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2.3　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点) 2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点) 3．会求圆的弦长及切线方程等问题．(重点) 1．通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象素养． 2．通过求圆的弦长及切线方程等问题，提升数学运算素养．
1．直线与圆有哪几种位置关系？
2．在平面几何中，直线与圆的位置关系是如何判定的？
3．如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示]　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点． (　　)
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心． (　　)
(3)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
x2＋y2＝2　[设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)，由＝a，得a＝．∴x2＋y2＝2．]
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，则直线l的方程为________．
x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0　[将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，所以圆心的坐标是(0，－2)，半径长r＝5．
因为直线被圆截得的弦长为4，
所以弦心距为＝，
设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．
由弦心距为，得＝，解得k＝－或k＝2，所以所求直线有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．]
类型1　直线与圆位置关系的判断
【例1】　已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
[解]　法一：将直线代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－法二：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(2，1)，半径r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝．
当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－　判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断．
上述方法中，最常用的是几何法．
[跟进训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是(　　)
A．相交　 B．相离
C．相交或相切 　 D．相切
A　[法一：直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆x2＋y2＝2内，故直线与圆相交，故选A．
法二：因为圆心到直线的距离d＝<＝r，所以直线与圆相交，故选A．
法三：由直线方程与圆的方程消去x得，y2－2ky－1＝0，所以Δ＝4k2＋4＝8k2＋4>0，所以直线与圆相交，故选A．]
类型2　直线与圆相切问题
【例2】　(1)过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程是________．
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1　 B．2　　
C．　 D．3
(1)x＝2或y＝3　(2)C　[(1)易知点P(2，3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3．
(2)由题意得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝．]
　过圆外一点作圆的切线一定有两条．其求法有两种：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．
提醒：设直线的方程时，要检验直线x＝x0是否是圆的切线．
[跟进训练]
2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)
A．－3或7 　 B．－2或8
C．0或10 　 D．1或11
A　[直线y＝2x＋λ沿x轴向左平移1个单位后，所得直线方程为y＝2(x＋1)＋λ，化简得2x－y＋(λ＋2)＝0，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，根据圆心到直线距离等于半径，解得λ＝－3或λ＝7．]
3．求过点M(3，1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程．
[解]　∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0．
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝．
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0．
∴与圆C相切的直线方程为x＝3或3x－4y－5＝0．
类型3　弦长问题
【例3】　【链接教材P36例8】
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
[思路点拨]　本题可以利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解；也可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．
[解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝．
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，弦长l＝2＝，所以截得的弦长为．
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝．
[母题探究]
1．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
[解]　由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为，
所以圆心到直线的距离d＝＝＝．
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在．
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0．
2．若本例改为“求过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
[解]　由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5．
因为12＋(2－1)2<5，故点M(1，2)在圆内．
则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1，
所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)，
所以直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
3．若本例改为“已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，求a的值”，又如何求解？
[解]　因为圆的半径是r＝2，圆心坐标是C(3，－)，∠MPN＝，且P在圆C上，
所以∠MCN＝，则|MN|＝2．
又点C到直线l的距离d＝＝＋d2＝r2，
所以()2＋＝4，解得a＝4或8．
【教材原题·P36例8】
例8　已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
[解]　(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图1－33(1))．
图1－33
(2)因为圆心P到直线m的距离d＝＝1＜，所以直线m与圆P相交．
设交点为A，B，圆P的半径为r(如图1－33(2))，易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边
AB上的高为圆心P到直线m的距离d．所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2．
故直线m被圆P截得的弦长为2．
　求弦长的两种方法
(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交且过圆心　　　　 B．相切
C．相离 　 D．相交但不过圆心
D　[圆心为(1，－1)，r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，所以02．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　)
A．±1 　 B．±
C．± 　 D．±
C　[设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0．
又l与圆相切，∴＝1．∴k＝±．]
3．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 　 B．
C． 　 D．
B　[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．故选B．]
4．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞)　[圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0，1)，半径r＝，圆心(0，1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝，依题意，>，解得a<－1或a>3．]
5．求直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长．
[解]　圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25．故圆心为(3，4)，半径r＝5．
又直线方程为2x－y＋3＝0，
所以圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2×＝2＝4．
1．判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
课时分层作业(九)　直线与圆的位置关系
一、选择题
1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A．－2　　　 B．－4　
C．－6　　　 D．－8
B　[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．]
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．1
C　[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．]
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 　 B．20
C．30 　 D．40
B　[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1．根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×10×4＝20．]
4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆＋＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　)
A．± 　 B．±
C．1或7 　 D．4±
D　[因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆的方程可得C，所以＝，解得a＝4±．]
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
A　[设圆心C(a，b)，半径r＝1，由于圆心在第一象限，且与x轴相切，则b＝r＝1，则C(a，1)，圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝＝r＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)，则该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1．]
二、填空题
6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是________．
x2＋y2－10y＝0　[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，所以a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]
7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5　[∵圆心为O(0，0)，
又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆，其直径d＝|OP|＝2，∴半径r＝．
而圆心为(2，1)，
∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．]
8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2，
∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，
∴<<3，∴k的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
三、解答题
9．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
[解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝＝＝3．
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，
所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，
于是＝3，解得k＝－．
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0．
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0．
10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．
(1)m∈R时，证明：l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，
又kPC＝＝3，所以直线l的斜率为－，则2m＝－，所以m＝－．
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5．
所以|AB|＝2＝2．
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2．
11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　 B．4
C．1＋3　　 D．7
C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条　　　 B．2条　
C．3条　　　 D．4条
C　[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．]
13．(多选题)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．
对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD．]
14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则
(1)a的取值范围是________；
(2)直线l的方程为________．
(1)a<3　(2)x－y＋5＝0　[(1)依题意得，点C在圆内，所以＋32＋2×－4×3＋a<0，解得a<3．
(2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．]
15．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0，4]变化时，求m的取值范围．
[解]　(1)已知圆的标准方程是
(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2．
直线l的方程化为x－y＋4＝0，
则圆心C到直线l的距离是＝|2－a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系，得
L＝2
＝2＝2．
∵0∴当a＝3时，L的最大值为2．
(2)∵直线l与圆C相切，
则有＝2，
即|m－2a|＝2．
∵点C在直线l的上方，
∴a>－a＋m，
即2a>m，
∴2a－m＝2，
∴m＝(－1)2－1．
∵0∴0<≤2，
∴m∈[－1，8－4]．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点) 2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点) 3．会求圆的弦长及切线方程等问题．(重点) 1．通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象素养． 2．通过求圆的弦长及切线方程等问题，提升数学运算素养．
1．直线与圆有哪几种位置关系？
2．在平面几何中，直线与圆的位置关系是如何判定的？
3．如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点． (　　)
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心． (　　)
(3)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． (　　)
2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，则直线l的方程为________．
类型1　直线与圆位置关系的判断
【例1】　已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断．
上述方法中，最常用的是几何法．
[跟进训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是(　　)
A．相交　 B．相离
C．相交或相切 　 D．相切
类型2　直线与圆相切问题
【例2】　(1)过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程是________．
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1　 B．2　　
C．　 D．3
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　过圆外一点作圆的切线一定有两条．其求法有两种：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．
提醒：设直线的方程时，要检验直线x＝x0是否是圆的切线．
[跟进训练]
2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)
A．－3或7 　 B．－2或8
C．0或10 　 D．1或11
3．求过点M(3，1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3　弦长问题
【例3】　【链接教材P36例8】
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
[思路点拨]　本题可以利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解；也可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
[母题探究]
1．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．若本例改为“求过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
___________________________________________________________________
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___________________________________________________________________
3．若本例改为“已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，求a的值”，又如何求解？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　求弦长的两种方法
(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交且过圆心　　　　 B．相切
C．相离 　 D．相交但不过圆心
2．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　)
A．±1 　 B．±
C．± 　 D．±
3．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 　 B．
C． 　 D．
4．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________．
5．求直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共62张PPT)
第一章　直线与圆
§2　圆与圆的方程
2.3　直线与圆的位置关系
学习任务 核心素养
1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点)
2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点)
3．会求圆的弦长及切线方程等问题．(重点) 1．通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象素养．
2．通过求圆的弦长及切线方程等问题，提升数学运算素养．
1．直线与圆有哪几种位置关系？
2．在平面几何中，直线与圆的位置关系是如何判定的？
3．如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？
必备知识·情境导学探新知
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判断
方法 d__r d__r d__r
Δ__0 Δ__0 Δ__0
<　
＝　
>　
>　
＝　
<
思考　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示]　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点． (　　)
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心． (　　)
(3)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． (　　)
√
√
2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为__________．
√
x2＋y2＝2
x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直线与圆位置关系的判断
【例1】　已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
反思领悟　判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断．
上述方法中，最常用的是几何法．
[跟进训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是(　　)
A．相交　
B．相离
C．相交或相切 　
D．相切
√
√
x＝2或 y＝3　
反思领悟　过圆外一点作圆的切线一定有两条．其求法有两种：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．
提醒：设直线的方程时，要检验直线x＝x0是否是圆的切线．
[跟进训练]
2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)
A．－3或7 　 B．－2或8
C．0或10 　 D．1或11
√
A　[直线y＝2x＋λ沿x轴向左平移1个单位后，所得直线方程为y＝2(x＋1)＋λ，化简得2x－y＋(λ＋2)＝0，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，根据圆心到直线距离等于半径，解得λ＝－3或λ＝7．]
3．求过点M(3，1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程．
类型3　弦长问题
【例3】　【链接教材P36例8】
求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
[思路点拨]　本题可以利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解；也可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．
2．若本例改为“求过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
[解]　由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5．
因为12＋(2－1)2<5，故点M(1，2)在圆内．
则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1，
所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)，
所以直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
【教材原题·P36例8】
例8　已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
图1－33
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相交且过圆心　 B．相切
C．相离 　 D．相交但不过圆心
√
√
4．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是_______________________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．求直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长．
1．判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(九)　直线与圆的位置关系
一、选择题
1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A．－2　　　 B．－4　
C．－6　　　 D．－8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．1
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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12
13
14
15
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题号
2
1
3
4
5
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8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
14
15
题号
2
1
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4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是_______________．
x2＋y2－10y＝0　[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，所以a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]
x2＋y2－10y＝0　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是__________________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
∪(2，＋∞)
题号
2
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4
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11
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13
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题号
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5
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15
题号
2
1
3
4
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6
8
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15
10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．
(1)m∈R时，证明：l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，
当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB
的长度最短．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
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15
题号
2
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3
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5
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√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
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13
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15
题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
14
15
12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条　　　 B．2条　
C．3条　　　 D．4条
√
题号
2
1
3
4
5
6
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7
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题号
2
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15
13．(多选题)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
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15
题号
2
1
3
4
5
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12
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14
15
14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则
(1)a的取值范围是________；
(2)直线l的方程为_____________．
a<3　
x－y＋5＝0　
题号
2
1
3
4
5
6
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题号
2
1
3
4
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15
15．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0，4]变化时，求m的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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题号
2
1
3
4
5
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9
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13
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15
题号
2
1
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6
8
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9
10
11
12
13
14
15课时分层作业(九)　直线与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A．－2　　　 B．－4　
C．－6　　　 D．－8
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．1
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 　 B．20
C．30 　 D．40
4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆＋＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　)
A．± 　 B．±
C．1或7 　 D．4±
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
二、填空题
6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是________．
7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是________．
8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是________．
三、解答题
9．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．
(1)m∈R时，证明：l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　 B．4
C．1＋3　　 D．7
12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)
A．1条　　　 B．2条　
C．3条　　　 D．4条
13．(多选题)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则
(1)a的取值范围是________；
(2)直线l的方程为________．
15．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0，4]变化时，求m的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(九)
1．B　[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．]
2．C　[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．]
3．B　[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1．根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2，所以四边形ABCD的面积为．]
4．D　[因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆的方程可得C，所以，解得a＝4±．]
5．A　[设圆心C(a，b)，半径r＝1，由于圆心在第一象限，且与x轴相切，则b＝r＝1，则C(a，1)，圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝r＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)，则该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1．]
6．x2＋y2－10y＝0　[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，所以a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]
7．(x－2)2＋(y－1)2＝5　[∵圆心为O(0，0)，
又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆，其直径d＝|OP|＝2，∴半径r＝．
而圆心为(2，1)，
∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．]
8．(－∞，－2)∪∪(2，＋∞)　[圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2，
∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，
∴，
∴k的取值范围是(－∞，－2)∪∪(2，＋∞)．]
9．解：圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝3．
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，
所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，
于是＝3，解得k＝－．
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0．
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0．
10．解：(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，所以直线l的斜率为－，则2m＝－，所以m＝－．
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5．
所以|AB|＝2．
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2．
11．C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
12．C　[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1：
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．]
13．ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD．]
14．(1)a<3　(2)x－y＋5＝0　[(1)依题意得，点C在圆内，所以＋32＋2×－4×3＋a<0，解得a<3．
(2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．]
15．解：(1)已知圆的标准方程是
(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2．
直线l的方程化为x－y＋4＝0，则圆心C到直线l的距离是|2－a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系，得
L＝2．
∵0∴当a＝3时，L的最大值为2．
(2)∵直线l与圆C相切，
则有，即|m－2a|＝2．
∵点C在直线l的上方，∴a>－a＋m，即2a>m，∴2a－m＝2，∴m＝(－1)2－1．∵021世纪教育网(www.21cnjy.com)

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