北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.2圆的一般方程课件+学案+练习+答案

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北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.2圆的一般方程课件+学案+练习+答案

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(共58张PPT)
第一章 直线与圆
§2 圆与圆的方程
2.2 圆的一般方程
学习任务 核心素养
1.理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点)
2.会在不同条件下求圆的一般方程.(重点) 1.通过对圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算素养.
2.通过对圆的一般方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.
1.在什么条件下,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆?
2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,圆心与半径分别是什么?
必备知识·情境导学探新知
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当______________时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
(2)圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心和半径
圆C的圆心为_____________,半径长为________________.
D2+E2-4F >0 


(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,
①x2,y2的系数____,且________,即________;
②不含xy这样的项,即_____.
相同
不等于0 
A=B≠0 
C=0
×



3.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是_________________.
点P在圆C外 [将点P(1,-2)代入圆的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,∴点P在圆C外.]
点P在圆C外 
关键能力·合作探究释疑难

类型1 圆的一般方程的概念
【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(  )
A.R   B.(-∞,1)
C.(-∞,1]   D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是____________,半径是________.
(-2,-4) 
5 
(1)B (2)(-2,-4) 5 [(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得,(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞,1).故选B.
(2)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.
当a=2时,方程不表示圆.]
[跟进训练]
1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.
(1)2x2+y2-7y+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;
(3)x2+y2-2x-4y+10=0;
(4)2x2+2y2-5x=0.
类型2 求圆的一般方程
【例2】 【链接教材P32例4】
已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
【教材原题·P32例4】
例4 求经过A(1,3),B(4,2),C(5,-5)三点的圆的方程.
图1-29
反思领悟 待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
[跟进训练]
2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
∴2D+4E-F-20=0,②
8D+6E+F+100=0.③
联立①②③,解得D=-11,E=3,F=-30,
故所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
类型3 与圆有关的轨迹方程问题
【例3】 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
[解] (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).
∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
反思领悟 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);
(2)列出点M 满足条件的集合;
(3)用坐标表示上述条件,列出方程;
(4)将上述方程化简;
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
[跟进训练]
3.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.
∵点C不能在x轴上,∴y≠0.
综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.
轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).
学习效果·课堂评估夯基础

2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=2x对称,那么(  )
A.D=2E   B.E=2D
C.E+2D=0   D.D=E

3.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则(  )
A.这些圆的圆心都在直线y=x上
B.这些圆的圆心都在直线y=-x上
C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上
D.这些圆的圆心不在同一条直线上

A [圆的方程变为(x+a)2+(y+a)2=2a2+1,
∴圆心坐标为(-a,-a),故圆心都在直线y=x上.]
1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
2.圆的一般方程在特殊条件下的形式
3.能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.
特殊条件 方程形式
圆心为原点(0,0) x2+y2+F=0
圆心在x轴上 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+y2+Ey+F=0
过坐标原点时 x2+y2+Dx+Ey=0
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(八) 圆的一般方程
一、选择题
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(  )
A.一个点   B.一个圆
C.一条直线   D.不存在
A [方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).]
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2.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为(  )
A.8   B.-4
C.6   D.无法确定

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4.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(  )
A.2或1   B.-2或-1
C.2   D.1

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二、填空题
6.若l是经过点P(-1,0)和圆x2+y2+4x-2y+3=0的圆心的直线,则l在y轴上的截距是________.
-1
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7.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是________________.
x+2y+1=0 [由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0.]
x+2y+1=0 
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8.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方
程为_______________________________________________________
___________________________________________________.
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三、解答题
9.(源自人教A版教材)求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.
[解] 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①
因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组
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10.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.

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11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(  )
A.点   B.直线
C.线段   D.圆
D [∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),
∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.]
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12.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是(  )
A.x2+y2=32   B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16   D.x2+(y-1)2=16

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14.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,该圆的方程为_______________,最大面积为_____.
x2+(y+1)2=1 
π 
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15课时分层作业(八)
1.A [方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).]
2.C [圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=6.]
3.C [配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d=,所以a=2或0,故选C.]
4.C [∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2或m=1(舍去),∴m=2.]
5.C [∵圆心(-1,-2),r=,∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=.
∴共有3个点.]
6.-1 [圆心C(-2,1),则直线l的斜率k==-1,所以直线l的方程是y-0=-(x+1),即y=-x-1,所以l在y轴上的截距是-1.]
7.x+2y+1=0 [由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0.]
8.(写出其中一个即可) [依题意,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
若过,

所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即=13:
若过,

所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,
即=5:
若过,

所以圆的方程为x2+y2-y=0,即:
若过,

所以圆的方程为x2+y2-=0,即.]
9.解:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①
因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组
解这个方程组,得
所以所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0:
所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径r==5.
10.解:(1)据题意知,D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为.
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
故圆心坐标为(-m,1),半径r=.
11.D [∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),
∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.]
12.B [设M(x,y),则M满足,整理得x2+y2=16.]
13.BCD [原方程可化为=4,故其圆心是,半径是2.
由已知得,该圆的圆心在直线2ax-by+2=0上,
所以 a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-,所以ab的取值范围是,故选BCD.]
14.x2+(y+1)2=1 π [将圆的方程配方,得+(y+1)2=-k2+1,∵r2=1-k2≤1,∴rmax=1,此时k=0.
故圆的方程为x2+(y+1)2=1,最大面积为π×12=π.]
15.解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.
∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.
由解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 圆的一般方程
学习任务 核心素养
1.理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(重点) 1.通过对圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.通过对圆的一般方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.
1.在什么条件下,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆?
2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,圆心与半径分别是什么?
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当_____________时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
(2)圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心和半径
圆C的圆心为,半径长为.
(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,
①x2,y2的系数____,且_______,即_______;
②不含xy这样的项,即____.
已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,若+Dx0+Ey0+F<0,则点M(x0,y0)与圆C的位置关系如何?为什么?
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1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆. (  )
(2)点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,满足+Dx0+Ey0+F>0. (  )
(3)二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=B≠0,C=0,D2+E2-4FA>0. (  )
2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(  )
A.a<-2  B.-C.-23.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是________.
类型1 圆的一般方程的概念
【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(  )
A.R   B.(-∞,1)
C.(-∞,1]   D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 当且仅当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,其圆心为点,半径为.
[跟进训练]
1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.
(1)2x2+y2-7y+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;
(3)x2+y2-2x-4y+10=0;
(4)2x2+2y2-5x=0.
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类型2 求圆的一般方程
【例2】 【链接教材P32例4】
已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
[跟进训练]
2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
___________________________________________________________________
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类型3 与圆有关的轨迹方程问题
【例3】 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);
(2)列出点M 满足条件的集合;
(3)用坐标表示上述条件,列出方程;
(4)将上述方程化简;
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
[跟进训练]
3.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.
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1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是(  )
A.<m<1  B.m>1
C.m<   D.m<或m>1
2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=2x对称,那么(  )
A.D=2E   B.E=2D
C.E+2D=0   D.D=E
3.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则(  )
A.这些圆的圆心都在直线y=x上
B.这些圆的圆心都在直线y=-x上
C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上
D.这些圆的圆心不在同一条直线上
4.求经过点A(1,)和B(2,-2),且圆心在x轴上的圆的方程.
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1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
2.圆的一般方程在特殊条件下的形式
特殊条件 方程形式
圆心为原点(0,0) x2+y2+F=0
圆心在x轴上 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+y2+Ey+F=0
过坐标原点时 x2+y2+Dx+Ey=0
3.能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 圆的一般方程
学习任务 核心素养
1.理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(重点) 1.通过对圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.通过对圆的一般方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.
1.在什么条件下,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆?
2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,圆心与半径分别是什么?
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
(2)圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心和半径
圆C的圆心为,半径长为.
(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,
①x2,y2的系数相同,且不等于0,即A=B≠0;
②不含xy这样的项,即C=0.
已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,若+Dx0+Ey0+F<0,则点M(x0,y0)与圆C的位置关系如何?为什么?
[提示] 点M在圆C内,理由如下:
由+Dx0+Ey0+F<0得,+<,所以<,即点M(x0,y0)到圆心C的距离小于圆的半径,所以,点M在圆C内.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆. (  )
(2)点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,满足+Dx0+Ey0+F>0. (  )
(3)二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=B≠0,C=0,D2+E2-4FA>0. (  )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(  )
A.a<-2  B.-C.-2D [由方程表示圆的条件得
a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,
即3a2+4a-4<0,∴-23.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是________.
点P在圆C外 [将点P(1,-2)代入圆的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,∴点P在圆C外.]
类型1 圆的一般方程的概念
【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(  )
A.R   B.(-∞,1)
C.(-∞,1]   D.[1,+∞)
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
(1)B (2)(-2,-4) 5 [(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得,(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞,1).故选B.
(2)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.
当a=2时,方程不表示圆.]
 当且仅当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,其圆心为点,半径为.
[跟进训练]
1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.
(1)2x2+y2-7y+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;
(3)x2+y2-2x-4y+10=0;
(4)2x2+2y2-5x=0.
[解] (1)∵方程2x2+y2-7y+5=0中x2与y2的系数不相同,∴它不能表示圆.
(2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项.∴它不能表示圆.
(3)方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2=-5,∴它不能表示圆.
(4)方程2x2+2y2-5x=0化为+y2=,
∴它表示以为圆心,为半径的圆.
类型2 求圆的一般方程
【例2】 【链接教材P32例4】
已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
[解] 法一:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∵A,B,C在圆上,
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.
∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.
法二:∵kAB==,kAC==-3,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形,∴外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),r=|BC|=5.
∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.
【教材原题·P32例4】
例4 求经过A(1,3),B(4,2),C(5,-5)三点的圆的方程.
[解] 设所求圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为A,B,C三点在圆上,所以有
解得
故所求圆的方程为
x2+y2-2x+4y-20=0(如图1-29).
图1-29
 待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
[跟进训练]
2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
[解] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为.
∵圆与x+3y-26=0相切于点B,
∴=-1,即E-3D-36=0.①
∵(-2,-4),(8,6)在圆上,
∴2D+4E-F-20=0,②
8D+6E+F+100=0.③
联立①②③,解得D=-11,E=3,F=-30,
故所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
类型3 与圆有关的轨迹方程问题
【例3】 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
[解] (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).
∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
 求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y);
(2)列出点M 满足条件的集合;
(3)用坐标表示上述条件,列出方程;
(4)将上述方程化简;
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
[跟进训练]
3.已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.
[解] 以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC中点D(x0,y0).
∴  ①
∵|AD|=∴=9. ②
将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.
∵点C不能在x轴上,∴y≠0.
综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.
轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).
1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是(  )
A.<m<1  B.m>1
C.m<   D.m<或m>1
D [方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是(4m)2+(-2)2-4×5m>0,即m<或m>1.]
2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=2x对称,那么(  )
A.D=2E   B.E=2D
C.E+2D=0   D.D=E
B [若圆关于直线y=2x对称,则圆心在直线y=2x上,即-=2 E=2D.]
3.当a取不同的实数时,由方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以得到不同的圆,则(  )
A.这些圆的圆心都在直线y=x上
B.这些圆的圆心都在直线y=-x上
C.这些圆的圆心都在直线y=x或在直线y=-x上
D.这些圆的圆心不在同一条直线上
A [圆的方程变为(x+a)2+(y+a)2=2a2+1,
∴圆心坐标为(-a,-a),故圆心都在直线y=x上.]
4.求经过点A(1,)和B(2,-2),且圆心在x轴上的圆的方程.
[解] 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为圆心在x轴上,
所以-=0,即E=0.
又圆过点A(1,)和B(2,-2),
所以
即解得
故所求圆的方程为x2+y2-6x=0.
1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
2.圆的一般方程在特殊条件下的形式
特殊条件 方程形式
圆心为原点(0,0) x2+y2+F=0
圆心在x轴上 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+y2+Ey+F=0
过坐标原点时 x2+y2+Dx+Ey=0
3.能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.
课时分层作业(八) 圆的一般方程
一、选择题
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(  )
A.一个点   B.一个圆
C.一条直线   D.不存在
A [方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).]
2.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为(  )
A.8   B.-4
C.6   D.无法确定
C [圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=6.]
3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为(  )
A.-2或2   B.或
C.2或0   D.-2或0
C [配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d==,所以a=2或0,故选C.]
4.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(  )
A.2或1   B.-2或-1
C.2   D.1
C [∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴
-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2或m=1(舍去),∴m=2.]
5.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(  )
A.1个   B.2个
C.3个   D.4个
C [∵圆心(-1,-2),r==2,∴圆心到直线x+y+1=0的距离d==.
∴共有3个点.]
二、填空题
6.若l是经过点P(-1,0)和圆x2+y2+4x-2y+3=0的圆心的直线,则l在y轴上的截距是________.
-1 [圆心C(-2,1),则直线l的斜率k==-1,所以直线l的方程是y-0=-(x+1),即y=-x-1,所以l在y轴上的截距是-1.]
7.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是________.
x+2y+1=0 [由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0.]
8.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为________.
+=13或+=5或+=或+=(写出其中一个即可) [依题意,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
若过,

解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即+=13;
若过,

解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即+=5;
若过,

解得
所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,
即+=;
若过,

解得
所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,
即+=.]
三、解答题
9.(源自人教A版教材)求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.
[解] 设圆的方程是
x2+y2+Dx+Ey+F=0.①
因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组
解这个方程组,得
所以所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0;
所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径r==5.
10.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
[解] (1)据题意知,D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<故m的取值范围为.
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
故圆心坐标为(-m,1),半径r=.
11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(  )
A.点   B.直线
C.线段   D.圆
D [∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),
∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.]
12.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是(  )
A.x2+y2=32   B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16   D.x2+(y-1)2=16
B [设M(x,y),则M满足=2,整理得x2+y2=16.]
13.(多选题)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则下列结论正确的是(  )
A.圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心是
B.圆x2+y2+2x-4y+1=0的半径是2
C.a+b=1
D.ab的取值范围是
BCD [原方程可化为+=4,故其圆心是,半径是2.
由已知得,该圆的圆心在直线2ax-by+2=0上,
所以 a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=+,所以ab的取值范围是,故选BCD.]
14.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,该圆的方程为________,最大面积为________.
x2+(y+1)2=1 π [将圆的方程配方,得+(y+1)2=-k2+1,∵r2=1-k2≤1,∴rmax=1,此时k=0.
故圆的方程为x2+(y+1)2=1,最大面积为π×12=π.]
15.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程;
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.
[解] (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

解得D=0,E=3-a,F=-3a.
∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.

解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(八) 圆的一般方程
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共106分
一、选择题
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(  )
A.一个点   B.一个圆
C.一条直线   D.不存在
2.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为(  )
A.8   B.-4
C.6   D.无法确定
3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为(  )
A.-2或2   B.或
C.2或0   D.-2或0
4.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(  )
A.2或1   B.-2或-1
C.2   D.1
5.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(  )
A.1个   B.2个
C.3个   D.4个
二、填空题
6.若l是经过点P(-1,0)和圆x2+y2+4x-2y+3=0的圆心的直线,则l在y轴上的截距是________.
7.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是________.
8.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为________.
三、解答题
9.(源自人教A版教材)求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.
10.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(  )
A.点   B.直线
C.线段   D.圆
12.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是(  )
A.x2+y2=32   B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16   D.x2+(y-1)2=16
13.(多选题)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则下列结论正确的是(  )
A.圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心是
B.圆x2+y2+2x-4y+1=0的半径是2
C.a+b=1
D.ab的取值范围是
14.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,该圆的方程为________,最大面积为________.
15.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程;
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.
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