资源简介 (共63张PPT)第一章 直线与圆§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程学习任务 核心素养1.掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程.(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点) 1.通过对圆的标准方程定义的学习,培养数学抽象素养.2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.1.在平面几何中,圆是如何定义的?2.集合{P||OP|=1,O是坐标原点}所表示的几何图形是什么?3.如何用方程表示:以坐标原点为圆心,半径为1的圆?必备知识·情境导学探新知[提示] 确定圆的几何要素有两个,即圆心的位置与半径的大小.(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2判断方法几何法 代数法dd=r 点P在圆C上 __________________________ 点P在圆C上d>r 点P在圆C外 __________________________ 点P在圆C外(x0-a)2+( y0-b)2(x0-a)2+( y0-b)2=r2 (x0-a)2+( y0-b)2>r2×√1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. ( )(3)圆(x-1)2+y2=1的范围是0≤x≤2且-1≤y≤1. ( )(4)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2的外部. ( )√√2.圆(x-2)2+(y+3)2=13的圆心坐标是( )A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)√D [由(x-2)2+(y+3)2=13知圆心坐标为(2,-3).](7,+∞)4.一圆过坐标原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,则圆的标准方程为______________________.关键能力·合作探究释疑难类型1 求圆的标准方程【例1】 【链接教材P30例3】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.图1-27反思领悟 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解—解方程组,求出a,b,r;④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.[跟进训练]1.求下列圆的标准方程:(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).[解] (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8),又r=5,∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.类型2 点与圆的位置关系【例2】 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.又|OC|2=(5-2)2+(1-0)2=10∴C在圆内.又|OD|2=(6-2)2+(-3-0)2=25=r2,∴D在圆上.又|OE|2=(-5-2)2+(1-0)2=50>r2,∴E在圆外.反思领悟 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法,主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小;对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:(1)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内;(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上;(3)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.[跟进训练]2.(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是( )A.M在C外 B.M在C上C.M在C内 D.与a的取值有关(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为________.√(0,5) [思路点拨] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值.2.本例条件不变,试求x+y的最值.学习效果·课堂评估夯基础√A [根据圆的标准方程易知A正确.]2.圆心在y轴上,半径为1且过点(-1,2)的圆的方程为( )A.x2+(y-3)2=1 B.x2+(y-2)2=1C.(x-2)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=1√B [设圆心(0,b),则x2+(y-b)2=1.又圆过点(-1,2),代入得b=2,∴圆的方程为x2+(y-2)2=1.]3.(教材P29例2(1)改编)圆心为(1,1)且过点(4,5)的圆的标准方程是_____________________.(x-1)2+( y-1)2=25 4.已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,求此圆的方程.1.圆的特征与圆的标准方程的对应关系圆的特征 圆的标准方程圆心为原点(0,0) x2+y2=r2圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2过坐标原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b22.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(七) 圆的标准方程一、选择题1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A.x2+y2=25B.x2+y2=5C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y+4)2=25题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号2134568791011121314154.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6 B.4C.3 D.2√B [由题意知,|PQ|的最小值即为圆心到直线x=-3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6-2=4,故选B.]题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415二、填空题6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为____________.(x-2)2+y2=5 [(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.](x-2)2+y2=5题号2134568791011121314157.在平面直角坐标系内,若曲线C:(x+a)2+(y-2a)2=4上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为_____________.(-∞,-2)题号2134568791011121314158.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,则△ABC面积的最小值为______.1 [∵|AB|=2,∴当△ABC的高,即C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1,所以此时C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.]1 题号213456879101112131415三、解答题9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围.题号213456879101112131415题号21345687910111213141510.已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).(1)求圆心所在的直线方程;(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.题号213456879101112131415√题号21345687910111213141511.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.与m取值有关题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√√√题号213456879101112131415题号213456879101112131415 题号213456879101112131415√题号213456879101112131415§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程学习任务 核心素养1.掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程.(重点) 2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点) 3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点) 1.通过对圆的标准方程定义的学习,培养数学抽象素养. 2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.1.在平面几何中,圆是如何定义的?2.集合{P||OP|=1,O是坐标原点}所表示的几何图形是什么?3.如何用方程表示:以坐标原点为圆心,半径为1的圆?1.圆的标准方程圆心为,半径是r的圆的方程为________________________.特别地,当圆心在坐标原点时,圆的方程为__________.确定圆的几何要素是什么?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.圆x2+y2=r2的简单几何性质(1)范围≤r,≤r.(2)对称性圆x2+y2=r2既是轴对称图形,过原点的任意一条直线都是它的对称轴,又是中心对称图形,其对称中心是坐标原点.3.点与圆的位置关系圆的标准方程为C:(x-a)2+(y-b)2=r2,设所给点为点P=d,则判断方法几何法 代数法d判断方法d=r 点P在圆C上 __________________________ 点P在圆C上d>r 点P在圆C外 __________________________ 点P在圆C外1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. ( )(3)圆(x-1)2+y2=1的范围是0≤x≤2且-1≤y≤1. ( )(4)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2的外部. ( )2.圆(x-2)2+(y+3)2=13的圆心坐标是( )A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)3.若点(3,)在圆x2+y2=16的外部,则a的取值范围是________.4.一圆过坐标原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,则圆的标准方程为________.类型1 求圆的标准方程【例1】 【链接教材P30例3】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解—解方程组,求出a,b,r;④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.[跟进训练]1.求下列圆的标准方程:(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4)._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2 点与圆的位置关系【例2】 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.[思路点拨] 线段AB的中点就是圆心,半径r=,从而写出直径为AB的圆的标准方程,再利用点到圆心距离与半径r相比较,从而判断出C、D、E与圆的位置关系.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法,主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小;对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:(1)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内;(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上;(3)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.[跟进训练]2.(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是( )A.M在C外 B.M在C上C.M在C内 D.与a的取值有关(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为________.类型3 与圆有关的最值问题【例3】 已知x和y满足(x+1)2+y2=,试求x2+y2的最值.[思路点拨] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]1.本例条件不变,试求的取值范围._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.本例条件不变,试求x+y的最值._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3.本例条件不变,试求的最值._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题;(4)形如形式的最值问题,可转化为动点到定直线的距离的最值问题.1.圆心(-1,1),半径为的圆的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y-1)2=2.圆心在y轴上,半径为1且过点(-1,2)的圆的方程为( )A.x2+(y-3)2=1 B.x2+(y-2)2=1C.(x-2)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=13.(教材P29例2(1)改编)圆心为(1,1)且过点(4,5)的圆的标准方程是________.4.已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,求此圆的方程._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.圆的特征与圆的标准方程的对应关系圆的特征 圆的标准方程圆心为原点(0,0) x2+y2=r2圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2过坐标原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b22.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(七)1.C [r==5,故选C.]2.B [由已知得,C(-4,3),则圆心C到直线4x+3y-1=0的距离d=.]3.A [由(a-1)2+(a+2)2<2a2,得a<-.]4.B [由题意知,|PQ|的最小值即为圆心到直线x=-3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6-2=4,故选B.]5.D [由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆:当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.故选D.]6.(x-2)2+y2=5 [(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.]7.(-∞,-2) [由题意知圆心为(-a,2a),半径r=2,故由题意知解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).]8.1 [∵|AB|=2,∴当△ABC的高,即C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1,所以此时C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.]9.解:(1)因为点M(6,9)在圆N上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,又a>0,所以a=.(2)因为|PN|=,|QN|==3,所以|PN|>|QN|,故点P在圆N外,点Q在圆N内,所以3故实数a的取值范围是(3,).10.解:(1)PQ的方程为x+y-1=0,PQ中点M,且kPQ=-1,所以圆心所在的直线方程为y-,即x-y=0.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则所以圆C的方程为x2+y2=1或(x-1)2+(y-1)2=1.11.A [因为d==r,所以点在圆外.]12.C [法一:(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.把三点代入得故所求圆的标准方程为x-2+y2=.法二:(几何法)因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|=,所以圆E的标准方程为2+y2=.]13.BCD [圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A'C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A'C|-r,即-1=4,此时,反射光线为直线A'C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A'C与x轴的交点,其坐标为.]14. - [原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时,解得k=±.所以,最小值为-.]15.A [设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2,dmin=2.由已知条件可得|AB|=2,所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax=6,△ABP面积的最小值为|AB|·dmin=2.综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程学习任务 核心素养1.掌握圆的标准方程,会根据不同条件求圆的标准方程.(重点) 2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点) 3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点) 1.通过对圆的标准方程定义的学习,培养数学抽象素养. 2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用,培养直观想象与数学运算素养.1.在平面几何中,圆是如何定义的?2.集合{P||OP|=1,O是坐标原点}所表示的几何图形是什么?3.如何用方程表示:以坐标原点为圆心,半径为1的圆?1.圆的标准方程圆心为,半径是r的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地,当圆心在坐标原点时,圆的方程为x2+y2=r2.确定圆的几何要素是什么?[提示] 确定圆的几何要素有两个,即圆心的位置与半径的大小.2.圆x2+y2=r2的简单几何性质(1)范围≤r,≤r.(2)对称性圆x2+y2=r2既是轴对称图形,过原点的任意一条直线都是它的对称轴,又是中心对称图形,其对称中心是坐标原点.3.点与圆的位置关系圆的标准方程为C:(x-a)2+(y-b)2=r2,设所给点为点P=d,则判断方法几何法 代数法d判断方法d=r 点P在圆C上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点P在圆C上d>r 点P在圆C外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点P在圆C外1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. ( )(3)圆(x-1)2+y2=1的范围是0≤x≤2且-1≤y≤1. ( )(4)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2的外部. ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2.圆(x-2)2+(y+3)2=13的圆心坐标是( )A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)D [由(x-2)2+(y+3)2=13知圆心坐标为(2,-3).]3.若点(3,)在圆x2+y2=16的外部,则a的取值范围是________.(7,+∞) [∵(3,)在圆x2+y2=16的外部,∴9+()2>16,∴a>7.]4.一圆过坐标原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,则圆的标准方程为________.+= [∵圆心在直线y=x+2上,∴设圆心坐标为(a,a+2),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上,∴解得∴圆的标准方程是+=.]类型1 求圆的标准方程【例1】 【链接教材P30例3】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.[解] 法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知条件知解此方程组,得故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.法二:由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点,由得即圆心为(1,1),圆的半径为=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.法三:∵所求圆的圆心在直线x+y-2=0上,∴可设圆心C为(a,2-a).由|CA|=|CB|,∴=,解得a=1,∴圆心为(1,1),半径r=|CA|=2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.【教材原题·P30例3】例3 求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.解法1 设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上,可得方程组①-②,得(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④化简、整理,得 3a-b-5=0.⑤联立③⑤解得 代入①,得 r2=5.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5(如图1-27(1)).图1-27解法2 如图1-27(2),连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0.联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组解得即圆心C的坐标为(2,1).又该圆经过点A,则r2=(1-2)2+(3-1)2=5,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解—解方程组,求出a,b,r;④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.[跟进训练]1.求下列圆的标准方程:(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).[解] (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8),又r=5,∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.类型2 点与圆的位置关系【例2】 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.[思路点拨] 线段AB的中点就是圆心,半径r=,从而写出直径为AB的圆的标准方程,再利用点到圆心距离与半径r相比较,从而判断出C、D、E与圆的位置关系.[解] 设圆心为O(x0,y0),半径为r,由题意得解得∴圆心O(2,0).又r==5,∴圆的方程为(x-2)2+y2=25.又|OC|2=(5-2)2+(1-0)2=10∴C在圆内.又|OD|2=(6-2)2+(-3-0)2=25=r2,∴D在圆上.又|OE|2=(-5-2)2+(1-0)2=50>r2,∴E在圆外. 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法,主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小;对于代数法,主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程,具体判断方法如下:(1)当(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点在圆内;(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点在圆上;(3)当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点在圆外.[跟进训练]2.(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是( )A.M在C外 B.M在C上C.M在C内 D.与a的取值有关(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为________.(1)A (2)(0,5) [(1)因为圆心C(1,0),|MC|==>1,故选A.(2)由于点P(-2,4)在圆的外部,所以(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程表示圆,所以m>0.因此实数m的取值范围是0<m<5.]类型3 与圆有关的最值问题【例3】 已知x和y满足(x+1)2+y2=,试求x2+y2的最值.[思路点拨] 首先观察x、y满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值.[解] 由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.因为原点O(0,0)到圆心C(-1,0)的距离d=1,所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1+=,最小距离为1-=.因此x2+y2的最大值和最小值分别为和.[母题探究]1.本例条件不变,试求的取值范围.[解] 设k=变形为k=此式表示圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率,由k=可得y=kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离dr,即解得-.即.2.本例条件不变,试求x+y的最值.[解] 令y+x=b并将其变形为y=-x+b,问题转化为斜率为-1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时,在y轴上的截距取得最大值和最小值,此时有解得b=±-1,即最大值为-1,最小值为--1.3.本例条件不变,试求的最值.[解] 表示圆(x+1)2+y2=上的点到直线x+2y-6=0的距离,又圆心C(-1,0)到直线x+2y-6=0的距离d=所以,其最大值为最小值为. 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题;(4)形如形式的最值问题,可转化为动点到定直线的距离的最值问题.1.圆心(-1,1),半径为的圆的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y-1)2=A [根据圆的标准方程易知A正确.]2.圆心在y轴上,半径为1且过点(-1,2)的圆的方程为( )A.x2+(y-3)2=1 B.x2+(y-2)2=1C.(x-2)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=1B [设圆心(0,b),则x2+(y-b)2=1.又圆过点(-1,2),代入得b=2,∴圆的方程为x2+(y-2)2=1.]3.(教材P29例2(1)改编)圆心为(1,1)且过点(4,5)的圆的标准方程是________.(x-1)2+(y-1)2=25 [半径r==5,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=25.]4.已知圆过两点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,求此圆的方程.[解] 法一:直线AB的斜率为k==-,可知AB垂直平分线m的斜率为2.AB中点的横坐标和纵坐标分别为x==1,y==2,因此m的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.又圆心在直线3x-y-2=0上,所以圆心在这两条直线的交点上,联立方程解得所以圆心坐标为C(2,4).又半径r=|CA|=,则所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题意,即解得所以所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10.1.圆的特征与圆的标准方程的对应关系圆的特征 圆的标准方程圆心为原点(0,0) x2+y2=r2圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2过坐标原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b22.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷.3.与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题.课时分层作业(七) 圆的标准方程一、选择题1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A.x2+y2=25B.x2+y2=5C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y+4)2=25C [r==5,故选C.]2.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于( )A. B.C. D.B [由已知得,C(-4,3),则圆心C到直线4x+3y-1=0的距离d==.]3.点(a,a)在圆(x-1)2+(y+2)2=2a2的内部,则a的取值范围为( )A. B.C. D.A [由(a-1)2+(a+2)2<2a2,得a<-.]4.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6 B.4C.3 D.2B [由题意知,|PQ|的最小值即为圆心到直线x=-3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6-2=4,故选B.]5.方程|y|-1=表示的曲线是( )A.半圆 B.圆C.两个圆 D.两个半圆D [由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.故选D.]二、填空题6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________.(x-2)2+y2=5 [(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.]7.在平面直角坐标系内,若曲线C:(x+a)2+(y-2a)2=4上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________.(-∞,-2) [由题意知圆心为(-a,2a),半径r=2,故由题意知解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).]8.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,则△ABC面积的最小值为________.1 [∵|AB|=2,∴当△ABC的高,即C到AB的距离最小时,S△ABC最小,又圆心为(2,2),半径为1,所以此时C的坐标为(2,1),S△ABC的最小值为1.]三、解答题9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围.[解] (1)因为点M(6,9)在圆N上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,又a>0,所以a=.(2)因为|PN|==,|QN|==3,所以|PN|>|QN|,故点P在圆N外,点Q在圆N内,所以3故实数a的取值范围是(3,).10.已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).(1)求圆心所在的直线方程;(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.[解] (1)PQ的方程为x+y-1=0,PQ中点M,且kPQ=-1,所以圆心所在的直线方程为y-=1×,即x-y=0.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则解得或所以圆C的方程为x2+y2=1或(x-1)2+(y-1)2=1.11.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.与m取值有关A [因为d==>=r,所以点在圆外.]12.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )A.+y2= B.+y2=C.+y2= D.+y2=C [法一:(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.把三点代入得解得故所求圆的标准方程为+y2=.法二:(几何法)因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|==,所以圆E的标准方程为+y2=.]13.(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时( )A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1,-1)B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0C.光线的最短路程为4D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为BCD [圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A′C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A′C|-r,即-1=4,此时,反射光线为直线A′C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A′C与x轴的交点,其坐标为.]14.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2-1=2.则的最大值是________;最小值是________. - [原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±.所以的最大值为,最小值为-.]15.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )A.[2,6] B.[4,8]C.[,3] D.[2,3]A [设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知条件可得|AB|=2,所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax=6,△ABP面积的最小值为|AB|·dmin=2.综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(七) 圆的标准方程说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共94分一、选择题1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A.x2+y2=25B.x2+y2=5C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y+4)2=252.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于( )A. B.C. D.3.点(a,a)在圆(x-1)2+(y+2)2=2a2的内部,则a的取值范围为( )A. B.C. D.4.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6 B.4C.3 D.25.方程|y|-1=表示的曲线是( )A.半圆 B.圆C.两个圆 D.两个半圆二、填空题6.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________.7.在平面直角坐标系内,若曲线C:(x+a)2+(y-2a)2=4上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________.8.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,则△ABC面积的最小值为________.三、解答题9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围.10.已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).(1)求圆心所在的直线方程;(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.11.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.与m取值有关12.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )A.+y2= B.+y2=C.+y2= D.+y2=13.(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时( )A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1,-1)B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0C.光线的最短路程为4D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为14.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2-1=2.则的最大值是________;最小值是________.15.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )A.[2,6] B.[4,8]C.[,3] D.[2,3]21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.1圆的标准方程学案(学生用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.1圆的标准方程学案(教师用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.1圆的标准方程课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业7圆的标准方程(学生用).docx 课时分层作业7答案.docx