0时,y=1,所以直线y=kx+1恒过点(0,1).]

4.已知直线l的倾斜角为45°,在y轴上的截距为3,则直线l的斜截式方程为________.
y=x+3 [因为直线l的倾斜角为45°,故其斜率为1,由斜截式方程,得y=x+3.]
y=x+3 
[解] (1)易知所求直线的斜率k=-1,
在y轴上的截距b=-2,
由直线方程的斜截式知,
所求直线方程为y=-x-2.
直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(二) 直线方程的点斜式

一、选择题
1.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可以表示(  )
A.任何一条直线
B.不过原点的直线
C.不与坐标轴垂直的直线
D.不与x轴垂直的直线
D [点斜式方程适用的前提条件是斜率存在,故其可表示不与x轴垂直的直线.]
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2.斜率为4,且过点(2,-3)的直线的点斜式方程是(  )
A.y+3=4(x-2)     
B.y-3=4(x-2)
C.y-3=4(x+2)  
D.y+3=4(x+2)

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4.直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有(  )
A.k1B.k1b2
C.k1>k2且b1>b2
D.k1>k2且b1
A [设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知,90°<α1<α2<180°,所以k10,所以b1题号
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5.若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是(  )
A.a>1   B.0C.   D.01

A [y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.∴当01时,有两个公共点,故选A.]
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7.如图,直线l的斜截式方程是y=kx+b,则点(k,b)在第________象限.
二 [由题图知,直线l的倾斜角是钝角,则k<0.又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上,则b>0,故点(k,b)在第二象限.]

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8.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为___________.

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三、解答题
9.已知在位于第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°.
求:(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
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13.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,所得到的直线为________;
再向右平移1个单位,所得到的直线为____________.
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14.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-3[解] (1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1).
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15.(多选题)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列结论正确的是(  )
A.存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
B.如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
C.直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数
D.存在恰经过一个整点的直线


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15课时分层作业(二) 直线方程的点斜式
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共107分
一、选择题
1.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可以表示(  )
A.任何一条直线
B.不过原点的直线
C.不与坐标轴垂直的直线
D.不与x轴垂直的直线
2.斜率为4,且过点(2,-3)的直线的点斜式方程是(  )
A.y+3=4(x-2)      B.y-3=4(x-2)
C.y-3=4(x+2)   D.y+3=4(x+2)
3.已知直线x-ay=4在y轴上的截距是2,则a等于(  )
A.-      B.     
C.-2      D.2
4.直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有(  )
A.k1B.k1b2
C.k1>k2且b1>b2
D.k1>k2且b15.若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是(  )
A.a>1   B.0C.   D.01
二、填空题
6.直线y=x-4在y轴上的截距是________.
7.如图,直线l的斜截式方程是y=kx+b,则点(k,b)在第________象限.
8.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为________.
三、解答题
9.已知在位于第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°.
求:(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
10.如图,直线l:y-2=(x-1)过定点P(1,2),求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程.
11.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(  )
A.y=-x+2     B.y=x+2
C.y=-x-2   D.y=x-2
12.(多选题)下列四个结论,其中正确的是(  )
A.方程k=与方程y-2=k(x+1)表示同一条直线
B.直线l过点P(x0,y0),倾斜角为90°,则其方程为x=x0
C.直线l过点P(x0,y0),斜率为0,则其方程为y=y0
D.所有直线都有点斜式和斜截式方程
13.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,所得到的直线为________;再向右平移1个单位,所得到的直线为________.
14.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-315.(多选题)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列结论正确的是(  )
A.存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
B.如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
C.直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数
D.存在恰经过一个整点的直线
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
学习任务 核心素养
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式.(重点) 2.了解直线在y轴上的截距的概念.(易混点) 3.了解斜截式与一次函数的关系.(难点) 1.通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习,培养数学抽象与直观想象素养. 2.借助求直线的点斜式与斜截式方程,培养数学运算素养.
1.如果一个方程称为直线l的方程,那么它需要满足什么条件?
2.若直线经过点P(x0,y0),且斜率为k,则直线上任意一点的坐标满足什么关系?
1.直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程.
2.直线l在y轴上的截距
定义:直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.
3.直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b
适用范围 斜率存在
(1)斜截式方程应用的前提是什么?
(2)纵截距一定是距离吗?
[提示] (1)直线的斜率存在.
(2)纵截距不一定是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,可取一切实数.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线y=2x-3在y轴上的截距为-3. (  )
(2)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3). (  )
(3)直线的点斜式方程也可写成=k. (  )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.已知直线过点(1,2),斜率为-2,则该直线的点斜式方程为(  )
A.y-1=2  B.y-2=2
C.y-1=-2  D.y-2=-2
D [由点斜式方程,得y-2=-2.]
3.已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为-3,则直线l的斜截式方程为________.
y=2x-3 [由斜截式方程,得y=2x-3.]
4.倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2的直线l的斜截式方程为________.
y=-x-2 [∵倾斜角α=150°,
∴斜率k=tan 150°=-.
由斜截式可得方程为y=-x-2.]
类型1 直线方程的点斜式
【例1】 根据条件写出下列直线的方程,并画出图形.
(1)经过点A(-1,4),斜率k=-3;
(2)经过坐标原点,倾斜角为45°;
(3)经过点B(3,-5),倾斜角为90°;
(4)经过点C(2,8),D(-3,-2).
[解] (1)y-4=-3[x-(-1)],即y=-3x+1.如图(1)所示.
(2)k=tan 45°=1,∴y-0=x-0,即y=x.如图(2)所示.
(1)       (2)
(3)斜率k不存在,∴直线方程为x=3.如图(3)所示.
(4)k==2,∴y-8=2(x-2),即y=2x+4.如图(4)所示.
(3)       (4)
 求直线方程的点斜式的步骤
[跟进训练]
1.写出下列直线的点斜式方程.
(1)过点(-1,2),倾斜角为135°;
(2)经过点C(-1,-1),与x轴平行;
(3)斜率为,与x轴交点的横坐标为-7.
[解] (1)y-2=-(x+1).
(2)y=-1.
(3)y=(x+7).
类型2 直线方程的斜截式
【例2】 求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过点P(0,1),斜率为2;
(2)与直线y=-x+1在y轴上的截距相等,且过点Q(2,2);
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[解] (1)y=2x+1.
(2)由题意知,该直线过点(0,1)和Q(2,2),
故k==,∴直线l的方程为y=x+1.
(3)∵直线的倾斜角为60°,
∴其斜率k=tan 60°=,
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3,
∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3,
∴所求直线方程为y=x+3或y=x-3.
 直线方程的斜截式求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定某直线,只需两个独立的条件.
(3)利用直线的斜截式求方程时,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
[跟进训练]
2.(1)直线y=ax-的图象可能是(  )
A     B     C     D
B [由题意知,斜率与在y轴上的截距异号,故选B.]
(2)已知斜率为2,在y轴上截距为m的直线方程l,若直线l过点(1,1),求m的值.
[解] 由直线方程的斜截式,得直线方程为y=2x+m.
∵直线l过点(1,1),将x=1,y=1代入方程y=2x+m,得1=2×1+m,∴m=-1.
类型3 点斜式(斜截式)方程的应用
【例3】 过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程.
[思路点拨] 
[解] (1)设直线l的方程为y-1=k(x-2),k<0,
则可得A,B(0,1-2k).
∵与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,
∴ k<0.
于是S△AOB=|OA||OB|=·(1-2k)==4.
当且仅当-=-4k,即k=-时,等号成立.
故△AOB面积有最小值为4,此时,直线l的方程为
y-1=-(x-2),即y=-x+2.
(2)∵A,B(0,1-2k)(k<0),
∴截距之和为+1-2k=3-2k-≥3+2=3+2.
当且仅当-2k=-,即k=-时,等号成立.
故截距之和最小值为3+2,此时l的方程为
y-1=-(x-2),即y=-x++1.
 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
(1)一般地,已知直线上某点时,常设出其点斜式,且注意斜率是否存在.
(2)构建函数解析式后,应注明变量的取值范围.
(3)运用均值不等式求最值,应注意“等号”是否取到.如果取不到,可用函数单调性求最值.
[跟进训练]
3.已知直线l过点P(-2,0),与坐标轴围成的三角形的面积为10,求直线l的方程.
[解] 设直线l在y轴上的截距为b,则由已知得
×|-2|×|b|=10,b=±10.
①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),
斜率k==5.
故直线的斜截式方程为y=5x+10.
②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),
斜率k==-5.
故直线的斜截式方程为y=-5x-10.
综上,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.
1.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是(  )
A.y+3=x-2
B.y-3=x+2
C.y+2=x-3
D.y-2=x+3
A [∵直线l的斜率k=tan 45°=1,∴直线l的点斜式方程为y+3=x-2.]
2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(  )
A.k>0,b>0  B.k>0,b<0
C.k<0,b>0   D.k<0,b<0
B [∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.]
3.直线y=kx+1恒过点(  )
A.(1,0)   B.(0,1)
C.(-1,0)   D.(0,-1)
B [当x=0时,y=1,所以直线y=kx+1恒过点(0,1).]
4.已知直线l的倾斜角为45°,在y轴上的截距为3,则直线l的斜截式方程为________.
y=x+3 [因为直线l的倾斜角为45°,故其斜率为1,由斜截式方程,得y=x+3.]
5.根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为-1,在y轴上截距为-2;
(2)过点A(6,-4),斜率为-.
[解] (1)易知所求直线的斜率k=-1,
在y轴上的截距b=-2,
由直线方程的斜截式知,
所求直线方程为y=-x-2.
(2)所求直线的斜率k=-,且过点A(6,-4),
根据直线方程的点斜式得直线方程为
y+4=-(x-6),
化为斜截式为y=-x+4.
直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件
课时分层作业(二) 直线方程的点斜式
一、选择题
1.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可以表示(  )
A.任何一条直线
B.不过原点的直线
C.不与坐标轴垂直的直线
D.不与x轴垂直的直线
D [点斜式方程适用的前提条件是斜率存在,故其可表示不与x轴垂直的直线.]
2.斜率为4,且过点(2,-3)的直线的点斜式方程是(  )
A.y+3=4(x-2)      B.y-3=4(x-2)
C.y-3=4(x+2)   D.y+3=4(x+2)
[答案] A
3.已知直线x-ay=4在y轴上的截距是2,则a等于(  )
A.-      B.     
C.-2      D.2
C [直线x-ay=4可化为y=x-,∴-=2,得a=-2.]
4.直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有(  )
A.k1B.k1b2
C.k1>k2且b1>b2
D.k1>k2且b1A [设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知,90°<α1<α2<180°,所以k10,所以b15.若y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是(  )
A.a>1   B.0C.   D.01
A [y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.∴当01时,有两个公共点,故选A.]
二、填空题
6.直线y=x-4在y轴上的截距是________.
-4 [由y=x-4,令x=0,得y=-4.]
7.如图,直线l的斜截式方程是y=kx+b,则点(k,b)在第________象限.
二 [由题图知,直线l的倾斜角是钝角,则k<0.又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上,则b>0,故点(k,b)在第二象限.]
8.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为________.
 [由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则
得k≥.]
三、解答题
9.已知在位于第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°.
求:(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
[解] (1)∵A(1,1),B(5,1),∴直线AB与x轴平行.
∴直线AB的斜率为0,从而该直线的方程为y-1=0.
(2)∵∠A=60°,∴kAC=,
∴AC边所在直线方程为y-1=(x-1),即x-y+1-=0.
又∵∠B=45°,∴直线BC的倾斜角为135°,其斜率为-1.
∴BC边所在直线方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0.
10.如图,直线l:y-2=(x-1)过定点P(1,2),求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程.
[解] 设直线l′的倾斜角为α′,
由直线l的方程y-2=(x-1)知,直线l的斜率为,则倾斜角为60°.当α′=90°时,满足l与l′所夹的锐角为30°,此时直线l′的方程为x=1;当α′=30°时,也满足l与l′所夹的锐角为30°,此时直线l′的斜率为,由直线方程的点斜式得l′的方程为y-2=(x-1),即y=(x-1)+2.
综上,所求直线l′的方程为x=1或y=(x-1)+2.
11.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(  )
A.y=-x+2     B.y=x+2
C.y=-x-2   D.y=x-2
A [∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,
∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0).
∴其方程为y-0=-(x-2),
即y=-x+2.]
12.(多选题)下列四个结论,其中正确的是(  )
A.方程k=与方程y-2=k(x+1)表示同一条直线
B.直线l过点P(x0,y0),倾斜角为90°,则其方程为x=x0
C.直线l过点P(x0,y0),斜率为0,则其方程为y=y0
D.所有直线都有点斜式和斜截式方程
BC [A中方程,k=,x≠-1;D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程,∴AD错误,BC正确.]
13.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,所得到的直线为________;再向右平移1个单位,所得到的直线为________.
y=-x y=-x+ [将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,得到直线y=-x,再向右平移1个单位,所得到的直线为y=-(x-1),即y=-x+.]
14.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-3[解] (1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1).
(2)设函数f (x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示),
若使当-3需满足即
解得-≤k≤1.
所以,实数k的取值范围是.
15.(多选题)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列结论正确的是(  )
A.存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
B.如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
C.直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数
D.存在恰经过一个整点的直线
AD [A正确,如直线y=x+,不经过任何整点(x=0,y=;x≠0,y是无理数);
B错误,直线y=x-中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0);
C错误,当k=0,b=时,直线y=不通过任何整点;
D正确,比如直线y=x只经过一个整点(0,0).]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
学习任务 核心素养
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式.(重点) 2.了解直线在y轴上的截距的概念.(易混点) 3.了解斜截式与一次函数的关系.(难点) 1.通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习,培养数学抽象与直观想象素养. 2.借助求直线的点斜式与斜截式方程,培养数学运算素养.
1.如果一个方程称为直线l的方程,那么它需要满足什么条件?
2.若直线经过点P(x0,y0),且斜率为k,则直线上任意一点的坐标满足什么关系?
1.直线l的方程
如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个________,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程.
2.直线l在y轴上的截距
定义:直线l与y轴交点(0,b)的_______叫作直线l在y轴上的截距.
3.直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 _________________ ________
适用范围 斜率存在
(1)斜截式方程应用的前提是什么?
(2)纵截距一定是距离吗?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线y=2x-3在y轴上的截距为-3. (  )
(2)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3). (  )
(3)直线的点斜式方程也可写成=k. (  )
2.已知直线过点(1,2),斜率为-2,则该直线的点斜式方程为(  )
A.y-1=2  B.y-2=2
C.y-1=-2  D.y-2=-2
3.已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为-3,则直线l的斜截式方程为________.
4.倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2的直线l的斜截式方程为________.
类型1 直线方程的点斜式
【例1】 根据条件写出下列直线的方程,并画出图形.
(1)经过点A(-1,4),斜率k=-3;
(2)经过坐标原点,倾斜角为45°;
(3)经过点B(3,-5),倾斜角为90°;
(4)经过点C(2,8),D(-3,-2).
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
 求直线方程的点斜式的步骤
[跟进训练]
1.写出下列直线的点斜式方程.
(1)过点(-1,2),倾斜角为135°;
(2)经过点C(-1,-1),与x轴平行;
(3)斜率为,与x轴交点的横坐标为-7.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2 直线方程的斜截式
【例2】 求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过点P(0,1),斜率为2;
(2)与直线y=-x+1在y轴上的截距相等,且过点Q(2,2);
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
 直线方程的斜截式求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定某直线,只需两个独立的条件.
(3)利用直线的斜截式求方程时,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
[跟进训练]
2.(1)直线y=ax-的图象可能是(  )
A     B     C     D
(2)已知斜率为2,在y轴上截距为m的直线方程l,若直线l过点(1,1),求m的值.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 点斜式(斜截式)方程的应用
【例3】 过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程.
[思路点拨] 
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
(1)一般地,已知直线上某点时,常设出其点斜式,且注意斜率是否存在.
(2)构建函数解析式后,应注明变量的取值范围.
(3)运用均值不等式求最值,应注意“等号”是否取到.如果取不到,可用函数单调性求最值.
[跟进训练]
3.已知直线l过点P(-2,0),与坐标轴围成的三角形的面积为10,求直线l的方程.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是(  )
A.y+3=x-2
B.y-3=x+2
C.y+2=x-3
D.y-2=x+3
2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(  )
A.k>0,b>0  B.k>0,b<0
C.k<0,b>0   D.k<0,b<0
3.直线y=kx+1恒过点(  )
A.(1,0)   B.(0,1)
C.(-1,0)   D.(0,-1)
4.已知直线l的倾斜角为45°,在y轴上的截距为3,则直线l的斜截式方程为________.
5.根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为-1,在y轴上截距为-2;
(2)过点A(6,-4),斜率为-.
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二)
1.D [点斜式方程适用的前提条件是斜率存在,故其可表示不与x轴垂直的直线.]
2.A
3.C [直线x-ay=4可化为y=,∴-=2,得a=-2.]
4.A [设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知,90°<α1<α2<180°,所以k10,所以b15.A [y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.∴当01时,有两个公共点,故选A.]
6.-4 [由y=x-4,令x=0,得y=-4.]
7.二 [由题图知,直线l的倾斜角是钝角,则k<0.又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上,则b>0,故点(k,b)在第二象限.]
8. [由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则.]
9.解:(1)∵A(1,1),B(5,1),∴直线AB与x轴平行.
∴直线AB的斜率为0,从而该直线的方程为y-1=0.
(2)∵∠A=60°,∴kAC=,
∴AC边所在直线方程为y-1=(x-1),即=0.
又∵∠B=45°,∴直线BC的倾斜角为135°,其斜率为-1.
∴BC边所在直线方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0.
10.解:设直线l'的倾斜角为α',
由直线l的方程y-2=(x-1)知,直线l的斜率为,
则倾斜角为60°.当α'=90°时,满足l与l'所夹的锐角为30°,此时直线l'的方程为x=1:当α'=30°时,也满足l与l'所夹的锐角为30°,此时直线l'的斜率为,由直线方程的点斜式得l'的方程为y-2=(x-1),即y=(x-1)+2.
综上,所求直线l'的方程为x=1或y=(x-1)+2.
11.A [∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,
∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0).
∴其方程为y-0=-(x-2),
即y=-.]
12.BC [A中方程,k=,x≠-1:D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程,∴AD错误,BC正确.]
13.y=- [将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,得到直线y=-x,再向右平移1个单位,所得到的直线为y=-(x-1),即y=-.]
14.解:(1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1).
(2)设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示),
若使当-3需满足
即≤k≤1.
所以,实数k的取值范围是.
15.AD [A正确,如直线y=,不经过任何整点(x=0,y=:x≠0,y是无理数):
B错误,直线y=中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0):
C错误,当k=0,b=时,直线y=不通过任何整点:
D正确,比如直线y=x只经过一个整点(0,0).]
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