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(共58张PPT)
第一章　直线与圆
§2　圆与圆的方程
2.2　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)
2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养．
2．通过对圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？
必备知识·情境导学探新知
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．
(2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径
圆C的圆心为_____________，半径长为________________．
D2＋E2－4F >0　


(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，
①x2，y2的系数____，且________，即________；
②不含xy这样的项，即_____．
相同
不等于0　
A＝B≠0　
C＝0
×
√
√
√
3．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是_________________．
点P在圆C外　[将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外．]
点P在圆C外　
关键能力·合作探究释疑难
√
类型1　圆的一般方程的概念
【例1】　(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R　　 B．(－∞，1)
C．(－∞，1] 　 D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．
(－2，－4)　
5　
(1)B　(2)(－2，－4)　5　[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5．
当a＝2时，方程不表示圆．]
[跟进训练]
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　【链接教材P32例4】
已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
【教材原题·P32例4】
例4　求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．
图1－29
反思领悟　待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．
[跟进训练]
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0．③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0．
类型3　与圆有关的轨迹方程问题
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
反思领悟　求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
[跟进训练]
3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
∵点C不能在x轴上，∴y≠0．
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
学习效果·课堂评估夯基础
√
2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(　　)
A．D＝2E 　 B．E＝2D
C．E＋2D＝0 　 D．D＝E
√
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　)
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
√
A　[圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，
∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．]
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的一般方程在特殊条件下的形式
3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
特殊条件 方程形式
圆心为原点(0，0) x2＋y2＋F＝0
圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0
过坐标原点时 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(八)　圆的一般方程
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点　　 B．一个圆
C．一条直线 　 D．不存在
A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
题号
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2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)
A．8 　 B．－4
C．6 　 D．无法确定
√
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4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)
A．2或1 　 B．－2或－1
C．2 　 D．1
√
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二、填空题
6．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．
－1
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7．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________．
x＋2y＋1＝0　[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]
x＋2y＋1＝0　
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8．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方
程为_______________________________________________________
___________________________________________________．
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三、解答题
9．(源自人教A版教材)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
[解]　设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
题号
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10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
√
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11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点 　 B．直线
C．线段 　 D．圆
D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．]
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12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝32 　 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 　 D．x2＋(y－1)2＝16
√
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14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为_______________，最大面积为_____．
x2＋(y＋1)2＝1　
π　
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15课时分层作业(八)
1．A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
2．C　[圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6．]
3．C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝，所以a＝2或0，故选C．]
4．C　[∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1．又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．]
5．C　[∵圆心(－1，－2)，r＝，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝．
∴共有3个点．]
6．－1　[圆心C(－2，1)，则直线l的斜率k＝＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1．]
7．x＋2y＋1＝0　[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]
8．(写出其中一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
若过，
则
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＝13：
若过，
则
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即＝5：
若过，
则
所以圆的方程为x2＋y2－y＝0，即：
若过，
则
所以圆的方程为x2＋y2－＝0，即．]
9．解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0：
所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5．
10．解：(1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，故m的取值范围为．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝．
11．D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．]
12．B　[设M(x，y)，则M满足，整理得x2＋y2＝16．]
13．BCD　[原方程可化为＝4，故其圆心是，半径是2．
由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，
所以 a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－，所以ab的取值范围是，故选BCD．]
14．x2＋(y＋1)2＝1　π　[将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0．
故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π．]
15．解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a．
∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0．
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0．
由解得x＝0，y＝－3．
∴圆M过定点(0，－3)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养． 2．通过对圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当_____________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．
(2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径
圆C的圆心为，半径长为．
(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，
①x2，y2的系数____，且_______，即_______；
②不含xy这样的项，即____．
已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若＋Dx0＋Ey0＋F<0，则点M(x0，y0)与圆C的位置关系如何？为什么？
___________________________________________________________________
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆． (　　)
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (　　)
(3)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4FA＞0． (　　)
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<－2　 B．－C．－23．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________．
类型1　圆的一般方程的概念
【例1】　(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R　　 B．(－∞，1)
C．(－∞，1] 　 D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　当且仅当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，其圆心为点，半径为．
[跟进训练]
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0．
___________________________________________________________________
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类型2　求圆的一般方程
【例2】　【链接教材P32例4】
已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．
[跟进训练]
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
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类型3　与圆有关的轨迹方程问题
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
[跟进训练]
3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
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1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)
A．＜m＜1　 B．m＞1
C．m＜ 　 D．m＜或m＞1
2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(　　)
A．D＝2E 　 B．E＝2D
C．E＋2D＝0 　 D．D＝E
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　)
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
4．求经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的方程．
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1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的一般方程在特殊条件下的形式
特殊条件 方程形式
圆心为原点(0，0) x2＋y2＋F＝0
圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0
过坐标原点时 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2　圆的一般方程
学习任务 核心素养
1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养． 2．通过对圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．
(2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径
圆C的圆心为，半径长为．
(3)圆的方程在代数结构上的特征
对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，
①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0；
②不含xy这样的项，即C＝0．
已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若＋Dx0＋Ey0＋F<0，则点M(x0，y0)与圆C的位置关系如何？为什么？
[提示]　点M在圆C内，理由如下：
由＋Dx0＋Ey0＋F<0得，＋<，所以<，即点M(x0，y0)到圆心C的距离小于圆的半径，所以，点M在圆C内．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆． (　　)
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (　　)
(3)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4FA＞0． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<－2　 B．－C．－2D　[由方程表示圆的条件得
a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，
即3a2＋4a－4<0，∴－23．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________．
点P在圆C外　[将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外．]
类型1　圆的一般方程的概念
【例1】　(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．R　　 B．(－∞，1)
C．(－∞，1] 　 D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(1)B　(2)(－2，－4)　5　[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5．
当a＝2时，方程不表示圆．]
　当且仅当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，其圆心为点，半径为．
[跟进训练]
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0．
[解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径的圆．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　【链接教材P32例4】
已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5．
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．
【教材原题·P32例4】
例4　求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为A，B，C三点在圆上，所以有
解得
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x＋4y－20＝0(如图1－29)．
图1－29
　待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．
[跟进训练]
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为．
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，
∴＝－1，即E－3D－36＝0．①
∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0．③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0．
类型3　与圆有关的轨迹方程问题
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
　求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
[跟进训练]
3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴ 　①
∵|AD|＝∴＝9．　②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36．
∵点C不能在x轴上，∴y≠0．
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)
A．＜m＜1　 B．m＞1
C．m＜ 　 D．m＜或m＞1
D　[方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1．]
2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(　　)
A．D＝2E 　 B．E＝2D
C．E＋2D＝0 　 D．D＝E
B　[若圆关于直线y＝2x对称，则圆心在直线y＝2x上，即－＝2 E＝2D．]
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　)
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
A　[圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，
∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．]
4．求经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的方程．
[解]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
因为圆心在x轴上，
所以－＝0，即E＝0．
又圆过点A(1，)和B(2，－2)，
所以
即解得
故所求圆的方程为x2＋y2－6x＝0．
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的一般方程在特殊条件下的形式
特殊条件 方程形式
圆心为原点(0，0) x2＋y2＋F＝0
圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0
过坐标原点时 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
课时分层作业(八)　圆的一般方程
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点　　 B．一个圆
C．一条直线 　 D．不存在
A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)
A．8 　 B．－4
C．6 　 D．无法确定
C　[圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6．]
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A．－2或2 　 B．或
C．2或0 　 D．－2或0
C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C．]
4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)
A．2或1 　 B．－2或－1
C．2 　 D．1
C　[∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴
－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1．又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．]
5．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
C　[∵圆心(－1，－2)，r＝＝2，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝．
∴共有3个点．]
二、填空题
6．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．
－1　[圆心C(－2，1)，则直线l的斜率k＝＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1．]
7．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________．
x＋2y＋1＝0　[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]
8．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(写出其中一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
若过，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13；
若过，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5；
若过，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝；
若过，
则
解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，
即＋＝．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
[解]　设圆的方程是
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0；
所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5．
10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解]　(1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<故m的取值范围为．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝．
11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点 　 B．直线
C．线段 　 D．圆
D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．]
12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝32 　 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 　 D．x2＋(y－1)2＝16
B　[设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16．]
13．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　)
A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是
B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2
C．a＋b＝1
D．ab的取值范围是
BCD　[原方程可化为＋＝4，故其圆心是，半径是2．
由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，
所以 a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝＋，所以ab的取值范围是，故选BCD．]
14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．
x2＋(y＋1)2＝1　π　[将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0．
故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π．]
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
[解]　(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
∴
解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a．
∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0．
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0．
由
解得x＝0，y＝－3．
∴圆M过定点(0，－3)．
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说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点　　 B．一个圆
C．一条直线 　 D．不存在
2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)
A．8 　 B．－4
C．6 　 D．无法确定
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A．－2或2 　 B．或
C．2或0 　 D．－2或0
4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)
A．2或1 　 B．－2或－1
C．2 　 D．1
5．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
二、填空题
6．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．
7．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________．
8．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点 　 B．直线
C．线段 　 D．圆
12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝32 　 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 　 D．x2＋(y－1)2＝16
13．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　)
A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是
B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2
C．a＋b＝1
D．ab的取值范围是
14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
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