资源简介 2.3 直线与圆的位置关系学习任务 核心素养1.理解并掌握直线与圆的位置关系:相切、相交、相离.(重点) 2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系.(难点) 3.会求圆的弦长及切线方程等问题.(重点) 1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系,培养直观想象素养. 2.通过求圆的弦长及切线方程等问题,提升数学运算素养.1.直线与圆有哪几种位置关系?2.在平面几何中,直线与圆的位置关系是如何判定的?3.如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系?直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离判断方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?[提示] 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系,是从不同的方面、不同的思路来判断的.“几何法”侧重于“形”,很好地结合了图形的几何性质;“代数法”侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直线与圆最多有两个公共点. ( )(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长,则此直线过圆心. ( )(3)若C为圆O内一点,则过点C的直线与圆O相交. ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[答案] A3.圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为________.x2+y2=2 [设圆的方程为x2+y2=a2(a>0),由=a,得a=.∴x2+y2=2.]4.已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,则直线l的方程为________.x+2y+9=0或2x-y+3=0 [将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25,所以圆心的坐标是(0,-2),半径长r=5.因为直线被圆截得的弦长为4,所以弦心距为=,设过点M的直线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.由弦心距为,得=,解得k=-或k=2,所以所求直线有两条,它们的方程分别为x+2y+9=0或2x-y+3=0.]类型1 直线与圆位置关系的判断【例1】 已知直线l的方程mx-y-m-1=0,圆C的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线l与圆C:有两个公共点?只有一个公共点?没有公共点?[解] 法一:将直线代入圆的方程化简整理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴当Δ>0时,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当Δ=0时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当Δ<0时,即-法二:圆C的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心为C(2,1),半径r=2.圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==.当d<2时,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当d=2时,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当d>2时,即- 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断.(2)代数法:联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断.上述方法中,最常用的是几何法.[跟进训练]1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=2的位置关系是( )A.相交 B.相离C.相交或相切 D.相切A [法一:直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而点(-1,0)在圆x2+y2=2内,故直线与圆相交,故选A.法二:因为圆心到直线的距离d=<=r,所以直线与圆相交,故选A.法三:由直线方程与圆的方程消去x得,y2-2ky-1=0,所以Δ=4k2+4=8k2+4>0,所以直线与圆相交,故选A.]类型2 直线与圆相切问题【例2】 (1)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程是________.(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为( )A.1 B.2 C. D.3(1)x=2或y=3 (2)C [(1)易知点P(2,3)在圆外,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合要求;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为y-3=k(x-2),根据圆心到直线的距离等于半径,得d==1,解得k=0,所以直线的方程为x=2或y=3.(2)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d==2,圆的半径为1,故切线长的最小值为==.] 过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种:(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入圆的方程,得一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.提醒:设直线的方程时,要检验直线x=x0是否是圆的切线.[跟进训练]2.将直线2x-y+λ=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( )A.-3或7 B.-2或8C.0或10 D.1或11A [直线y=2x+λ沿x轴向左平移1个单位后,所得直线方程为y=2(x+1)+λ,化简得2x-y+(λ+2)=0,圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,根据圆心到直线距离等于半径,解得λ=-3或λ=7.]3.求过点M(3,1),并且与圆C:(x-1)2+(y-2)2=4相切的直线方程.[解] ∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d==r=2,解得k=.∴切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.∴与圆C相切的直线方程为x=3或3x-4y-5=0.类型3 弦长问题【例3】 【链接教材P36例8】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.[思路点拨] 本题可以利用弦心距,半弦长和半径构成的直角三角形求解;也可以联立解方程组,求出交点坐标,利用两点间的距离公式求解.[解] 法一:圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径r=.点(0,1)到直线l的距离为d==,弦长l=2=,所以截得的弦长为.法二:设直线l与圆C交于A、B两点.由得交点A(1,3),B(2,0),所以弦AB的长为|AB|==.[母题探究]1.若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为,求该直线方程”,又如何求解?[解] 由例题知,圆心C(0,1),半径r=,又弦长为,所以圆心到直线的距离d===.又直线过点(2,0),知直线斜率一定存在.可设直线斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),所以d==,解得k=-3或k=,所以直线方程为y=-3(x-2)或y=(x-2),即3x+y-6=0或x-3y-2=0.2.若本例改为“求过点M(1,2)且被圆C:x2+y2-2y-4=0所截弦长最短时,直线的方程”,又如何求解?[解] 由例题知圆心C(0,1),圆的标准方程为x2+(y-1)2=5.因为12+(2-1)2<5,故点M(1,2)在圆内.则当CM与直线垂直时弦长最短,又kCM=1,所以所求直线的斜率为-1,又过点M(1,2),所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.3.若本例改为“已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,求a的值”,又如何求解?[解] 因为圆的半径是r=2,圆心坐标是C(3,-),∠MPN=,且P在圆C上,所以∠MCN=,则|MN|=2.又点C到直线l的距离d==+d2=r2,所以()2+=4,解得a=4或8.【教材原题·P36例8】例8 已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0.(1)写出圆P的圆心坐标和半径,并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形;(2)由(1)所画图形,判断直线m与圆P的位置关系,若相交,求直线m被圆P截得的弦长;若相切或相离,给出证明.[解] (1)将圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=2,即圆P是以点(1,1)为圆心,为半径的圆(如图1-33(1)).图1-33(2)因为圆心P到直线m的距离d==1<,所以直线m与圆P相交.设交点为A,B,圆P的半径为r(如图1-33(2)),易知△PAB是等腰三角形,腰PA,PB的长为圆P的半径长,即PA=PB=r=,底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d.所以由勾股定理,得|AB|=2=2.故直线m被圆P截得的弦长为2. 求弦长的两种方法(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用勾股定理d2+=r2求解,这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐,一般不用.1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心D [圆心为(1,-1),r=3,圆心到直线的距离d==,所以02.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是( )A.±1 B.±C.± D.±C [设l:y=k(x+2),即kx-y+2k=0.又l与圆相切,∴=1.∴k=±.]3.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )A.1 B.C. D.B [如图,由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=,所以圆心到点(0,-2)的距离为=2,由于圆心与点(0,-2)的连线平分角α,所以sin ===,所以cos =,所以sin α=2sin cos =2×=.故选B.]4.当直线x+y-a=0与圆x2+(y-1)2=2相离时,a的取值范围是________.(-∞,-1)∪(3,+∞) [圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),半径r=,圆心(0,1)到直线x+y-a=0的距离d=,依题意,>,解得a<-1或a>3.]5.求直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长.[解] 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25.故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离d==,所以弦长为2=2×=2=4.1.判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个:一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较;二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数.两者相比较,前者较形象、直观,便于运算.2.与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解,注意验证所求直线的斜率不存在的情形,避免漏解.课时分层作业(九) 直线与圆的位置关系一、选择题1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得的弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8B [将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.]2.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )A.4 B.3C.2 D.1C [圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d==<1,所以直线x+y=1与圆x2+y2=1相交.故选C.]3.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10 B.20C.30 D.40B [圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×10×4=20.]4.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆+=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=( )A.± B.±C.1或7 D.4±D [因为△ABC为等边三角形且边长为2,所以C到AB的距离为,由圆的方程可得C,所以=,解得a=4±.]5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1A [设圆心C(a,b),半径r=1,由于圆心在第一象限,且与x轴相切,则b=r=1,则C(a,1),圆心C到直线4x-3y=0的距离d===r=1,解得a=2或a=-(舍去),则该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.]二、填空题6.圆心在y轴上,经过点(3,1)且与x轴相切的圆的方程是________.x2+y2-10y=0 [由题意,设圆的方程为x2+(y+a)2=a2,因为圆经过点(3,1),所以把点(3,1)代入圆的方程,得32+(1+a)2=a2,整理得2a=-10,所以a=-5,所以圆的方程为x2+(y-5)2=(-5)2,即x2+y2-10y=0.]7.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点为A、B,则△ABP的外接圆的方程是________.(x-2)2+(y-1)2=5 [∵圆心为O(0,0),又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆,其直径d=|OP|=2,∴半径r=.而圆心为(2,1),∴外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.]8.已知圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,则k的取值范围是________.(-∞,-2)∪(2,+∞) [圆x2+y2-4x-2y-15=0的圆心为(2,1),半径为2,∵圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,∴<<3,∴k的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).]三、解答题9.如果一条直线经过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.[解] 圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,于是弦心距d===3.因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.设直线y+=k(x+3)也符合题意,即圆心到直线kx-y+=0的距离等于3,于是=3,解得k=-.故直线的方程为3x+4y+15=0.综上可知,满足题意的直线有两条,对应的方程分别为x=-3和3x+4y+15=0.10.已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明:l与C总相交;(2)m取何值时,l被C截得的弦长最短?求此弦长.[解] (1)证明:直线的方程可化为y+3=2m(x-4),由点斜式可知,直线过点P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.(2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.如图,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,线段AB的长度最短.此时PC⊥l,又kPC==3,所以直线l的斜率为-,则2m=-,所以m=-.在Rt△APC中,|PC|=,|AC|=r=5.所以|AB|=2=2.故当m=-时,l被C截得的弦长最短,最短弦长为2.11.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )A.1+ B.4C.1+3 D.7C [将方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设z=x-y,数形结合知,只有当直线x-y-z=0与圆相切时,z才能取到最值,此时=3,解得z=1±3,故z=x-y的最大值为1+3,故选C.]12.与圆C:x2+y2-4x+2=0相切,且在x,y轴上的截距相等的直线共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条C [圆C的方程可化为(x-2)2+y2=2.可分为两种情况讨论:(1)直线在x,y轴上的截距均为0,易知直线斜率必存在,设直线方程为y=kx,则=,解得k=±1;(2)直线在x,y轴上的截距均不为0,则可设直线方程为=1(a≠0),即x+y-a=0(a≠0),则=,解得a=4(a=0舍去).因此满足条件的直线共有3条.]13.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切ABD [对于A,∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,∴直线l与圆C相切,A正确.对于B,∵点A在圆C内,∴a2+b2<r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=>r,∴直线l与圆C相离,B正确.对于C,∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=<r,∴直线l与圆C相交,C错误.对于D,∵点A在直线l上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,∴直线l与圆C相切,D正确.故选ABD.]14.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则(1)a的取值范围是________;(2)直线l的方程为________.(1)a<3 (2)x-y+5=0 [(1)依题意得,点C在圆内,所以+32+2×-4×3+a<0,解得a<3.(2)由圆的一般方程可得圆心为M(-1,2).由圆的性质易知,M(-1,2)与C(-2,3)的连线与弦AB垂直,故有kAB=-=1,故直线l的方程为y-3=x+2,整理得x-y+5=0.]15.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.[解] (1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是=|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系,得L=2=2=2.∵0∴当a=3时,L的最大值为2.(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,即|m-2a|=2.∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.∵0∴0<≤2,∴m∈[-1,8-4].21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3 直线与圆的位置关系学习任务 核心素养1.理解并掌握直线与圆的位置关系:相切、相交、相离.(重点) 2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系.(难点) 3.会求圆的弦长及切线方程等问题.(重点) 1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系,培养直观想象素养. 2.通过求圆的弦长及切线方程等问题,提升数学运算素养.1.直线与圆有哪几种位置关系?2.在平面几何中,直线与圆的位置关系是如何判定的?3.如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系?直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离判断方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d__r d__r d__r代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直线与圆最多有两个公共点. ( )(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长,则此直线过圆心. ( )(3)若C为圆O内一点,则过点C的直线与圆O相交. ( )2.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为________.4.已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,则直线l的方程为________.类型1 直线与圆位置关系的判断【例1】 已知直线l的方程mx-y-m-1=0,圆C的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线l与圆C:有两个公共点?只有一个公共点?没有公共点?[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断.(2)代数法:联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断.上述方法中,最常用的是几何法.[跟进训练]1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=2的位置关系是( )A.相交 B.相离C.相交或相切 D.相切类型2 直线与圆相切问题【例2】 (1)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程是________.(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为( )A.1 B.2 C. D.3[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种:(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入圆的方程,得一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.提醒:设直线的方程时,要检验直线x=x0是否是圆的切线.[跟进训练]2.将直线2x-y+λ=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( )A.-3或7 B.-2或8C.0或10 D.1或113.求过点M(3,1),并且与圆C:(x-1)2+(y-2)2=4相切的直线方程._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3 弦长问题【例3】 【链接教材P36例8】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.[思路点拨] 本题可以利用弦心距,半弦长和半径构成的直角三角形求解;也可以联立解方程组,求出交点坐标,利用两点间的距离公式求解.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]1.若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为,求该直线方程”,又如何求解?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.若本例改为“求过点M(1,2)且被圆C:x2+y2-2y-4=0所截弦长最短时,直线的方程”,又如何求解?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3.若本例改为“已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,求a的值”,又如何求解?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求弦长的两种方法(1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用勾股定理d2+=r2求解,这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐,一般不用.1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心2.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是( )A.±1 B.±C.± D.±3.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )A.1 B.C. D.4.当直线x+y-a=0与圆x2+(y-1)2=2相离时,a的取值范围是________.5.求直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个:一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较;二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数.两者相比较,前者较形象、直观,便于运算.2.与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解,注意验证所求直线的斜率不存在的情形,避免漏解.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共62张PPT)第一章 直线与圆§2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系学习任务 核心素养1.理解并掌握直线与圆的位置关系:相切、相交、相离.(重点)2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系.(难点)3.会求圆的弦长及切线方程等问题.(重点) 1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系,培养直观想象素养.2.通过求圆的弦长及切线方程等问题,提升数学运算素养.1.直线与圆有哪几种位置关系?2.在平面几何中,直线与圆的位置关系是如何判定的?3.如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系?必备知识·情境导学探新知直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离判断方法 d__r d__r d__rΔ__0 Δ__0 Δ__0< = > > = < 思考 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?[提示] 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系,是从不同的方面、不同的思路来判断的.“几何法”侧重于“形”,很好地结合了图形的几何性质;“代数法”侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.√1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直线与圆最多有两个公共点. ( )(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长,则此直线过圆心. ( )(3)若C为圆O内一点,则过点C的直线与圆O相交. ( )√√2.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为__________.√x2+y2=2x+2y+9=0或2x-y+3=0关键能力·合作探究释疑难类型1 直线与圆位置关系的判断【例1】 已知直线l的方程mx-y-m-1=0,圆C的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线l与圆C:有两个公共点?只有一个公共点?没有公共点?反思领悟 判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断.(2)代数法:联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断.上述方法中,最常用的是几何法.[跟进训练]1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=2的位置关系是( )A.相交 B.相离C.相交或相切 D.相切√√x=2或 y=3 反思领悟 过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种:(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入圆的方程,得一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.提醒:设直线的方程时,要检验直线x=x0是否是圆的切线.[跟进训练]2.将直线2x-y+λ=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( )A.-3或7 B.-2或8C.0或10 D.1或11√A [直线y=2x+λ沿x轴向左平移1个单位后,所得直线方程为y=2(x+1)+λ,化简得2x-y+(λ+2)=0,圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,根据圆心到直线距离等于半径,解得λ=-3或λ=7.]3.求过点M(3,1),并且与圆C:(x-1)2+(y-2)2=4相切的直线方程.类型3 弦长问题【例3】 【链接教材P36例8】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.[思路点拨] 本题可以利用弦心距,半弦长和半径构成的直角三角形求解;也可以联立解方程组,求出交点坐标,利用两点间的距离公式求解.2.若本例改为“求过点M(1,2)且被圆C:x2+y2-2y-4=0所截弦长最短时,直线的方程”,又如何求解?[解] 由例题知圆心C(0,1),圆的标准方程为x2+(y-1)2=5.因为12+(2-1)2<5,故点M(1,2)在圆内.则当CM与直线垂直时弦长最短,又kCM=1,所以所求直线的斜率为-1,又过点M(1,2),所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【教材原题·P36例8】例8 已知直线m:3x+4y-2=0与圆P:x2+y2-2x-2y=0.(1)写出圆P的圆心坐标和半径,并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形;(2)由(1)所画图形,判断直线m与圆P的位置关系,若相交,求直线m被圆P截得的弦长;若相切或相离,给出证明.图1-33学习效果·课堂评估夯基础√1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心√√4.当直线x+y-a=0与圆x2+(y-1)2=2相离时,a的取值范围是_______________________.(-∞,-1)∪(3,+∞)5.求直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长.1.判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个:一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较;二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数.两者相比较,前者较形象、直观,便于运算.2.与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解,注意验证所求直线的斜率不存在的情形,避免漏解.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(九) 直线与圆的位置关系一、选择题1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得的弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8题号135246879101112131415题号2134568791011121314152.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )A.4 B.3C.2 D.1√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号2134568791011121314155.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1√题号213456879101112131415题号213456879101112131415二、填空题6.圆心在y轴上,经过点(3,1)且与x轴相切的圆的方程是_______________.x2+y2-10y=0 [由题意,设圆的方程为x2+(y+a)2=a2,因为圆经过点(3,1),所以把点(3,1)代入圆的方程,得32+(1+a)2=a2,整理得2a=-10,所以a=-5,所以圆的方程为x2+(y-5)2=(-5)2,即x2+y2-10y=0.]x2+y2-10y=0 题号2134568791011121314157.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点为A、B,则△ABP的外接圆的方程是__________________.(x-2)2+(y-1)2=5 题号213456879101112131415∪(2,+∞)题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号21345687910111213141510.已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明:l与C总相交;(2)m取何值时,l被C截得的弦长最短?求此弦长.[解] (1)证明:直线的方程可化为y+3=2m(x-4),由点斜式可知,直线过点P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.(2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.如图,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,线段AB的长度最短.题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号21345687910111213141512.与圆C:x2+y2-4x+2=0相切,且在x,y轴上的截距相等的直线共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条√题号213456879101112131415题号21345687910111213141513.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切√√√题号213456879101112131415题号21345687910111213141514.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则(1)a的取值范围是________;(2)直线l的方程为_____________.a<3 x-y+5=0 题号213456879101112131415题号21345687910111213141515.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415课时分层作业(九) 直线与圆的位置关系说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共106分一、选择题1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得的弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-82.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )A.4 B.3C.2 D.13.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10 B.20C.30 D.404.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆+=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=( )A.± B.±C.1或7 D.4±5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1二、填空题6.圆心在y轴上,经过点(3,1)且与x轴相切的圆的方程是________.7.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点为A、B,则△ABP的外接圆的方程是________.8.已知圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,则k的取值范围是________.三、解答题9.如果一条直线经过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.10.已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明:l与C总相交;(2)m取何值时,l被C截得的弦长最短?求此弦长.11.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )A.1+ B.4C.1+3 D.712.与圆C:x2+y2-4x+2=0相切,且在x,y轴上的截距相等的直线共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条13.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切14.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则(1)a的取值范围是________;(2)直线l的方程为________.15.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(九)1.B [将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d=,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.]2.C [圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=<1,所以直线x+y=1与圆x2+y2=1相交.故选C.]3.B [圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2,所以四边形ABCD的面积为.]4.D [因为△ABC为等边三角形且边长为2,所以C到AB的距离为,由圆的方程可得C,所以,解得a=4±.]5.A [设圆心C(a,b),半径r=1,由于圆心在第一象限,且与x轴相切,则b=r=1,则C(a,1),圆心C到直线4x-3y=0的距离d==r=1,解得a=2或a=-(舍去),则该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.]6.x2+y2-10y=0 [由题意,设圆的方程为x2+(y+a)2=a2,因为圆经过点(3,1),所以把点(3,1)代入圆的方程,得32+(1+a)2=a2,整理得2a=-10,所以a=-5,所以圆的方程为x2+(y-5)2=(-5)2,即x2+y2-10y=0.]7.(x-2)2+(y-1)2=5 [∵圆心为O(0,0),又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆,其直径d=|OP|=2,∴半径r=.而圆心为(2,1),∴外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.]8.(-∞,-2)∪∪(2,+∞) [圆x2+y2-4x-2y-15=0的圆心为(2,1),半径为2,∵圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,∴,∴k的取值范围是(-∞,-2)∪∪(2,+∞).]9.解:圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,于是弦心距d= =3.因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.设直线y+=k(x+3)也符合题意,即圆心到直线kx-y+=0的距离等于3,于是=3,解得k=-.故直线的方程为3x+4y+15=0.综上可知,满足题意的直线有两条,对应的方程分别为x=-3和3x+4y+15=0.10.解:(1)证明:直线的方程可化为y+3=2m(x-4),由点斜式可知,直线过点P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.(2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.如图,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,线段AB的长度最短.此时PC⊥l,又kPC==3,所以直线l的斜率为-,则2m=-,所以m=-.在Rt△APC中,|PC|=,|AC|=r=5.所以|AB|=2.故当m=-时,l被C截得的弦长最短,最短弦长为2.11.C [将方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设z=x-y,数形结合知,只有当直线x-y-z=0与圆相切时,z才能取到最值,此时=3,解得z=1±3,故z=x-y的最大值为1+3,故选C.]12.C [圆C的方程可化为(x-2)2+y2=2.可分为两种情况讨论:(1)直线在x,y轴上的截距均为0,易知直线斜率必存在,设直线方程为y=kx,则,解得k=±1:(2)直线在x,y轴上的截距均不为0,则可设直线方程为=1(a≠0),即x+y-a=0(a≠0),则,解得a=4(a=0舍去).因此满足条件的直线共有3条.]13.ABD [对于A,∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,∴直线l与圆C相切,A正确.对于B,∵点A在圆C内,∴a2+b2r,∴直线l与圆C相离,B正确.对于C,∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=对于D,∵点A在直线l上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,∴直线l与圆C相切,D正确.故选ABD.]14.(1)a<3 (2)x-y+5=0 [(1)依题意得,点C在圆内,所以+32+2×-4×3+a<0,解得a<3.(2)由圆的一般方程可得圆心为M(-1,2).由圆的性质易知,M(-1,2)与C(-2,3)的连线与弦AB垂直,故有kAB=-=1,故直线l的方程为y-3=x+2,整理得x-y+5=0.]15.解:(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系,得L=2.∵0∴当a=3时,L的最大值为2.(2)∵直线l与圆C相切,则有,即|m-2a|=2.∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.∵021世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.3直线与圆的位置关系学案(学生用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.3直线与圆的位置关系学案(教师用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆2.3直线与圆的位置关系课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业9直线与圆的位置关系(学生用).docx 课时分层作业9答案.docx