北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.1圆的标准方程课件+学案+练习+答案

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北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.1圆的标准方程课件+学案+练习+答案

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第一章 直线与圆
§2 圆与圆的方程
2.1 圆的标准方程
学习任务 核心素养
1.掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程.(重点)
2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点)
3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点) 1.通过对圆的标准方程定义的学习,培养数学抽象素养.
2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.
1.在平面几何中,圆是如何定义的?
2.集合{P||OP|=1,O是坐标原点}所表示的几何图形是什么?
3.如何用方程表示:以坐标原点为圆心,半径为1的圆?
必备知识·情境导学探新知
[提示] 确定圆的几何要素有两个,即圆心的位置与半径的大小.
(x-a)2+(y-b)2=r2 
x2+y2=r2
判断方法
几何法 代数法
dd=r 点P在圆C上 __________________________ 点P在圆C上
d>r 点P在圆C外 __________________________ 点P在圆C外
(x0-a)2+( y0-b)2(x0-a)2+( y0-b)2=r2 
(x0-a)2+( y0-b)2>r2
×

1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (  )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (  )
(3)圆(x-1)2+y2=1的范围是0≤x≤2且-1≤y≤1. (  )
(4)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2的外部. (  )


2.圆(x-2)2+(y+3)2=13的圆心坐标是(  )
A.(2,3)       B.(-2,3)
C.(-2,-3)     D.(2,-3)

D [由(x-2)2+(y+3)2=13知圆心坐标为(2,-3).]
(7,+∞)
4.一圆过坐标原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,则圆的标准方程为______________________.
关键能力·合作探究释疑难
类型1 求圆的标准方程
【例1】 【链接教材P30例3】
求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
图1-27
反思领悟 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:
(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.
(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
[跟进训练]
1.求下列圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
[解] (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,
∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8),
又r=5,
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
类型2 点与圆的位置关系
【例2】 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.
又|OC|2=(5-2)2+(1-0)2=10∴C在圆内.
又|OD|2=(6-2)2+(-3-0)2=25=r2,
∴D在圆上.
又|OE|2=(-5-2)2+(1-0)2=50>r2,
∴E在圆外.
反思领悟 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法,主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小;对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:
(1)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内;
(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上;
(3)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.
[跟进训练]
2.(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是(  )
A.M在C外     B.M在C上
C.M在C内   D.与a的取值有关
(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为________.

(0,5) 
[思路点拨] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值.
2.本例条件不变,试求x+y的最值.
学习效果·课堂评估夯基础

A [根据圆的标准方程易知A正确.]
2.圆心在y轴上,半径为1且过点(-1,2)的圆的方程为(  )
A.x2+(y-3)2=1   B.x2+(y-2)2=1
C.(x-2)2+y2=1     D.(x+2)2+y2=1

B [设圆心(0,b),则x2+(y-b)2=1.又圆过点(-1,2),代入得b=2,
∴圆的方程为x2+(y-2)2=1.]
3.(教材P29例2(1)改编)圆心为(1,1)且过点(4,5)的圆的标准方程是_____________________.
(x-1)2+( y-1)2=25 
4.已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,求此圆的方程.
1.圆的特征与圆的标准方程的对应关系
圆的特征 圆的标准方程
圆心为原点(0,0) x2+y2=r2
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2
与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2
与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2
过坐标原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.
3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(七) 圆的标准方程
一、选择题
1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是(  )
A.x2+y2=25
B.x2+y2=5
C.(x-3)2+(y-4)2=25
D.(x+3)2+(y+4)2=25
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4.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )
A.6   B.4
C.3   D.2

B [由题意知,|PQ|的最小值即为圆心到直线x=-3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6-2=4,故选B.]
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二、填空题
6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为____________.
(x-2)2+y2=5 [(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.]
(x-2)2+y2=5
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7.在平面直角坐标系内,若曲线C:(x+a)2+(y-2a)2=4上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为_____________.
(-∞,-2)
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8.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,则△ABC面积的最小值为______.
1 [∵|AB|=2,∴当△ABC的高,即C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1,所以此时C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.]
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三、解答题
9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围.
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10.已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).
(1)求圆心所在的直线方程;
(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.
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11.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是(  )
A.在圆外   B.在圆内
C.在圆上   D.与m取值有关
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15§2 圆与圆的方程
2.1 圆的标准方程
学习任务 核心素养
1.掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程.(重点) 2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点) 3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点) 1.通过对圆的标准方程定义的学习,培养数学抽象素养. 2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.
1.在平面几何中,圆是如何定义的?
2.集合{P||OP|=1,O是坐标原点}所表示的几何图形是什么?
3.如何用方程表示:以坐标原点为圆心,半径为1的圆?
1.圆的标准方程
圆心为,半径是r的圆的方程为________________________.
特别地,当圆心在坐标原点时,圆的方程为__________.
确定圆的几何要素是什么?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2.圆x2+y2=r2的简单几何性质
(1)范围
≤r,≤r.
(2)对称性
圆x2+y2=r2既是轴对称图形,过原点的任意一条直线都是它的对称轴,又是中心对称图形,其对称中心是坐标原点.
3.点与圆的位置关系
圆的标准方程为C:(x-a)2+(y-b)2=r2,设所给点为点P=d,则
判断方法
几何法 代数法
d判断方法
d=r 点P在圆C上 __________________________ 点P在圆C上
d>r 点P在圆C外 __________________________ 点P在圆C外
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (  )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (  )
(3)圆(x-1)2+y2=1的范围是0≤x≤2且-1≤y≤1. (  )
(4)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2的外部. (  )
2.圆(x-2)2+(y+3)2=13的圆心坐标是(  )
A.(2,3)       B.(-2,3)
C.(-2,-3)     D.(2,-3)
3.若点(3,)在圆x2+y2=16的外部,则a的取值范围是________.
4.一圆过坐标原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,则圆的标准方程为________.
类型1 求圆的标准方程
【例1】 【链接教材P30例3】
求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:
(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.
(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
[跟进训练]
1.求下列圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
___________________________________________________________________
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类型2 点与圆的位置关系
【例2】 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.
[思路点拨] 线段AB的中点就是圆心,半径r=,从而写出直径为AB的圆的标准方程,再利用点到圆心距离与半径r相比较,从而判断出C、D、E与圆的位置关系.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法,主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小;对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:
(1)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内;
(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上;
(3)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.
[跟进训练]
2.(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是(  )
A.M在C外     B.M在C上
C.M在C内   D.与a的取值有关
(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为________.
类型3 与圆有关的最值问题
【例3】 已知x和y满足(x+1)2+y2=,试求x2+y2的最值.
[思路点拨] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值.
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
1.本例条件不变,试求的取值范围.
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2.本例条件不变,试求x+y的最值.
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3.本例条件不变,试求的最值.
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 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:
(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题;
(4)形如形式的最值问题,可转化为动点到定直线的距离的最值问题.
1.圆心(-1,1),半径为的圆的标准方程为(  )
A.(x+1)2+(y-1)2=2  
B.(x+1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=2
D.(x+1)2+(y-1)2=
2.圆心在y轴上,半径为1且过点(-1,2)的圆的方程为(  )
A.x2+(y-3)2=1   B.x2+(y-2)2=1
C.(x-2)2+y2=1     D.(x+2)2+y2=1
3.(教材P29例2(1)改编)圆心为(1,1)且过点(4,5)的圆的标准方程是________.
4.已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,求此圆的方程.
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1.圆的特征与圆的标准方程的对应关系
圆的特征 圆的标准方程
圆心为原点(0,0) x2+y2=r2
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2
与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2
与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2
过坐标原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.
3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(七)
1.C [r==5,故选C.]
2.B [由已知得,C(-4,3),则圆心C到直线4x+3y-1=0的距离d=.]
3.A [由(a-1)2+(a+2)2<2a2,得a<-.]
4.B [由题意知,|PQ|的最小值即为圆心到直线x=-3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6-2=4,故选B.]
5.D [由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆:当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.故选D.]
6.(x-2)2+y2=5 [(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.]
7.(-∞,-2) [由题意知圆心为(-a,2a),半径r=2,故由题意知解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).]
8.1 [∵|AB|=2,∴当△ABC的高,即C到AB的距离最小时,S△ABC最小,
又圆心为(2,2),半径为1,
所以此时C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.]
9.解:(1)因为点M(6,9)在圆N上,
所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,
又a>0,所以a=.
(2)因为|PN|=,
|QN|==3,
所以|PN|>|QN|,故点P在圆N外,点Q在圆N内,
所以3故实数a的取值范围是(3,).
10.解:(1)PQ的方程为x+y-1=0,PQ中点M,且kPQ=-1,所以圆心所在的直线方程为y-,即x-y=0.
(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=1,

所以圆C的方程为x2+y2=1或(x-1)2+(y-1)2=1.
11.A [因为d==r,所以点在圆外.]
12.C [法一:(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
把三点代入得
故所求圆的标准方程为x-2+y2=.
法二:(几何法)因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.
又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|=,所以圆E的标准方程为2+y2=.]
13.BCD [圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A'C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A'C|-r,
即-1=4,
此时,反射光线为直线A'C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A'C与x轴的交点,其坐标为.]
14. - [原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,
此时,解得k=±.
所以,最小值为-.]
15.A [设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,
所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2,dmin=2.
由已知条件可得|AB|=2,
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax=6,△ABP面积的最小值为|AB|·dmin=2.
综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§2 圆与圆的方程
2.1 圆的标准方程
学习任务 核心素养
1.掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程.(重点) 2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点) 3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点) 1.通过对圆的标准方程定义的学习,培养数学抽象素养. 2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.
1.在平面几何中,圆是如何定义的?
2.集合{P||OP|=1,O是坐标原点}所表示的几何图形是什么?
3.如何用方程表示:以坐标原点为圆心,半径为1的圆?
1.圆的标准方程
圆心为,半径是r的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
特别地,当圆心在坐标原点时,圆的方程为x2+y2=r2.
确定圆的几何要素是什么?
[提示] 确定圆的几何要素有两个,即圆心的位置与半径的大小.
2.圆x2+y2=r2的简单几何性质
(1)范围
≤r,≤r.
(2)对称性
圆x2+y2=r2既是轴对称图形,过原点的任意一条直线都是它的对称轴,又是中心对称图形,其对称中心是坐标原点.
3.点与圆的位置关系
圆的标准方程为C:(x-a)2+(y-b)2=r2,设所给点为点P=d,则
判断方法
几何法 代数法
d判断方法
d=r 点P在圆C上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点P在圆C上
d>r 点P在圆C外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点P在圆C外
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (  )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (  )
(3)圆(x-1)2+y2=1的范围是0≤x≤2且-1≤y≤1. (  )
(4)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2的外部. (  )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.圆(x-2)2+(y+3)2=13的圆心坐标是(  )
A.(2,3)       B.(-2,3)
C.(-2,-3)     D.(2,-3)
D [由(x-2)2+(y+3)2=13知圆心坐标为(2,-3).]
3.若点(3,)在圆x2+y2=16的外部,则a的取值范围是________.
(7,+∞) [∵(3,)在圆x2+y2=16的外部,
∴9+()2>16,∴a>7.]
4.一圆过坐标原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,则圆的标准方程为________.
+= [∵圆心在直线y=x+2上,∴设圆心坐标为(a,a+2),半径为r,
则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.
∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上,

解得
∴圆的标准方程是+=.]
类型1 求圆的标准方程
【例1】 【链接教材P30例3】
求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
[解] 法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由已知条件知
解此方程组,得
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
法二:由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),
kAB==-1,
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,
所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.
则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,
由得即圆心为(1,1),
圆的半径为=2,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
法三:∵所求圆的圆心在直线x+y-2=0上,
∴可设圆心C为(a,2-a).
由|CA|=|CB|,
∴=,
解得a=1,
∴圆心为(1,1),半径r=|CA|=2.
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
【教材原题·P30例3】
例3 求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.
解法1 设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上,可得方程组
①-②,得(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④
化简、整理,得 3a-b-5=0.⑤
联立③⑤解得 
代入①,得 r2=5.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5(如图1-27(1)).
图1-27
解法2 如图1-27(2),连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0.
联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组
解得即圆心C的坐标为(2,1).
又该圆经过点A,则r2=(1-2)2+(3-1)2=5,
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:
(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.
(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
[跟进训练]
1.求下列圆的标准方程:
(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
[解] (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,
∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8),
又r=5,
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
类型2 点与圆的位置关系
【例2】 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.
[思路点拨] 线段AB的中点就是圆心,半径r=,从而写出直径为AB的圆的标准方程,再利用点到圆心距离与半径r相比较,从而判断出C、D、E与圆的位置关系.
[解] 设圆心为O(x0,y0),半径为r,
由题意得解得
∴圆心O(2,0).
又r==5,
∴圆的方程为(x-2)2+y2=25.
又|OC|2=(5-2)2+(1-0)2=10∴C在圆内.
又|OD|2=(6-2)2+(-3-0)2=25=r2,
∴D在圆上.
又|OE|2=(-5-2)2+(1-0)2=50>r2,
∴E在圆外.
 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法,主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小;对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:
(1)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内;
(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上;
(3)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.
[跟进训练]
2.(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是(  )
A.M在C外     B.M在C上
C.M在C内   D.与a的取值有关
(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为________.
(1)A (2)(0,5) [(1)因为圆心C(1,0),|MC|==>1,
故选A.
(2)由于点P(-2,4)在圆的外部,
所以(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.
又方程表示圆,所以m>0.
因此实数m的取值范围是0<m<5.]
类型3 与圆有关的最值问题
【例3】 已知x和y满足(x+1)2+y2=,试求x2+y2的最值.
[思路点拨] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值.
[解] 由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.
因为原点O(0,0)到圆心C(-1,0)的距离d=1,
所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1+=,最小距离为1-=.
因此x2+y2的最大值和最小值分别为和.
[母题探究]
1.本例条件不变,试求的取值范围.
[解] 设k=变形为k=此式表示圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率,由k=可得y=kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离dr,即
解得-.
即.
2.本例条件不变,试求x+y的最值.
[解] 令y+x=b并将其变形为y=-x+b,问题转化为斜率为-1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时,在y轴上的截距取得最大值和最小值,此时有解得b=±-1,即最大值为-1,最小值为--1.
3.本例条件不变,试求的最值.
[解] 表示圆(x+1)2+y2=上的点到直线x+2y-6=0的距离,
又圆心C(-1,0)到直线x+2y-6=0的距离d=
所以,其最大值为最小值为.
 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:
(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题;
(4)形如形式的最值问题,可转化为动点到定直线的距离的最值问题.
1.圆心(-1,1),半径为的圆的标准方程为(  )
A.(x+1)2+(y-1)2=2  
B.(x+1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=2
D.(x+1)2+(y-1)2=
A [根据圆的标准方程易知A正确.]
2.圆心在y轴上,半径为1且过点(-1,2)的圆的方程为(  )
A.x2+(y-3)2=1   B.x2+(y-2)2=1
C.(x-2)2+y2=1     D.(x+2)2+y2=1
B [设圆心(0,b),则x2+(y-b)2=1.又圆过点(-1,2),代入得b=2,
∴圆的方程为x2+(y-2)2=1.]
3.(教材P29例2(1)改编)圆心为(1,1)且过点(4,5)的圆的标准方程是________.
(x-1)2+(y-1)2=25 [半径r==5,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=25.]
4.已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,求此圆的方程.
[解] 法一:直线AB的斜率为k==-,
可知AB垂直平分线m的斜率为2.
AB中点的横坐标和纵坐标分别为x==1,
y==2,
因此m的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
又圆心在直线3x-y-2=0上,所以圆心在这两条直线的交点上,
联立方程解得
所以圆心坐标为C(2,4).
又半径r=|CA|=,
则所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.
法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题意,
即解得
所以所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.
1.圆的特征与圆的标准方程的对应关系
圆的特征 圆的标准方程
圆心为原点(0,0) x2+y2=r2
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2
与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2
与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2
过坐标原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.
3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题.
课时分层作业(七) 圆的标准方程
一、选择题
1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是(  )
A.x2+y2=25
B.x2+y2=5
C.(x-3)2+(y-4)2=25
D.(x+3)2+(y+4)2=25
C [r==5,故选C.]
2.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于(  )
A.  B.
C.  D.
B [由已知得,C(-4,3),则圆心C到直线4x+3y-1=0的距离d==.]
3.点(a,a)在圆(x-1)2+(y+2)2=2a2的内部,则a的取值范围为(  )
A.   B.
C.  D.
A [由(a-1)2+(a+2)2<2a2,得a<-.]
4.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )
A.6   B.4
C.3   D.2
B [由题意知,|PQ|的最小值即为圆心到直线x=-3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6-2=4,故选B.]
5.方程|y|-1=表示的曲线是(  )
A.半圆   B.圆
C.两个圆   D.两个半圆
D [由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.故选D.]
二、填空题
6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________.
(x-2)2+y2=5 [(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.]
7.在平面直角坐标系内,若曲线C:(x+a)2+(y-2a)2=4上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________.
(-∞,-2) [由题意知圆心为(-a,2a),半径r=2,故由题意知解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).]
8.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,则△ABC面积的最小值为________.
1 [∵|AB|=2,∴当△ABC的高,即C到AB的距离最小时,S△ABC最小,
又圆心为(2,2),半径为1,所以此时C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.]
三、解答题
9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围.
[解] (1)因为点M(6,9)在圆N上,
所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,
又a>0,所以a=.
(2)因为|PN|==,
|QN|==3,
所以|PN|>|QN|,故点P在圆N外,点Q在圆N内,
所以3故实数a的取值范围是(3,).
10.已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).
(1)求圆心所在的直线方程;
(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.
[解] (1)PQ的方程为x+y-1=0,PQ中点M,且kPQ=-1,
所以圆心所在的直线方程为y-=1×,即x-y=0.
(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=1,
则解得或
所以圆C的方程为x2+y2=1或(x-1)2+(y-1)2=1.
11.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是(  )
A.在圆外   B.在圆内
C.在圆上   D.与m取值有关
A [因为d==>=r,所以点在圆外.]
12.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(  )
A.+y2=  B.+y2=
C.+y2=   D.+y2=
C [法一:(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
把三点代入得
解得
故所求圆的标准方程为+y2=.
法二:(几何法)因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.
又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|==,所以圆E的标准方程为+y2=.]
13.(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时(  )
A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1,-1)
B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0
C.光线的最短路程为4
D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为
BCD [圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A′C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A′C|-r,
即-1=4,
此时,反射光线为直线A′C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A′C与x轴的交点,其坐标为.]
14.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2-1=2.则的最大值是________;最小值是________.
 - [原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,
此时=,解得k=±.
所以的最大值为,最小值为-.]
15.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )
A.[2,6]   B.[4,8]
C.[,3]   D.[2,3]
A [设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,
所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.
由已知条件可得|AB|=2,
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax=6,△ABP面积的最小值为|AB|·dmin=2.
综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(七) 圆的标准方程
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共94分
一、选择题
1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是(  )
A.x2+y2=25
B.x2+y2=5
C.(x-3)2+(y-4)2=25
D.(x+3)2+(y+4)2=25
2.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于(  )
A.  B.
C.  D.
3.点(a,a)在圆(x-1)2+(y+2)2=2a2的内部,则a的取值范围为(  )
A.   B.
C.  D.
4.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  )
A.6   B.4
C.3   D.2
5.方程|y|-1=表示的曲线是(  )
A.半圆   B.圆
C.两个圆   D.两个半圆
二、填空题
6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________.
7.在平面直角坐标系内,若曲线C:(x+a)2+(y-2a)2=4上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________.
8.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,则△ABC面积的最小值为________.
三、解答题
9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围.
10.已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).
(1)求圆心所在的直线方程;
(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.
11.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是(  )
A.在圆外   B.在圆内
C.在圆上   D.与m取值有关
12.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(  )
A.+y2=  B.+y2=
C.+y2=   D.+y2=
13.(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时(  )
A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1,-1)
B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0
C.光线的最短路程为4
D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为
14.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2-1=2.则的最大值是________;最小值是________.
15.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )
A.[2,6]   B.[4,8]
C.[,3]   D.[2,3]
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