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(共63张PPT)
第一章　直线与圆
§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)
2．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)
3．掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点) 1．通过对圆的标准方程定义的学习，培养数学抽象素养．
2．通过求圆的标准方程及标准方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在平面几何中，圆是如何定义的？
2．集合{P||OP|＝1，O是坐标原点}所表示的几何图形是什么？
3．如何用方程表示：以坐标原点为圆心，半径为1的圆？
必备知识·情境导学探新知
[提示]　确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2　
x2＋y2＝r2
判断方法
几何法 代数法
dd＝r 点P在圆C上 __________________________ 点P在圆C上
d>r 点P在圆C外 __________________________ 点P在圆C外
(x0－a)2＋( y0－b)2(x0－a)2＋( y0－b)2＝r2　
(x0－a)2＋( y0－b)2>r2
×
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　)
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　　)
(3)圆(x－1)2＋y2＝1的范围是0≤x≤2且－1≤y≤1． (　　)
(4)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部． (　　)
√
√
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝13的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　　　 B．(－2，3)
C．(－2，－3)　　 　 D．(2，－3)
√
D　[由(x－2)2＋(y＋3)2＝13知圆心坐标为(2，－3)．]
(7，＋∞)
4．一圆过坐标原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，则圆的标准方程为______________________．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　求圆的标准方程
【例1】　【链接教材P30例3】
求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．
图1－27
反思领悟　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：
(1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是：
①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解—解方程组，求出a，b，r；
④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
[解]　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　已知A(－1，4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系．
又|OC|2＝(5－2)2＋(1－0)2＝10∴C在圆内．
又|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2，
∴D在圆上．
又|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2，
∴E在圆外．
反思领悟　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种．对于几何法，主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
(1)当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内；
(2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；
(3)当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外．
[跟进训练]
2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　)
A．M在C外　　　　 B．M在C上
C．M在C内 　 D．与a的取值有关
(2)若点P(－2，4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．
√
(0，5)　
[思路点拨]　首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
2．本例条件不变，试求x＋y的最值．
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[根据圆的标准方程易知A正确．]
2．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－3)2＝1 　 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋y2＝1　　 　 D．(x＋2)2＋y2＝1
√
B　[设圆心(0，b)，则x2＋(y－b)2＝1．又圆过点(－1，2)，代入得b＝2，
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．]
3．(教材P29例2(1)改编)圆心为(1，1)且过点(4，5)的圆的标准方程是_____________________．
(x－1)2＋( y－1)2＝25　
4．已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．
1．圆的特征与圆的标准方程的对应关系
圆的特征 圆的标准方程
圆心为原点(0，0) x2＋y2＝r2
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2
过坐标原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(七)　圆的标准方程
一、选择题
1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
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4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 　 B．4
C．3 　 D．2
√
B　[由题意知，|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．]
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二、填空题
6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为____________．
(x－2)2＋y2＝5　[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]
(x－2)2＋y2＝5
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7．在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_____________．
(－∞，－2)
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8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为______．
1　[∵|AB|＝2，∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2，2)，半径为1，所以此时C的坐标为(2，1)，S△ABC的最小值为1．]
1　
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三、解答题
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
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10．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
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11．点P(8，m)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　 B．在圆内
C．在圆上 　 D．与m取值有关
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15§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点) 2．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点) 3．掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点) 1．通过对圆的标准方程定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过求圆的标准方程及标准方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在平面几何中，圆是如何定义的？
2．集合{P||OP|＝1，O是坐标原点}所表示的几何图形是什么？
3．如何用方程表示：以坐标原点为圆心，半径为1的圆？
1．圆的标准方程
圆心为，半径是r的圆的方程为________________________．
特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为__________．
确定圆的几何要素是什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．圆x2＋y2＝r2的简单几何性质
(1)范围
≤r，≤r．
(2)对称性
圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点．
3．点与圆的位置关系
圆的标准方程为C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设所给点为点P＝d，则
判断方法
几何法 代数法
d判断方法
d＝r 点P在圆C上 __________________________ 点P在圆C上
d>r 点P在圆C外 __________________________ 点P在圆C外
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　)
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　　)
(3)圆(x－1)2＋y2＝1的范围是0≤x≤2且－1≤y≤1． (　　)
(4)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部． (　　)
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝13的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　　　 B．(－2，3)
C．(－2，－3)　　 　 D．(2，－3)
3．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．
4．一圆过坐标原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，则圆的标准方程为________．
类型1　求圆的标准方程
【例1】　【链接教材P30例3】
求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：
(1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是：
①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解—解方程组，求出a，b，r；
④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
___________________________________________________________________
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类型2　点与圆的位置关系
【例2】　已知A(－1，4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系．
[思路点拨]　线段AB的中点就是圆心，半径r＝，从而写出直径为AB的圆的标准方程，再利用点到圆心距离与半径r相比较，从而判断出C、D、E与圆的位置关系．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种．对于几何法，主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
(1)当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内；
(2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；
(3)当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外．
[跟进训练]
2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　)
A．M在C外　　　　 B．M在C上
C．M在C内 　 D．与a的取值有关
(2)若点P(－2，4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．
类型3　与圆有关的最值问题
【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值．
[思路点拨]　首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
1．本例条件不变，试求的取值范围．
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2．本例条件不变，试求x＋y的最值．
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3．本例条件不变，试求的最值．
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　处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；
(4)形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题．
1．圆心(－1，1)，半径为的圆的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2　　
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
2．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－3)2＝1 　 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋y2＝1　　 　 D．(x＋2)2＋y2＝1
3．(教材P29例2(1)改编)圆心为(1，1)且过点(4，5)的圆的标准方程是________．
4．已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．圆的特征与圆的标准方程的对应关系
圆的特征 圆的标准方程
圆心为原点(0，0) x2＋y2＝r2
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2
过坐标原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(七)
1．C　[r＝＝5，故选C．]
2．B　[由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝．]
3．A　[由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2，得a<－．]
4．B　[由题意知，|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．]
5．D　[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆：当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D．]
6．(x－2)2＋y2＝5　[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]
7．(－∞，－2)　[由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．]
8．1　[∵|AB|＝2，∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，
又圆心为(2，2)，半径为1，
所以此时C的坐标为(2，1)，S△ABC的最小值为1．]
9．解：(1)因为点M(6，9)在圆N上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10，
又a>0，所以a＝．
(2)因为|PN|＝，
|QN|＝＝3，
所以|PN|>|QN|，故点P在圆N外，点Q在圆N内，
所以3故实数a的取值范围是(3，)．
10．解：(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，且kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y－，即x－y＝0．
(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，
则
所以圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1．
11．A　[因为d＝＝r，所以点在圆外．]
12．C　[法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
把三点代入得
故所求圆的标准方程为x－2＋y2＝．
法二：(几何法)因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为．
则圆E的半径为|EB|＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝．]
13．BCD　[圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1．点A(－1，1)关于x轴的对称点A'的坐标为(－1，－1)．因为当反射光线是A'C时，光线的路程最短，所以最短距离为|A'C|－r，
即－1＝4，
此时，反射光线为直线A'C，其方程是4x－3y＋1＝0，反射点为直线A'C与x轴的交点，其坐标为．]
14．　－　[原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时，解得k＝±．
所以，最小值为－．]
15．A　[设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2，dmin＝2．
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2．
综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
学习任务 核心素养
1．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点) 2．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点) 3．掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点) 1．通过对圆的标准方程定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过求圆的标准方程及标准方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．
1．在平面几何中，圆是如何定义的？
2．集合{P||OP|＝1，O是坐标原点}所表示的几何图形是什么？
3．如何用方程表示：以坐标原点为圆心，半径为1的圆？
1．圆的标准方程
圆心为，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2．
确定圆的几何要素是什么？
[提示]　确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小．
2．圆x2＋y2＝r2的简单几何性质
(1)范围
≤r，≤r．
(2)对称性
圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点．
3．点与圆的位置关系
圆的标准方程为C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设所给点为点P＝d，则
判断方法
几何法 代数法
d判断方法
d＝r 点P在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P在圆C上
d>r 点P在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点P在圆C外
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　)
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　　)
(3)圆(x－1)2＋y2＝1的范围是0≤x≤2且－1≤y≤1． (　　)
(4)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝13的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　　　 B．(－2，3)
C．(－2，－3)　　 　 D．(2，－3)
D　[由(x－2)2＋(y＋3)2＝13知圆心坐标为(2，－3)．]
3．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．
(7，＋∞)　[∵(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，
∴9＋()2＞16，∴a＞7．]
4．一圆过坐标原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，则圆的标准方程为________．
＋＝　[∵圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2．
∵点O(0，0)和P(1，3)在圆上，
∴
解得
∴圆的标准方程是＋＝．]
类型1　求圆的标准方程
【例1】　【链接教材P30例3】
求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．
[解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知
解此方程组，得
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，
kAB＝＝－1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x．
则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得即圆心为(1，1)，
圆的半径为＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法三：∵所求圆的圆心在直线x＋y－2＝0上，
∴可设圆心C为(a，2－a)．
由|CA|＝|CB|，
∴＝，
解得a＝1，
∴圆心为(1，1)，半径r＝|CA|＝2．
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
【教材原题·P30例3】
例3　求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
解法1　设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组
①－②，得(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④
化简、整理，得　3a－b－5＝0．⑤
联立③⑤解得　
代入①，得　r2＝5．
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5(如图1－27(1))．
图1－27
解法2　如图1－27(2)，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点．线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0．
联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组
解得即圆心C的坐标为(2，1)．
又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：
(1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是：
①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解—解方程组，求出a，b，r；
④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
[解]　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
类型2　点与圆的位置关系
【例2】　已知A(－1，4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系．
[思路点拨]　线段AB的中点就是圆心，半径r＝，从而写出直径为AB的圆的标准方程，再利用点到圆心距离与半径r相比较，从而判断出C、D、E与圆的位置关系．
[解]　设圆心为O(x0，y0)，半径为r，
由题意得解得
∴圆心O(2，0)．
又r＝＝5，
∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝25．
又|OC|2＝(5－2)2＋(1－0)2＝10∴C在圆内．
又|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2，
∴D在圆上．
又|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2，
∴E在圆外．
　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种．对于几何法，主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
(1)当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内；
(2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；
(3)当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外．
[跟进训练]
2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　)
A．M在C外　　　　 B．M在C上
C．M在C内 　 D．与a的取值有关
(2)若点P(－2，4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．
(1)A　(2)(0，5)　[(1)因为圆心C(1，0)，|MC|＝＝＞1，
故选A．
(2)由于点P(－2，4)在圆的外部，
所以(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5．
又方程表示圆，所以m＞0．
因此实数m的取值范围是0＜m＜5．]
类型3　与圆有关的最值问题
【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值．
[思路点拨]　首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
[解]　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．
因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，
所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝．
因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和．
[母题探究]
1．本例条件不变，试求的取值范围．
[解]　设k＝变形为k＝此式表示圆上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由k＝可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即
解得－．
即．
2．本例条件不变，试求x＋y的最值．
[解]　令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．
当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1．
3．本例条件不变，试求的最值．
[解]　表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到直线x＋2y－6＝0的距离，
又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝
所以，其最大值为最小值为．
　处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；
(4)形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题．
1．圆心(－1，1)，半径为的圆的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2　　
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝
A　[根据圆的标准方程易知A正确．]
2．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－3)2＝1 　 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋y2＝1　　 　 D．(x＋2)2＋y2＝1
B　[设圆心(0，b)，则x2＋(y－b)2＝1．又圆过点(－1，2)，代入得b＝2，
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．]
3．(教材P29例2(1)改编)圆心为(1，1)且过点(4，5)的圆的标准方程是________．
(x－1)2＋(y－1)2＝25　[半径r＝＝5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝25．]
4．已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．
[解]　法一：直线AB的斜率为k＝＝－，
可知AB垂直平分线m的斜率为2．
AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，
y＝＝2，
因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．
又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，
联立方程解得
所以圆心坐标为C(2，4)．
又半径r＝|CA|＝，
则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10．
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，
即解得
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10．
1．圆的特征与圆的标准方程的对应关系
圆的特征 圆的标准方程
圆心为原点(0，0) x2＋y2＝r2
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2
过坐标原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题．
课时分层作业(七)　圆的标准方程
一、选择题
1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
C　[r＝＝5，故选C．]
2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于(　　)
A．　 B．
C．　 D．
B　[由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝＝．]
3．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为(　　)
A． 　 B．
C．　 D．
A　[由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2，得a<－．]
4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 　 B．4
C．3 　 D．2
B　[由题意知，|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．]
5．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．半圆 　 B．圆
C．两个圆 　 D．两个半圆
D　[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D．]
二、填空题
6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．
(x－2)2＋y2＝5　[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]
7．在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－2)　[由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．]
8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．
1　[∵|AB|＝2，∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，
又圆心为(2，2)，半径为1，所以此时C的坐标为(2，1)，S△ABC的最小值为1．]
三、解答题
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
[解]　(1)因为点M(6，9)在圆N上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10，
又a>0，所以a＝．
(2)因为|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
所以|PN|>|QN|，故点P在圆N外，点Q在圆N内，
所以3故实数a的取值范围是(3，)．
10．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
[解]　(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，且kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y－＝1×，即x－y＝0．
(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，
则解得或
所以圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1．
11．点P(8，m)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　 B．在圆内
C．在圆上 　 D．与m取值有关
A　[因为d＝＝>＝r，所以点在圆外．]
12．已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A．＋y2＝　 B．＋y2＝
C．＋y2＝ 　 D．＋y2＝
C　[法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
把三点代入得
解得
故所求圆的标准方程为＋y2＝．
法二：(几何法)因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为．
则圆E的半径为|EB|＝＝，所以圆E的标准方程为＋y2＝．]
13．(多选题)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程时(　　)
A．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1，－1)
B．反射光线所在的直线方程是4x－3y＋1＝0
C．光线的最短路程为4
D．当光线的路程最短时，反射点的坐标为
BCD　[圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因为当反射光线是A′C时，光线的路程最短，所以最短距离为|A′C|－r，
即－1＝4，
此时，反射光线为直线A′C，其方程是4x－3y＋1＝0，反射点为直线A′C与x轴的交点，其坐标为．]
14．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2－1＝2．则的最大值是________；最小值是________．
　－　[原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝±．
所以的最大值为，最小值为－．]
15．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2，6] 　 B．[4，8]
C．[，3] 　 D．[2，3]
A　[设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝．
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2．
综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(七)　圆的标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、选择题
1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于(　　)
A．　 B．
C．　 D．
3．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为(　　)
A． 　 B．
C．　 D．
4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 　 B．4
C．3 　 D．2
5．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．半圆 　 B．圆
C．两个圆 　 D．两个半圆
二、填空题
6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．
7．在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．
三、解答题
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
10．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
11．点P(8，m)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　 B．在圆内
C．在圆上 　 D．与m取值有关
12．已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A．＋y2＝　 B．＋y2＝
C．＋y2＝ 　 D．＋y2＝
13．(多选题)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程时(　　)
A．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1，－1)
B．反射光线所在的直线方程是4x－3y＋1＝0
C．光线的最短路程为4
D．当光线的路程最短时，反射点的坐标为
14．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2－1＝2．则的最大值是________；最小值是________．
15．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2，6] 　 B．[4，8]
C．[，3] 　 D．[2，3]
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