北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线2.2双曲线的简单几何性质课件+学案+练习+答案

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北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线2.2双曲线的简单几何性质课件+学案+练习+答案

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课时分层作业(十四) 双曲线的简单几何性质
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共94分
一、选择题
1.点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(  )
A.     B.  
C.     D.
2.已知中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为(  )
A.y=±2x   B.y=±x
C.y=±x   D.y=±x
3.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(  )
A.   B.2
C.   D.
4.设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(  )
A.   B.
C.2   D.
5.如图,F1为双曲线C:=1的左焦点,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是(  )
A.3   B.6
C.4   D.8
二、填空题
6.已知P是双曲线=1右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________.
7.已知双曲线C:-y2=1,P为双曲线上任意一点,设点A的坐标为(3,0),则的最小值为________.
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥=-,则C的离心率为________.
三、解答题
9.已知椭圆D:=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
11.如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(  )
A.   B.
C.   D.
12.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,直线FE交双曲线右支于点P,若=),则双曲线的离心率为(  )
A.   B.
C.   D.
13.(多选题)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是(  )
A.x2-=1   B.-y2=1
C.-x2=1   D.y2-=1
14.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为________.
15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(  )
A.   B.
C.   D.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 双曲线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质.(重点) 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数形结合思想.(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象与数学运算素养. 2.借助双曲线几何性质的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养.
在学习椭圆时,我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质,那么是否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢?
已知双曲线C:=1(a>0,b>0).
双曲线C有怎样的对称性?为什么?
双曲线的性质
标准方程 =1 (a>0,b>0) =1 (a>0,b>0)
图形
性 质 焦点 ________________________ ________________________
焦距 |F1F2|=__
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
顶点 ____________________ ____________________
对称性 对称轴:________;对称中心:________
轴长 实轴长=__,虚轴长=__
性质 渐近线 ±=0或y=±x ±=0或y=±x
离心率 e=(e>1)
(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗?
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系?
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1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大,它的开口越小. (  )
(2)双曲线的离心率的取值范围是. (  )
(3)双曲线=1的虚轴长为4. (  )
(4)双曲线=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是±=0. (  )
2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(  )
A.4     B.3  
C.2     D.1
3.若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=________.
类型1 双曲线的简单性质
【例1】 【链接教材P67例5】
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
[思路点拨] 先将双曲线的形式化为标准方程,再研究其性质.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 1.由双曲线方程探究其简单几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,这是依据方程求参数a,b,c的关键.
2.写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时,需先由方程确定焦点所在的坐标轴,否则易出错,注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系.
[跟进训练]
1.双曲线4x2-y2=4的顶点坐标为________,离心率为________,渐近线方程为________.
类型2 利用双曲线的性质求双曲线的方程
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)实轴长为16,离心率为;
(2)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0);
(3)过点(2,0),且与双曲线=1的离心率相等.
[思路点拨] 由双曲线的几何性质,列出关于a,b,c的方程,求出a,b,c的值.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 1.求双曲线方程,关键是求a,b的值,在解题过程中应熟悉a,b,c,e等元素的几何意义及它们之间的联系,并注意方程思想的应用.
2.若已知双曲线的渐近线方程为ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ.
[跟进训练]
2.求焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2)的双曲线方程.
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类型3 求双曲线的离心率
【例3】 已知在以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,求双曲线C的离心率.
[思路点拨] 确定四边形中为60°的内角,通过解三角形得a,b,c的关系,进而求出离心率.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的n次方程求解.
[跟进训练]
3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为(  )
A.    B.
C.    D.
1.双曲线2x2-y2=-8的实轴长是(  )
A.2     B.4  
C.2     D.4
2.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±x   B.y=±x
C.y=±x   D.y=±2x
4.已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=________.
5.(源自人教A版教材)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
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求解双曲线方程中的几种“巧设”
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).
(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 双曲线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质.(重点) 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数形结合思想.(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象与数学运算素养. 2.借助双曲线几何性质的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养.
在学习椭圆时,我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质,那么是否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢?
已知双曲线C:=1(a>0,b>0).
双曲线C有怎样的对称性?为什么?
双曲线的性质
标准方程 =1 (a>0,b>0) =1 (a>0,b>0)
图形
性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a)
对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b
性质 渐近线 ±=0或y=±x ±=0或y=±x
离心率 e=(e>1)
(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗?
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系?
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条,但它们实轴与虚轴的长的比值相同.
(2)e2==1+是渐近线的斜率或其倒数.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大,它的开口越小. (  )
(2)双曲线的离心率的取值范围是. (  )
(3)双曲线=1的虚轴长为4. (  )
(4)双曲线=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是±=0. (  )
[答案] (1)× (2)√ (3)×  (4)√
2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(  )
A.4     B.3  
C.2     D.1
C [由渐近线方程可知=,所以a=b=×3=2.]
3.若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=________.
 [双曲线y2-=1(m>0)的渐近线为y=±,即x±my=0,
不妨取x+my=0,圆x2+y2-4y+3=0,即x2+(y-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=1,
依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的距离d==1,
解得m=或m=-(舍去).]
类型1 双曲线的简单性质
【例1】 【链接教材P67例5】
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
[思路点拨] 先将双曲线的形式化为标准方程,再研究其性质.
[解]  双曲线的方程化为标准形式是=1,
∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=.
又双曲线的焦点在x轴上,
∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e==,渐近线方程为y=±x.
【教材原题·P67例5】
例5 求双曲线9x2-16y2=-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标,以及渐近线方程,并画出该双曲线.
[解] 将9x2-16y2=-144化为标准方程,得=1.
所以实轴长2a=6,虚轴长2b=8,焦点坐标为(0,-5),(0,5),顶点坐标为(0,-3),(0,3),渐近线方程为y=±x.
如图2-26,首先画出x=±4,y=±3,作出矩形;
图2-26
然后作出矩形对角线所在的直线,得到渐近线y=±x;
最后以渐近线为参照画出双曲线.
 1.由双曲线方程探究其简单几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,这是依据方程求参数a,b,c的关键.
2.写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时,需先由方程确定焦点所在的坐标轴,否则易出错,注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系.
[跟进训练]
1.双曲线4x2-y2=4的顶点坐标为________,离心率为________,渐近线方程为________.
(-1,0),(1,0)  y=±2x [将4x2-y2=4变形为x2-=1,∴a=1,b=2,c=,
∴顶点坐标为(-1,0),(1,0),e==,
渐近线方程为y=±x=±2x.]
类型2 利用双曲线的性质求双曲线的方程
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)实轴长为16,离心率为;
(2)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0);
(3)过点(2,0),且与双曲线=1的离心率相等.
[思路点拨] 由双曲线的几何性质,列出关于a,b,c的方程,求出a,b,c的值.
[解] (1)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0).
由题意知2a=16,=,c2=a2+b2,
解得c=10,a=8,b=6,
所以双曲线的标准方程为=1或=1.
(2)设双曲线方程为=1(a>0,b>0).
由已知得a=,c=2,∴b2=c2-a2=1.
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程,得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1;
当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程,得λ=-<0(舍去).
综上可知,所求双曲线的标准方程为-y2=1.
 1.求双曲线方程,关键是求a,b的值,在解题过程中应熟悉a,b,c,e等元素的几何意义及它们之间的联系,并注意方程思想的应用.
2.若已知双曲线的渐近线方程为ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ.
[跟进训练]
2.求焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2)的双曲线方程.
[解] 设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).
∵e=,∴e2===1+=,
∴=.又∵=1,解得
∴所求的双曲线方程为=1.
类型3 求双曲线的离心率
【例3】 已知在以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,求双曲线C的离心率.
[思路点拨] 确定四边形中为60°的内角,通过解三角形得a,b,c的关系,进而求出离心率.
[解] 设双曲线方程为=1(a>0,b>0),如图所示,由于在双曲线中c>b,
故在Rt△OF1B2中,只能是∠OF1B2=30°,所以=tan 30°,c=b,
所以a=b,离心率e===.
 求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=,转化为关于e的n次方程求解.
[跟进训练]
3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为(  )
A.    B.
C.    D.
A [由题意得,=,则e===.]
1.双曲线2x2-y2=-8的实轴长是(  )
A.2     B.4  
C.2     D.4
B [双曲线标准方程为=1,故实轴长为2a=4.]
2.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
D [方程9y2-m2x2=1(m>0)可化为=1(m>0),则a=,b=,取顶点,一条渐近线为mx-3y=0,所以=,则m2+9=25.∵m>0,∴m=4.]
3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±x   B.y=±x
C.y=±x   D.y=±2x
B [因为2b=2,所以b=1,因为2c=2,所以c=,所以a==,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.]
4.已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=________.
-3 [双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±,故m=-3.]
5.(源自人教A版教材)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.
[解] 设d是点M到直线l的距离,根据题意,动点M的轨迹就是点的集合P=,
由此得=.
将上式两边平方,并化简,得
7x2-9y2=63,
即=1.
所以点M的轨迹是焦点在x轴上,实轴长为6、虚轴长为2的双曲线.
求解双曲线方程中的几种“巧设”
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).
(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
课时分层作业(十四) 双曲线的简单几何性质
一、选择题
1.点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(  )
A.     B.  
C.     D.
A [由双曲线的方程知,a=4,b=3,焦点在x轴上,所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,由点到直线的距离公式得,点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为=.故选A.]
2.已知中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为(  )
A.y=±2x   B.y=±x
C.y=±x   D.y=±x
C [设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),∵e==,c=,
∴==,∴=2,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选C.]
3.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(  )
A.   B.2
C.   D.
D [设双曲线方程为=1(a>0,b>0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,AB=BM=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x轴于H,
则∠MBH=60°,BH=a,MH=a,
所以M(2a,a).
将点M的坐标代入双曲线方程=1,得a=b,所以e=.故选D.]
4.设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(  )
A.   B.
C.2   D.
A [如图,由题意,知以OF为直径的圆的方程为+y2=①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=,故选A.
]
5.如图,F1为双曲线C:=1的左焦点,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是(  )
A.3   B.6
C.4   D.8
B [设F2为右焦点,由双曲线的对称性知,|P1F1|=|P2F2|,∴|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.]
二、填空题
6.已知P是双曲线=1右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________.
5 [依题意3=,∴a=1,
由点P在双曲线右支上,得|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2+|PF2|=2+3=5.]
7.已知双曲线C:-y2=1,P为双曲线上任意一点,设点A的坐标为(3,0),则的最小值为________.
 [设点P的坐标为,则=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1=+,根据双曲线的范围知:≥2,
∴当x=时,的最小值为,即的最小值为.]
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥=-,则C的离心率为________.
 [由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以=(x1-c,y1),=(-c,y0),因为=-,所以即所以A.
==(c,y0),因为⊥,所以=0,即=0,解得=4c2.
因为点A在双曲线C上,所以=1,又=4c2,所以=1,即=1,化简得=,所以e2=1+=,所以e=.]
三、解答题
9.已知椭圆D:=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
[解] 椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),
因此双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.
设双曲线G的方程为=1(a>0,b>0),
∴渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25.
又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r=3,
∴=3,得a=3,b=4.
∴双曲线G的方程为=1.
10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
[解] (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0),
且双曲线方程为=1,
∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,
∴双曲线的方程为-y2=1.
(2)∵a=,b=1,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,
记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.
11.如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(  )
A.   B.
C.   D.
D [焦点F1(-,0),F2(,0),
在Rt△AF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,①
|AF1|2+|AF2|2=12,②
联立①②,解得|AF2|-|AF1|=2,
即2a=2,
又2c=2,故双曲线的离心率e===,故选D.]
12.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,直线FE交双曲线右支于点P,若=),则双曲线的离心率为(  )
A.   B.
C.   D.
C [设点A是双曲线的右焦点,由=)可知,点E是线段FP的中点,又点O是FA的中点,所以OE∥PA,且|PA|=2|OE|=a,再根据双曲线的定义可知|PF|-|PA|=2a,可得|PF|=3a,所以在直角△PFA中,有(3a)2+a2=(2c)2,对该式化简可得e=.]
13.(多选题)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是(  )
A.x2-=1   B.-y2=1
C.-x2=1   D.y2-=1
[答案] AC
14.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为________.
 [由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将x=c代入=1,
得y=±,即A,B,故|AB|==10,|AF2|==5,
又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得b2=20,
故c2=a2+b2=36,即c=6,
所以e===.]
15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(  )
A.   B.
C.   D.
D [根据双曲线的离心率e==,得c=a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交.圆心(2,3)到渐近线y=2x的距离d==,所以|AB|=2=2=,故选D.]
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第二章 圆锥曲线
§2 双曲线
2.2 双曲线的简单几何性质
学习任务 核心素养
1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质.(重点)
2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,体会数形结合思想.(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象与数学运算素养.
2.借助双曲线几何性质的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养.
必备知识·情境导学探新知
双曲线的性质
标准方程
图形

标准方程

质 焦点 _______________________ _______________________
焦距 |F1F2|=____
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
顶点 ____________________ ____________________
F1(-c,0),F2(c,0) 
F1(0,-c),F2(0,c) 
2c 
(-a,0),(a,0) 
(0,-a),(0,a) 
标准方程
性质 对称性 对称轴:________;对称中心:________
轴长 实轴长=__,虚轴长=__
性质 渐近线
离心率
x轴、y轴 
坐标原点 
2a 
2b
思考 (1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗?
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系?
×

×



关键能力·合作探究释疑难
类型1 双曲线的简单性质
【例1】 【链接教材P67例5】
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
[思路点拨] 先将双曲线的形式化为标准方程,再研究其性质.
【教材原题·P67例5】
例5 求双曲线9x2-16y2=-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标,以及渐近线方程,并画出该双曲线.
反思领悟 1.由双曲线方程探究其简单几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,这是依据方程求参数a,b,c的关键.
2.写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时,需先由方程确定焦点所在的坐标轴,否则易出错,注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系.
[跟进训练]
1.双曲线4x2-y2=4的顶点坐标为________________,离心率为____,渐近线方程为___________.
(-1,0),(1,0)

y=±2x 
[思路点拨] 由双曲线的几何性质,列出关于a,b,c的方程,求出a,b,c的值.
反思领悟 1.求双曲线方程,关键是求a,b的值,在解题过程中应熟悉a,b,c,e等元素的几何意义及它们之间的联系,并注意方程思想的应用.
2.若已知双曲线的渐近线方程为ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ.
类型3 求双曲线的离心率
【例3】 已知在以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,求双曲线C的离心率.
[思路点拨] 确定四边形中为60°的内角,通过解三角形得a,b,c的关系,进而求出离心率.

学习效果·课堂评估夯基础



-3
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(十四) 双曲线的简单几何性质
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B [设F2为右焦点,由双曲线的对称性知,|P1F1|=|P2F2|,∴|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.]
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15课时分层作业(十四)
1.A [由双曲线的方程知,a=4,b=3,焦点在x轴上,所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,由点到直线的距离公式得,点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为.故选A.]
2.C [设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),∵e=,c=,∴,∴=2,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,故选C.]
3.
D [设双曲线方程为=1(a>0,b>0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,AB=BM=2a,∠MBA=120°,作MH⊥x轴于H,
则∠MBH=60°,BH=a,MH=a,
所以M(2a,a).
将点M的坐标代入双曲线方程=1,得a=b,所以e=.故选D.]
4.A [如图,由题意,知以OF为直径的圆的方程为+y2=①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=,故选A.]
5.B [设F2为右焦点,由双曲线的对称性知,|P1F1|=|P2F2|,∴|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.]
6.5 [依题意3=,∴a=1,由点P在双曲线右支上,得|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2+|PF2|=2+3=5.]
7. [设点P的坐标为,则=(x-3)2+y2=(x-3)2+,根据双曲线的范围知:≥2,
∴当x=时,,即.]
8. [由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以=(x1-c,y1),=(-c,y0),因为,所以
所以A=(c,y0),
因为,所以·=0,即c2-=0,解得=4c2.
因为点A在双曲线C上,所以=1,又=4c2,所以=1,即=1,化简得,所以e2=1+,所以e=.]
9.解:椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),
因此双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.
设双曲线G的方程为=1(a>0,b>0),
∴渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25.
又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r=3,
∴=3,得a=3,b=4.
∴双曲线G的方程为=1.
10.解:(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0),
且双曲线方程为=1,
∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,
∴双曲线的方程为-y2=1.
(2)∵a=,b=1,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,
记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=.
11.D [焦点F1(-,0),F2(,0),
在Rt△AF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,①
|AF1|2+|AF2|2=12,②
联立①②,解得|AF2|-|AF1|=2,
即2a=2,
又2c=2,故双曲线的离心率e=,故选D.]
12.C [设点A是双曲线的右焦点,由)可知,点E是线段FP的中点,又点O是FA的中点,所以OE∥PA,且|PA|=2|OE|=a,再根据双曲线的定义可知|PF|-|PA|=2a,可得|PF|=3a,所以在直角△PFA中,有(3a)2+a2=(2c)2,对该式化简可得e=.]
13.AC
14. [由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将x=c代入=1,
得y=±,即A,B,故|AB|==10,|AF2|==5,
又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得b2=20,
故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e=.]
15.D [根据双曲线的离心率e=,得c=a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交.圆心(2,3)到渐近线y=2x的距离d=,所以|AB|=2,故选D.]
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