资源简介 (共58张PPT)第一章 直线与圆§2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程学习任务 核心素养1.理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程.(重点) 1.通过对圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算素养.2.通过对圆的一般方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.1.在什么条件下,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆?2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,圆心与半径分别是什么?必备知识·情境导学探新知圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当______________时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.(2)圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心和半径圆C的圆心为_____________,半径长为________________.D2+E2-4F >0 (3)圆的方程在代数结构上的特征对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,①x2,y2的系数____,且________,即________;②不含xy这样的项,即_____.相同不等于0 A=B≠0 C=0×√√√3.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是_________________.点P在圆C外 [将点P(1,-2)代入圆的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,∴点P在圆C外.]点P在圆C外 关键能力·合作探究释疑难√类型1 圆的一般方程的概念【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.R B.(-∞,1)C.(-∞,1] D.[1,+∞)(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是____________,半径是________.(-2,-4) 5 (1)B (2)(-2,-4) 5 [(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得,(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞,1).故选B.(2)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.][跟进训练]1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.(1)2x2+y2-7y+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-5x=0.类型2 求圆的一般方程【例2】 【链接教材P32例4】已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.【教材原题·P32例4】例4 求经过A(1,3),B(4,2),C(5,-5)三点的圆的方程.图1-29反思领悟 待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.[跟进训练]2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.∴2D+4E-F-20=0,②8D+6E+F+100=0.③联立①②③,解得D=-11,E=3,F=-30,故所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.类型3 与圆有关的轨迹方程问题【例3】 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.[解] (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.反思领悟 求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);(2)列出点M 满足条件的集合;(3)用坐标表示上述条件,列出方程;(4)将上述方程化简;(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.[跟进训练]3.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.∵点C不能在x轴上,∴y≠0.综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).学习效果·课堂评估夯基础√2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=2x对称,那么( )A.D=2E B.E=2DC.E+2D=0 D.D=E√3.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则( )A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上√A [圆的方程变为(x+a)2+(y+a)2=2a2+1,∴圆心坐标为(-a,-a),故圆心都在直线y=x上.]1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的一般方程在特殊条件下的形式3.能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.特殊条件 方程形式圆心为原点(0,0) x2+y2+F=0圆心在x轴上 x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上 x2+y2+Ey+F=0过坐标原点时 x2+y2+Dx+Ey=0章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(八) 圆的一般方程一、选择题1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是( )A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在A [方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).]题号135246879101112131415题号2134568791011121314152.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为( )A.8 B.-4C.6 D.无法确定√题号213456879101112131415√题号2134568791011121314154.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为( )A.2或1 B.-2或-1C.2 D.1√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415二、填空题6.若l是经过点P(-1,0)和圆x2+y2+4x-2y+3=0的圆心的直线,则l在y轴上的截距是________.-1题号2134568791011121314157.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是________________.x+2y+1=0 [由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0.]x+2y+1=0 题号2134568791011121314158.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为__________________________________________________________________________________________________________.题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415三、解答题9.(源自人教A版教材)求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.[解] 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组题号213456879101112131415题号21345687910111213141510.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.√题号21345687910111213141511.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( )A.点 B.直线C.线段 D.圆D [∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.]题号21345687910111213141512.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是( )A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16√题号213456879101112131415√√√题号213456879101112131415题号21345687910111213141514.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,该圆的方程为_______________,最大面积为_____.x2+(y+1)2=1 π 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415课时分层作业(八)1.A [方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).]2.C [圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=6.]3.C [配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d=,所以a=2或0,故选C.]4.C [∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2或m=1(舍去),∴m=2.]5.C [∵圆心(-1,-2),r=,∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=.∴共有3个点.]6.-1 [圆心C(-2,1),则直线l的斜率k==-1,所以直线l的方程是y-0=-(x+1),即y=-x-1,所以l在y轴上的截距是-1.]7.x+2y+1=0 [由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0.]8.(写出其中一个即可) [依题意,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过,则所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即=13:若过,则所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即=5:若过,则所以圆的方程为x2+y2-y=0,即:若过,则所以圆的方程为x2+y2-=0,即.]9.解:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组解这个方程组,得所以所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0:所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径r==5.10.解:(1)据题意知,D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=.11.D [∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.]12.B [设M(x,y),则M满足,整理得x2+y2=16.]13.BCD [原方程可化为=4,故其圆心是,半径是2.由已知得,该圆的圆心在直线2ax-by+2=0上,所以 a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-,所以ab的取值范围是,故选BCD.]14.x2+(y+1)2=1 π [将圆的方程配方,得+(y+1)2=-k2+1,∵r2=1-k2≤1,∴rmax=1,此时k=0.故圆的方程为x2+(y+1)2=1,最大面积为π×12=π.]15.解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 圆的一般方程学习任务 核心素养1.理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(重点) 1.通过对圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.通过对圆的一般方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.1.在什么条件下,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆?2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,圆心与半径分别是什么?圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当_____________时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.(2)圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心和半径圆C的圆心为,半径长为.(3)圆的方程在代数结构上的特征对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,①x2,y2的系数____,且_______,即_______;②不含xy这样的项,即____.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,若+Dx0+Ey0+F<0,则点M(x0,y0)与圆C的位置关系如何?为什么?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆. ( )(2)点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,满足+Dx0+Ey0+F>0. ( )(3)二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=B≠0,C=0,D2+E2-4FA>0. ( )2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )A.a<-2 B.-C.-23.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是________.类型1 圆的一般方程的概念【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.R B.(-∞,1)C.(-∞,1] D.[1,+∞)(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 当且仅当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,其圆心为点,半径为.[跟进训练]1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.(1)2x2+y2-7y+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-5x=0._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2 求圆的一般方程【例2】 【链接教材P32例4】已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.[跟进训练]2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3 与圆有关的轨迹方程问题【例3】 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);(2)列出点M 满足条件的集合;(3)用坐标表示上述条件,列出方程;(4)将上述方程化简;(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.[跟进训练]3.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.<m<1 B.m>1C.m< D.m<或m>12.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=2x对称,那么( )A.D=2E B.E=2DC.E+2D=0 D.D=E3.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则( )A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上4.求经过点A(1,)和B(2,-2),且圆心在x轴上的圆的方程._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的一般方程在特殊条件下的形式特殊条件 方程形式圆心为原点(0,0) x2+y2+F=0圆心在x轴上 x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上 x2+y2+Ey+F=0过坐标原点时 x2+y2+Dx+Ey=03.能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 圆的一般方程学习任务 核心素养1.理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(重点) 1.通过对圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.通过对圆的一般方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.1.在什么条件下,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆?2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,圆心与半径分别是什么?圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.(2)圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心和半径圆C的圆心为,半径长为.(3)圆的方程在代数结构上的特征对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,①x2,y2的系数相同,且不等于0,即A=B≠0;②不含xy这样的项,即C=0.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,若+Dx0+Ey0+F<0,则点M(x0,y0)与圆C的位置关系如何?为什么?[提示] 点M在圆C内,理由如下:由+Dx0+Ey0+F<0得,+<,所以<,即点M(x0,y0)到圆心C的距离小于圆的半径,所以,点M在圆C内.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆. ( )(2)点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,满足+Dx0+Ey0+F>0. ( )(3)二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=B≠0,C=0,D2+E2-4FA>0. ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )A.a<-2 B.-C.-2D [由方程表示圆的条件得a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,∴-23.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是________.点P在圆C外 [将点P(1,-2)代入圆的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,∴点P在圆C外.]类型1 圆的一般方程的概念【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.R B.(-∞,1)C.(-∞,1] D.[1,+∞)(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.(1)B (2)(-2,-4) 5 [(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得,(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞,1).故选B.(2)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.] 当且仅当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,其圆心为点,半径为.[跟进训练]1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.(1)2x2+y2-7y+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-5x=0.[解] (1)∵方程2x2+y2-7y+5=0中x2与y2的系数不相同,∴它不能表示圆.(2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2=-5,∴它不能表示圆.(4)方程2x2+2y2-5x=0化为+y2=,∴它表示以为圆心,为半径的圆.类型2 求圆的一般方程【例2】 【链接教材P32例4】已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.[解] 法一:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C在圆上,∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.法二:∵kAB==,kAC==-3,∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形,∴外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),r=|BC|=5.∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.【教材原题·P32例4】例4 求经过A(1,3),B(4,2),C(5,-5)三点的圆的方程.[解] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A,B,C三点在圆上,所以有解得故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0(如图1-29).图1-29 待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.[跟进训练]2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.[解] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为.∵圆与x+3y-26=0相切于点B,∴=-1,即E-3D-36=0.①∵(-2,-4),(8,6)在圆上,∴2D+4E-F-20=0,②8D+6E+F+100=0.③联立①②③,解得D=-11,E=3,F=-30,故所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.类型3 与圆有关的轨迹方程问题【例3】 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.[解] (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);(2)列出点M 满足条件的集合;(3)用坐标表示上述条件,列出方程;(4)将上述方程化简;(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.[跟进训练]3.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.[解] 以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC中点D(x0,y0).∴ ①∵|AD|=∴=9. ②将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.∵点C不能在x轴上,∴y≠0.综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.<m<1 B.m>1C.m< D.m<或m>1D [方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是(4m)2+(-2)2-4×5m>0,即m<或m>1.]2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=2x对称,那么( )A.D=2E B.E=2DC.E+2D=0 D.D=EB [若圆关于直线y=2x对称,则圆心在直线y=2x上,即-=2 E=2D.]3.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则( )A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上A [圆的方程变为(x+a)2+(y+a)2=2a2+1,∴圆心坐标为(-a,-a),故圆心都在直线y=x上.]4.求经过点A(1,)和B(2,-2),且圆心在x轴上的圆的方程.[解] 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为圆心在x轴上,所以-=0,即E=0.又圆过点A(1,)和B(2,-2),所以即解得故所求圆的方程为x2+y2-6x=0.1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的一般方程在特殊条件下的形式特殊条件 方程形式圆心为原点(0,0) x2+y2+F=0圆心在x轴上 x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上 x2+y2+Ey+F=0过坐标原点时 x2+y2+Dx+Ey=03.能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.课时分层作业(八) 圆的一般方程一、选择题1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是( )A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在A [方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).]2.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为( )A.8 B.-4C.6 D.无法确定C [圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=6.]3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( )A.-2或2 B.或C.2或0 D.-2或0C [配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d==,所以a=2或0,故选C.]4.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为( )A.2或1 B.-2或-1C.2 D.1C [∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2或m=1(舍去),∴m=2.]5.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个C [∵圆心(-1,-2),r==2,∴圆心到直线x+y+1=0的距离d==.∴共有3个点.]二、填空题6.若l是经过点P(-1,0)和圆x2+y2+4x-2y+3=0的圆心的直线,则l在y轴上的截距是________.-1 [圆心C(-2,1),则直线l的斜率k==-1,所以直线l的方程是y-0=-(x+1),即y=-x-1,所以l在y轴上的截距是-1.]7.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是________.x+2y+1=0 [由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0.]8.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为________.+=13或+=5或+=或+=(写出其中一个即可) [依题意,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过,则解得所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即+=13;若过,则解得所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即+=5;若过,则解得所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,即+=;若过,则解得所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,即+=.]三、解答题9.(源自人教A版教材)求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.[解] 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组解这个方程组,得所以所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0;所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径r==5.10.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.[解] (1)据题意知,D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<故m的取值范围为.(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=.11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( )A.点 B.直线C.线段 D.圆D [∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.]12.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是( )A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16B [设M(x,y),则M满足=2,整理得x2+y2=16.]13.(多选题)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则下列结论正确的是( )A.圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心是B.圆x2+y2+2x-4y+1=0的半径是2C.a+b=1D.ab的取值范围是BCD [原方程可化为+=4,故其圆心是,半径是2.由已知得,该圆的圆心在直线2ax-by+2=0上,所以 a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=+,所以ab的取值范围是,故选BCD.]14.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,该圆的方程为________,最大面积为________.x2+(y+1)2=1 π [将圆的方程配方,得+(y+1)2=-k2+1,∵r2=1-k2≤1,∴rmax=1,此时k=0.故圆的方程为x2+(y+1)2=1,最大面积为π×12=π.]15.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.[解] (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(八) 圆的一般方程说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共106分一、选择题1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是( )A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在2.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为( )A.8 B.-4C.6 D.无法确定3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( )A.-2或2 B.或C.2或0 D.-2或04.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为( )A.2或1 B.-2或-1C.2 D.15.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个二、填空题6.若l是经过点P(-1,0)和圆x2+y2+4x-2y+3=0的圆心的直线,则l在y轴上的截距是________.7.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是________.8.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为________.三、解答题9.(源自人教A版教材)求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.10.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( )A.点 B.直线C.线段 D.圆12.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是( )A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=1613.(多选题)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则下列结论正确的是( )A.圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心是B.圆x2+y2+2x-4y+1=0的半径是2C.a+b=1D.ab的取值范围是14.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,该圆的方程为________,最大面积为________.15.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.2圆的一般方程学案(学生用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.2圆的一般方程学案(教师用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.2圆的一般方程课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业8圆的一般方程(学生用).docx 课时分层作业8答案.docx