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课时分层作业(十一)
1．D　[由于椭圆的焦点在x轴上，所以解得a>3或－62．B　[若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件．]
3．C　[由椭圆C：＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
4．A　[椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4，∴m＝4．]
5．B　[若＝1表示椭圆，
则有∴2故“26．(0，－)，(0，)　[方程可化为＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝，
所以，其焦点坐标为(0，－)，(0，)．]
7．8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
8．5　[易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B'，则B'(0，1)，如图，连接PB'，AB'，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB'|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB'|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB'|)＝4＋|PA|－|PB'|≤4＋|AB'|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB'的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5．]
9．解：由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1，
|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|．②
将②代入①解得|PF1|＝，
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝．
10．解：设动圆M和定圆B内切于点C，
由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝，
∴M的轨迹方程是＝1．
11．C　[由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，
∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．]
12．CD　[对于A，当1对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误：
对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
则解得2.5所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
则解得113．ACD　[设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝6为定值，A正确：
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误：
将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴＝＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，
解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．]
14．2　120°　[由题意知a＝3，b＝，c＝．
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6．
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2．
又∵|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理可得
cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°．]
15．解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4．
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由得x0＝，y0＝－．
又＝1，所以＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，
所以λ＝－7．
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．
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第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
学习任务 核心素养
1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点)
2．掌握椭圆的标准方程及推导过程．(难点)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点) 1．通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助求椭圆的标准方程，培养数学运算素养．
将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动．
1．当两定点间的距离等于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
2．当两定点间的距离小于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
必备知识·情境导学探新知
1．椭圆的有关概念
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个____叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的____叫作椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距
集合语言 P＝{M|________________，2a>|F1F2|}
之和等于常数(大于|F1F2|)　
定点　
距离　
一半　
|MF1|＋|MF2|＝2a
思考　1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点 ____________________ ____________________
a，b，c的关系 __________
(－c，0)，(c，0)　
(0，－c)，(0，c)　
b2＝a2－c2
×
×
√
√
√
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是
(　　)
A．1　　 B．2
C．3 　 D．4
3．若a＝5，c＝3，则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为___________．
4．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标为_____________________．

关键能力·合作探究释疑难
√
4a　
反思领悟　由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：
(1)实现两个焦半径之间的相互转化；
(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题．
[跟进训练]
1．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C．
反思领悟　1．求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2，b2的值，其一般步骤是：
①定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式．
②定量：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组，求出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的正常数．

1或5　

反思领悟　1．焦点三角形的概念
如图，设M是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，
当点M，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成
一个三角形——焦点三角形．
2．关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|MF1|＋|MF2|＝2a，利用这个关系式转化求解．因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
B　[由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6．]
√
1．平面内一点M到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论．
阅读材料·拓展数学大视野
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且
平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：
平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆．
取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2．
设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此
|PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而
|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，
又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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课时分层作业(十一)　椭圆及其标准方程
题号
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2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　)
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
√
B　[若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件．]
题号
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A　[椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4，∴m＝4．]
题号
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二、填空题
6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为____________________．
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8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
8　
题号
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5　[易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝
4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在
AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大
值为5．]
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题号
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10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
√
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ACD　[设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，
|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；
题号
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120°
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(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．
题号
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15§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
学习任务 核心素养
1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点) 2．掌握椭圆的标准方程及推导过程．(难点) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点) 1．通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习，逐步培养数学抽象素养． 2．借助求椭圆的标准方程，培养数学运算素养．
将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动．
1．当两定点间的距离等于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
2．当两定点间的距离小于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
1．椭圆的有关概念
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个定点叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距
集合语言 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
2．椭圆＝1的焦点是在x轴上，还是在y轴上？
[提示]　椭圆＝1的焦点在y轴上．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆． (　　)
(2)椭圆＋y2＝1的焦距为2． (　　)
(3)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2． (　　)
(4)当m>0，n>0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1　　 B．2
C．3 　 D．4
B　[由题意得，椭圆标准方程为x2＋＝1，又焦点在y轴上，所以－1＝12，解得k＝2．]
3．若a＝5，c＝3，则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________．
＝1　[∵b2＝a2－c2＝16，∴焦点在y轴上的椭圆标准方程为＝1．]
4．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标为________．
　[方程4x2＋9y2＝1可化为＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝＝，∴c＝，
∴焦点坐标为．]
类型1　椭圆定义及应用
【例1】　(1)椭圆＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为(　　)
A．8　　　　 B．4　　
C．2　　　　 D．
(2)已知B，C，且△ABC的周长等于24，则顶点A的轨迹方程为________．
(3)已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
(1)B　(2)＝1(y≠0)　(3)4a　[(1)设F′为椭圆的另一焦点，则|AF|＋|AF′|＝2a＝10，
∴|AF′|＝8．∵O，B分别为FF′，AF的中点，
∴|OB|＝|AF′|＝4．
(2)由已知得，|AB|＋|AC|＝14，由椭圆的定义可知，顶点A的轨迹是椭圆，
又2c＝10，2a＝14，即c＝5，a＝7，
所以b2＝a2－c2＝24．
当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＝1(y≠0)．
(3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．]
　由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：
(1)实现两个焦半径之间的相互转化；
(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题．
[跟进训练]
1．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C．
所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，
所以|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆．所以a＝3，c＝2，b＝＝，
所以所求圆心M的轨迹方程为＝1．
类型2　求椭圆的标准方程
【例2】　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－)；
(2)经过点P1(，1)，P2(－，－)．
[思路点拨]　(1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)的形式，再进一步确定A，B．
[解]　(1)依题意知椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知得c＝4，所以a2－b2＝16．①
因为点(－)在椭圆上，
所以＝1，即＝1．②
由①②得a2＝20，b2＝4．
因此，所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由已知得解得A＝，B＝．
所以所求的椭圆的标准方程为＝1．
　1．求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2，b2的值，其一般步骤是：
①定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式．
②定量：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组，求出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的正常数．
[跟进训练]
2．(1)求焦点在y轴上，且经过点(0，2)和(1，0)的椭圆的标准方程．
(2)某椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)且过，求椭圆的标准方程．
[解]　(1)椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＝1(a＞b＞0)．又椭圆过点(0，2)和(1，0)，
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)，由椭圆的定义知，
2a＝＝2，所以a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求标准方程为＝1．
类型3　椭圆标准方程的简单应用
【例3】　(1)已知方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
(2)已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为________．
(1)　(2)1或5　[(1)∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程应为＝1(a＞b＞0)，∴|m|－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜，∴m的取值范围为．
(2)将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＝1．
∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2．
当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；
当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5．
综上，k＝1或5．]
[母题探究]
将本例(1)中的方程改为：“＝1”，其他不变，则实数m的取值范围为________．
　[∵焦点在y轴上，∴m－1＞5－2m＞0，∴2＜m＜．]
　1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项、y2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．
2．对于方程＝1(m＞0，n＞0)，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆．
类型4　椭圆中的焦点三角形问题
【例4】　已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．
[解]　(1)由|PF1|＋|PF2|≥2知，
|PF1|·|PF2|≤＝＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立，
即|PF1|·|PF2|取到最大值100．
(2)c2＝a2－b2＝100－64＝36，c＝6，
则F1(－6，0)，F2(6，0)．
∵P为椭圆上任一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，∴122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴122＝202－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝＝．
∴＝|PF1|·|PF2|sin ＝＝．
　1．焦点三角形的概念
如图，设M是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点M，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形．
2．关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|MF1|＋|MF2|＝2a，利用这个关系式转化求解．因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
3．焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．
(3)焦点三角形的面积＝|MF1||MF2|·sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3．点P是椭圆＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解]　在椭圆＝1中，a＝，b＝2，
∴c＝＝1．
又点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2． ①
由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 30°＝＝(2c)2＝4． ②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20． ③
③－②，得
(2＋)|PF1|·|PF2|＝16．
∴|PF1|·|PF2|＝．
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4．
1．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0)　　 B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) 　 D．＝1(y>0)
A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，又点P在曲线C上，所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
2．已知椭圆＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　)
A．4　　B．6　　C．30　　D．
B　[由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6．]
3．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－9，25) 　 B．(8，25)
C．(16，25) 　 D．(8，＋∞)
B　[依题意有解得8＜m＜25，即实数m的取值范围是(8，25)．]
4．已知椭圆的焦点在x轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
＋y2＝1　[由已知得，2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
5．(教材P51例2改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)；
(2)两焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且经过点．
[解]　(1)9x2＋5y2＝45可化为＝1，故焦点为F1(0，2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆的方程为＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由题意知c＝1，2a＝，
∴a＝，b＝＝1，
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．
1．平面内一点M到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论．
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆．
取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的
两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2．
设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此
|PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而
|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，
又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆．
课时分层作业(十一)　椭圆及其标准方程
一、选择题
1．如果方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞)　　
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
D　[由于椭圆的焦点在x轴上，所以
即解得a>3或－62．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　)
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
B　[若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件．]
3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13　 　 B．12　 　 　
C．9　 　 D．6
C　[由椭圆C：＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
4．已知椭圆＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 　 B．5
C．7 　 D．8
A　[椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4，
∴m＝4．]
5．“2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
B　[若＝1表示椭圆，
则有∴2故“2二、填空题
6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________．
(0，－)，(0，)　[方程可化为＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝＝，
所以，其焦点坐标为(0，－)，(0，)．]
7．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
5　[易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5．]
三、解答题
9．已知椭圆的方程为＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解]　由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1，
|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|．②
将②代入①解得|PF1|＝，
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝×2×＝．
10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　设动圆M和定圆B内切于点C，
由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝＝，
∴M的轨迹方程是＝1．
11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　 B．6　
C．4　　　 D．12
C　[由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，
∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．]
12．(多选题)对于曲线C：＝1，下面说法正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1CD　[对于A，当1对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；
对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
解得113．(多选题)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
ACD　[设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，
|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴＝＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，
解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．]
14．椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
2　120°　[由题意知a＝3，b＝，c＝．
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6．
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2．
又∵|F1F2|＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°．]
15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
[解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4．
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－．
又＝1，所以＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，
所以λ＝－7．
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|
≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十一)　椭圆及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．如果方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞)　　
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　)
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13　 　 B．12　 　 　
C．9　 　 D．6
4．已知椭圆＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 　 B．5
C．7 　 D．8
5．“2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________．
7．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
三、解答题
9．已知椭圆的方程为＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　 B．6　
C．4　　　 D．12
12．(多选题)对于曲线C：＝1，下面说法正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“113．(多选题)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
14．椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
学习任务 核心素养
1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点) 2．掌握椭圆的标准方程及推导过程．(难点) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点) 1．通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习，逐步培养数学抽象素养． 2．借助求椭圆的标准方程，培养数学运算素养．
将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动．
1．当两定点间的距离等于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
2．当两定点间的距离小于绳长时，笔尖的轨迹是什么？
1．椭圆的有关概念
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离____________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个____叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的____叫作椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距
集合语言 P＝{M|____________________，2a>|F1F2|}
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦点 ____________________ ____________________
a，b，c的关系 __________
2．椭圆＝1的焦点是在x轴上，还是在y轴上？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆． (　　)
(2)椭圆＋y2＝1的焦距为2． (　　)
(3)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2． (　　)
(4)当m>0，n>0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆． (　　)
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1　　 B．2
C．3 　 D．4
3．若a＝5，c＝3，则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________．
4．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标为________．
类型1　椭圆定义及应用
【例1】　(1)椭圆＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为(　　)
A．8　　　　 B．4　　
C．2　　　　 D．
(2)已知B，C，且△ABC的周长等于24，则顶点A的轨迹方程为________．
(3)已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：
(1)实现两个焦半径之间的相互转化；
(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题．
[跟进训练]
1．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
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类型2　求椭圆的标准方程
【例2】　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－)；
(2)经过点P1(，1)，P2(－，－)．
[思路点拨]　(1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)的形式，再进一步确定A，B．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2，b2的值，其一般步骤是：
①定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式．
②定量：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组，求出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的正常数．
[跟进训练]
2．(1)求焦点在y轴上，且经过点(0，2)和(1，0)的椭圆的标准方程．
(2)某椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)且过，求椭圆的标准方程．
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类型3　椭圆标准方程的简单应用
【例3】　(1)已知方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
(2)已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为________．
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
将本例(1)中的方程改为：“＝1”，其他不变，则实数m的取值范围为________．
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　1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项、y2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．
2．对于方程＝1(m＞0，n＞0)，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆．
类型4　椭圆中的焦点三角形问题
【例4】　已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．焦点三角形的概念
如图，设M是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点M，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形．
2．关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|MF1|＋|MF2|＝2a，利用这个关系式转化求解．因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
3．焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ．
(3)焦点三角形的面积＝|MF1||MF2|·sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3．点P是椭圆＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
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1．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0)　　 B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) 　 D．＝1(y>0)
2．已知椭圆＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　)
A．4　　B．6　　C．30　　D．
3．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－9，25) 　 B．(8，25)
C．(16，25) 　 D．(8，＋∞)
4．已知椭圆的焦点在x轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
5．(教材P51例2改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)；
(2)两焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且经过点．
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1．平面内一点M到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论．
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆．
取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的
两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2．
设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此
|PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而
|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，
又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆．
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