北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线1.1椭圆及其标准方程课件+学案+练习+答案

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北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线1.1椭圆及其标准方程课件+学案+练习+答案

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课时分层作业(十一)
1.D [由于椭圆的焦点在x轴上,所以解得a>3或-62.B [若|MA|+|MB|为定值,只有定值大于|AB|时,点M轨迹才是椭圆,故p为q的必要不充分条件.]
3.C [由椭圆C:=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C.]
4.A [椭圆焦点在x轴上,∴a2=10-m,b2=m-2.又c=2,∴(10-m)-(m-2)=4,∴m=4.]
5.B [若=1表示椭圆,
则有∴2故“26.(0,-),(0,) [方程可化为=1,所以a2=8,b2=3,且焦点在y轴上,又c=,
所以,其焦点坐标为(0,-),(0,).]
7.8 [根据椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形,所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|=m,则|PF2|=2a-|PF1|=8-m,则|PF1|2+|PF2|2=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2)=48,得m(8-m)=8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|=m(8-m)=8.]
8.5 [易知B为椭圆的一个焦点,设椭圆的另一焦点为B',则B'(0,1),如图,连接PB',AB',根据椭圆的定义得|PB|+|PB'|=2a=4,所以|PB|=4-|PB'|,因此,|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB'|)=4+|PA|-|PB'|≤4+|AB'|=4+1=5,当且仅当点P在AB'的延长线上时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大值为5.]
9.解:由已知a=2,b=,所以c==1,
|F1F2|=2c=2,在△PF1F2中,由余弦定理得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,
即|PF2|=4-|PF1|.②
将②代入①解得|PF1|=,
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°=.
10.解:设动圆M和定圆B内切于点C,
由|MA|=|MC|得|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,即动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和等于定圆的半径,
∴动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6,b=,
∴M的轨迹方程是=1.
11.C [由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,
∴周长为4a=4(F是椭圆的另外一个焦点).]
12.CD [对于A,当1对于B,当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线C是圆,所以B错误:
对于C,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
则解得2.5所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3对于D,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
则解得113.ACD [设椭圆的左焦点为F',则|AF'|=|BF|,
∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=6为定值,A正确:
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,
∵|AF|+|BF|为定值6,|AB|的取值范围是(0,6),
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12),B错误:
将y=与椭圆方程联立,可解得A,B,又∵F(,0),∴==0,∴AF⊥BF,
∴△ABF为直角三角形,C正确;
将y=1与椭圆方程联立,
解得A(-,1),B(,1),
∴S△ABF=×2×1=,D正确.]
14.2 120° [由题意知a=3,b=,c=.
由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=6.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2.
又∵|F1F2|=2,在△F1PF2中,由余弦定理可得
cos∠F1PF2=-,∴∠F1PF2=120°.]
15.解:(1)因为椭圆的方程为+y2=1,
所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|≤=4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由得x0=,y0=-.
又=1,所以=1,
化简得λ2+6λ-7=0,
解得λ=-7或λ=1,因为点C异于B点,
所以λ=-7.
(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,
所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1的周长最大,最大值为8.
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第二章 圆锥曲线
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
学习任务 核心素养
1.了解椭圆的实际背景,理解椭圆、焦点、焦距的定义.(重点)
2.掌握椭圆的标准方程及推导过程.(难点)
3.会求简单的椭圆的标准方程.(易混点) 1.通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习,逐步培养数学抽象素养.
2.借助求椭圆的标准方程,培养数学运算素养.
将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上,用笔尖勾直绳子,使笔尖移动.
1.当两定点间的距离等于绳长时,笔尖的轨迹是什么?
2.当两定点间的距离小于绳长时,笔尖的轨迹是什么?
必备知识·情境导学探新知
1.椭圆的有关概念
定义 平面内到两个定点F1,F2的距离________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个____叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的____叫作椭圆的焦距,焦距的____称为半焦距
集合语言 P={M|________________,2a>|F1F2|}
之和等于常数(大于|F1F2|) 
定点 
距离 
一半 
|MF1|+|MF2|=2a
思考 1.椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么?
[提示] 当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点 ____________________ ____________________
a,b,c的关系 __________
(-c,0),(c,0) 
(0,-c),(0,c) 
b2=a2-c2
×
×



2.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是
(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
3.若a=5,c=3,则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为___________.
4.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标为_____________________.

关键能力·合作探究释疑难

4a 
反思领悟 由椭圆定义可知,椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值,所以椭圆定义有以下应用:
(1)实现两个焦半径之间的相互转化;
(2)将两个焦半径之和看成一个整体,求解定值问题.
[跟进训练]
1.一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
[解] 将圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,可知圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为C.
反思领悟 1.求椭圆标准方程的方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后写出其方程.
(2)待定系数法:设出椭圆的标准方程,再依据条件确定a2,b2的值,其一般步骤是:
①定位:确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上,从而设出相应的标准方程的形式.
②定量:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组,求出a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.
2.椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不等的正常数.

1或5 

反思领悟 1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,
当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成
一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|MF1|+|MF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
学习效果·课堂评估夯基础


B [由定义|PF1|+|PF2|=8,知|PF2|=6.]

1.平面内一点M到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
2.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a求解,回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解,也可设Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免分类讨论.
阅读材料·拓展数学大视野
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上,你一定有注意到,当装有液体的试管稍微倾斜一点时,液面的轮廓是椭圆形的.你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗?
如图所示,假设平面α与圆柱相交,而且
平面α不与圆柱的轴垂直,我们需要证明的是:
平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆.
取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面α的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球),并使得两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2.
设P为交线C上任意一点,过P作圆柱的母线,分别与两个球相切于A,B.可以看出,PF1与PA是同一个球的两条切线,PF2与PB也是同一个球的两条切线,因此
|PF1|=|PA|,|PF2|=|PB|,从而
|PF1|+|PF2|=|PA|+|PB|=|AB|,
又因为AB的值是不变的,因此P到F1与F2的距离之和是一个常数,且|AB|>|F1F2|,这就证明了C是一个椭圆.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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课时分层作业(十一) 椭圆及其标准方程
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2.平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么(  )
A.p是q的充分不必要条件
B.p是q的必要不充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

B [若|MA|+|MB|为定值,只有定值大于|AB|时,点M轨迹才是椭圆,故p为q的必要不充分条件.]
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A [椭圆焦点在x轴上,∴a2=10-m,b2=m-2.又c=2,∴(10-m)-(m-2)=4,∴m=4.]
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二、填空题
6.椭圆8x2+3y2=24的焦点坐标为____________________.
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8 [根据椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形,所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|=m,则|PF2|=2a-|PF1|=8-m,则|PF1|2+|PF2|2=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2)=48,得m(8-m)=8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|=m(8-m)=8.]
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5 [易知B为椭圆的一个焦点,设椭圆的另一焦点为B′,则B′(0,1),如图,连接PB′,AB′,根据椭圆的定义得|PB|+|PB′|=2a=4,所以|PB|=4-|PB′|,因此,|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB′|)=
4+|PA|-|PB′|≤4+|AB′|=4+1=5,当且仅当点P在
AB′的延长线上时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大
值为5.]
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10.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆心M的轨迹方程.

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ACD [设椭圆的左焦点为F′,则|AF′|=|BF|,
∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=6为定值,A正确;
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,
∵|AF|+|BF|为定值6,
|AB|的取值范围是(0,6),
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12),B错误;
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(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,
所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1的周长最大,最大值为8.
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15§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
学习任务 核心素养
1.了解椭圆的实际背景,理解椭圆、焦点、焦距的定义.(重点) 2.掌握椭圆的标准方程及推导过程.(难点) 3.会求简单的椭圆的标准方程.(易混点) 1.通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习,逐步培养数学抽象素养. 2.借助求椭圆的标准方程,培养数学运算素养.
将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上,用笔尖勾直绳子,使笔尖移动.
1.当两定点间的距离等于绳长时,笔尖的轨迹是什么?
2.当两定点间的距离小于绳长时,笔尖的轨迹是什么?
1.椭圆的有关概念
定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个定点叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距
集合语言 P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
1.椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么?
[提示] 当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
焦点 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)
a,b,c的关系 b2=a2-c2
2.椭圆=1的焦点是在x轴上,还是在y轴上?
[提示] 椭圆=1的焦点在y轴上.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆. (  )
(2)椭圆+y2=1的焦距为2. (  )
(3)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2. (  )
(4)当m>0,n>0且m≠n时,方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆. (  )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
B [由题意得,椭圆标准方程为x2+=1,又焦点在y轴上,所以-1=12,解得k=2.]
3.若a=5,c=3,则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________.
=1 [∵b2=a2-c2=16,∴焦点在y轴上的椭圆标准方程为=1.]
4.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标为________.
 [方程4x2+9y2=1可化为=1,∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2==,∴c=,
∴焦点坐标为.]
类型1 椭圆定义及应用
【例1】 (1)椭圆=1上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为(  )
A.8     B.4  
C.2     D.
(2)已知B,C,且△ABC的周长等于24,则顶点A的轨迹方程为________.
(3)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的焦点,过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为________.
(1)B (2)=1(y≠0) (3)4a [(1)设F′为椭圆的另一焦点,则|AF|+|AF′|=2a=10,
∴|AF′|=8.∵O,B分别为FF′,AF的中点,
∴|OB|=|AF′|=4.
(2)由已知得,|AB|+|AC|=14,由椭圆的定义可知,顶点A的轨迹是椭圆,
又2c=10,2a=14,即c=5,a=7,
所以b2=a2-c2=24.
当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是=1(y≠0).
(3)∵|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2a+2a=4a.]
 由椭圆定义可知,椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值,所以椭圆定义有以下应用:
(1)实现两个焦半径之间的相互转化;
(2)将两个焦半径之和看成一个整体,求解定值问题.
[跟进训练]
1.一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
[解] 将圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62,可知圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为C.
所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|,而|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|,
所以|BM|+|AM|=6,
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.所以a=3,c=2,b==,
所以所求圆心M的轨迹方程为=1.
类型2 求椭圆的标准方程
【例2】 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标为(-4,0),(4,0),并且过点(-);
(2)经过点P1(,1),P2(-,-).
[思路点拨] (1)设出相应焦点位置的椭圆方程,利用关系式b2=a2-c2及点(-)在椭圆上求待定系数;(2)由于焦点位置不明确,可将其设成Ax2+By2=1(A>0,B>0)的形式,再进一步确定A,B.
[解] (1)依题意知椭圆的焦点在x轴上,可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由已知得c=4,所以a2-b2=16.①
因为点(-)在椭圆上,
所以=1,即=1.②
由①②得a2=20,b2=4.
因此,所求椭圆的标准方程为=1.
(2)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0),由已知得解得A=,B=.
所以所求的椭圆的标准方程为=1.
 1.求椭圆标准方程的方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后写出其方程.
(2)待定系数法:设出椭圆的标准方程,再依据条件确定a2,b2的值,其一般步骤是:
①定位:确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上,从而设出相应的标准方程的形式.
②定量:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组,求出a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.
2.椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不等的正常数.
[跟进训练]
2.(1)求焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程.
(2)某椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2)且过,求椭圆的标准方程.
[解] (1)椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>b>0).又椭圆过点(0,2)和(1,0),
∴解得
∴椭圆的标准方程为+x2=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0),由椭圆的定义知,
2a==2,所以a=,又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6,所以所求标准方程为=1.
类型3 椭圆标准方程的简单应用
【例3】 (1)已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为________.
(2)已知椭圆方程为kx2+3y2-6k=0,焦距为4,则k的值为________.
(1) (2)1或5 [(1)∵椭圆焦点在y轴上,∴其标准方程应为=1(a>b>0),∴|m|-1>5-2m>0,解得2<m<,∴m的取值范围为.
(2)将方程kx2+3y2-6k=0化为=1.
∵焦距为4,∴2c=4,即c=2.
当焦点在x轴上时,6-2k=4,解得k=1;
当焦点在y轴上时,2k-6=4,解得k=5.
综上,k=1或5.]
[母题探究]
将本例(1)中的方程改为:“=1”,其他不变,则实数m的取值范围为________.
 [∵焦点在y轴上,∴m-1>5-2m>0,∴2<m<.]
 1.判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项、y2项的分母哪个大,焦点在分母大的对应的坐标轴上.
2.对于方程=1(m>0,n>0),当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆.
类型4 椭圆中的焦点三角形问题
【例4】 已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的任一点.
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若∠F1PF2=,求△PF1F2的面积.
[解] (1)由|PF1|+|PF2|≥2知,
|PF1|·|PF2|≤==100,当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,
即|PF1|·|PF2|取到最大值100.
(2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6,
则F1(-6,0),F2(6,0).
∵P为椭圆上任一点,∴|PF1|+|PF2|=2a=20.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=12,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|==.
∴=|PF1|·|PF2|sin ==.
 1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|MF1|+|MF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
(3)焦点三角形的面积=|MF1||MF2|·sin θ=b2tan .(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3.点P是椭圆=1上的一点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.
[解] 在椭圆=1中,a=,b=2,
∴c==1.
又点P在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=2. ①
由余弦定理知:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 30°==(2c)2=4. ②
①式两边平方,得
|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20. ③
③-②,得
(2+)|PF1|·|PF2|=16.
∴|PF1|·|PF2|=.
∴=|PF1|·|PF2|·sin 30°=8-4.
1.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点M的轨迹方程为(  )
A.=1(y>0)   B.=1(y>0)
C.=1(y>0)   D.=1(y>0)
A [设点M(x0,y0),则P(x0,2y0),又点P在曲线C上,所以=16(y0>0),即=1(y0>0),即点M的轨迹方程为=1(y>0).故选A.]
2.已知椭圆=1上一点P,它到左焦点F1的距离为2,则它到右焦点F2的距离为(  )
A.4  B.6  C.30  D.
B [由定义|PF1|+|PF2|=8,知|PF2|=6.]
3.若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(  )
A.(-9,25)   B.(8,25)
C.(16,25)   D.(8,+∞)
B [依题意有解得8<m<25,即实数m的取值范围是(8,25).]
4.已知椭圆的焦点在x轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.
+y2=1 [由已知得,2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1.]
5.(教材P51例2改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,);
(2)两焦点分别为(-1,0),(1,0),且经过点.
[解] (1)9x2+5y2=45可化为=1,故焦点为F1(0,2),F2(0,-2).
设所求椭圆的方程为=1(λ>0),将x=2,y=代入,得=1,解得λ=8,λ=-2(舍去).
故所求椭圆的标准方程为=1.
(2)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
由题意知c=1,2a=,
∴a=,b==1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
1.平面内一点M到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
2.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a求解,回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解,也可设Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免分类讨论.
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上,你一定有注意到,当装有液体的试管稍微倾斜一点时,液面的轮廓是椭圆形的.你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗?
如图所示,假设平面α与圆柱相交,而且平面α不与圆柱的轴垂直,我们需要证明的是:平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆.
取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面α的
两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球),并使得两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2.
设P为交线C上任意一点,过P作圆柱的母线,分别与两个球相切于A,B.可以看出,PF1与PA是同一个球的两条切线,PF2与PB也是同一个球的两条切线,因此
|PF1|=|PA|,|PF2|=|PB|,从而
|PF1|+|PF2|=|PA|+|PB|=|AB|,
又因为AB的值是不变的,因此P到F1与F2的距离之和是一个常数,且|AB|>|F1F2|,这就证明了C是一个椭圆.
课时分层作业(十一) 椭圆及其标准方程
一、选择题
1.如果方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(  )
A.(3,+∞)  
B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞)
D.(-6,-2)∪(3,+∞)
D [由于椭圆的焦点在x轴上,所以
即解得a>3或-62.平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么(  )
A.p是q的充分不必要条件
B.p是q的必要不充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
B [若|MA|+|MB|为定值,只有定值大于|AB|时,点M轨迹才是椭圆,故p为q的必要不充分条件.]
3.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(  )
A.13    B.12     
C.9    D.6
C [由椭圆C:=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C.]
4.已知椭圆=1,焦点在x轴上,若焦距为4,则m等于(  )
A.4   B.5
C.7   D.8
A [椭圆焦点在x轴上,∴a2=10-m,b2=m-2.又c=2,∴(10-m)-(m-2)=4,
∴m=4.]
5.“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 
D.既不充分也不必要条件
B [若=1表示椭圆,
则有∴2故“2二、填空题
6.椭圆8x2+3y2=24的焦点坐标为________.
(0,-),(0,) [方程可化为=1,所以a2=8,b2=3,且焦点在y轴上,又c==,
所以,其焦点坐标为(0,-),(0,).]
7.已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为________.
8 [根据椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形,所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|=m,则|PF2|=2a-|PF1|=8-m,则|PF1|2+|PF2|2=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2)=48,得m(8-m)=8,所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|=m(8-m)=8.]
8.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为________.
5 [易知B为椭圆的一个焦点,设椭圆的另一焦点为B′,则B′(0,1),如图,连接PB′,AB′,根据椭圆的定义得|PB|+|PB′|=2a=4,所以|PB|=4-|PB′|,因此,|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB′|)=4+|PA|-|PB′|≤4+|AB′|=4+1=5,当且仅当点P在AB′的延长线上时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大值为5.]
三、解答题
9.已知椭圆的方程为=1,若点P在椭圆上,F1,F2为椭圆的两个焦点,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.
[解] 由已知a=2,b=,所以c==1,
|F1F2|=2c=2,
在△PF1F2中,由余弦定理得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,
即|PF2|=4-|PF1|.②
将②代入①解得|PF1|=,
所以=|PF1|·|F1F2|·sin 120°=×2×=.
10.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
[解] 设动圆M和定圆B内切于点C,
由|MA|=|MC|得|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,即动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和等于定圆的半径,
∴动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6,b==,
∴M的轨迹方程是=1.
11.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(  )
A.2    B.6 
C.4    D.12
C [由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,
∴周长为4a=4(F是椭圆的另外一个焦点).]
12.(多选题)对于曲线C:=1,下面说法正确的是(  )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1CD [对于A,当1对于B,当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线C是圆,所以B错误;
对于C,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3对于D,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则
解得113.(多选题)设椭圆=1的右焦点为F,直线y=m(0A.|AF|+|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m=时,△ABF为直角三角形
D.当m=1时,△ABF的面积为
ACD [设椭圆的左焦点为F′,则|AF′|=|BF|,
∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=6为定值,A正确;
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,
∵|AF|+|BF|为定值6,
|AB|的取值范围是(0,6),
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12),B错误;
将y=与椭圆方程联立,可解得A,B,又∵F(,0),∴==0,∴AF⊥BF,
∴△ABF为直角三角形,C正确;
将y=1与椭圆方程联立,
解得A(-,1),B(,1),
∴S△ABF=×2×1=,D正确.]
14.椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.
2 120° [由题意知a=3,b=,c=.
由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=6.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2.
又∵|F1F2|=2,
在△F1PF2中,由余弦定理可得cos ∠F1PF2=-,∴∠F1PF2=120°.]
15.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值;
(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
[解] (1)因为椭圆的方程为+y2=1,
所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|≤==4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.
又=1,所以=1,
化简得λ2+6λ-7=0,
解得λ=-7或λ=1,因为点C异于B点,
所以λ=-7.
(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|
≤4+|BF2|,
所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1的周长最大,最大值为8.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十一) 椭圆及其标准方程
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共107分
一、选择题
1.如果方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(  )
A.(3,+∞)  
B.(-∞,-2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞)
D.(-6,-2)∪(3,+∞)
2.平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么(  )
A.p是q的充分不必要条件
B.p是q的必要不充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
3.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(  )
A.13    B.12     
C.9    D.6
4.已知椭圆=1,焦点在x轴上,若焦距为4,则m等于(  )
A.4   B.5
C.7   D.8
5.“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 
D.既不充分也不必要条件
二、填空题
6.椭圆8x2+3y2=24的焦点坐标为________.
7.已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为________.
8.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为________.
三、解答题
9.已知椭圆的方程为=1,若点P在椭圆上,F1,F2为椭圆的两个焦点,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.
10.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
11.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(  )
A.2    B.6 
C.4    D.12
12.(多选题)对于曲线C:=1,下面说法正确的是(  )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“113.(多选题)设椭圆=1的右焦点为F,直线y=m(0A.|AF|+|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m=时,△ABF为直角三角形
D.当m=1时,△ABF的面积为
14.椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.
15.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值;
(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
学习任务 核心素养
1.了解椭圆的实际背景,理解椭圆、焦点、焦距的定义.(重点) 2.掌握椭圆的标准方程及推导过程.(难点) 3.会求简单的椭圆的标准方程.(易混点) 1.通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习,逐步培养数学抽象素养. 2.借助求椭圆的标准方程,培养数学运算素养.
将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上,用笔尖勾直绳子,使笔尖移动.
1.当两定点间的距离等于绳长时,笔尖的轨迹是什么?
2.当两定点间的距离小于绳长时,笔尖的轨迹是什么?
1.椭圆的有关概念
定义 平面内到两个定点F1,F2的距离____________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个____叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的____叫作椭圆的焦距,焦距的____称为半焦距
集合语言 P={M|____________________,2a>|F1F2|}
1.椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2.椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
焦点 ____________________ ____________________
a,b,c的关系 __________
2.椭圆=1的焦点是在x轴上,还是在y轴上?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆. (  )
(2)椭圆+y2=1的焦距为2. (  )
(3)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2. (  )
(4)当m>0,n>0且m≠n时,方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆. (  )
2.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
3.若a=5,c=3,则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________.
4.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标为________.
类型1 椭圆定义及应用
【例1】 (1)椭圆=1上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为(  )
A.8     B.4  
C.2     D.
(2)已知B,C,且△ABC的周长等于24,则顶点A的轨迹方程为________.
(3)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的焦点,过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为________.
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
 由椭圆定义可知,椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值,所以椭圆定义有以下应用:
(1)实现两个焦半径之间的相互转化;
(2)将两个焦半径之和看成一个整体,求解定值问题.
[跟进训练]
1.一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2 求椭圆的标准方程
【例2】 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标为(-4,0),(4,0),并且过点(-);
(2)经过点P1(,1),P2(-,-).
[思路点拨] (1)设出相应焦点位置的椭圆方程,利用关系式b2=a2-c2及点(-)在椭圆上求待定系数;(2)由于焦点位置不明确,可将其设成Ax2+By2=1(A>0,B>0)的形式,再进一步确定A,B.
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
 1.求椭圆标准方程的方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后写出其方程.
(2)待定系数法:设出椭圆的标准方程,再依据条件确定a2,b2的值,其一般步骤是:
①定位:确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上,从而设出相应的标准方程的形式.
②定量:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组,求出a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.
2.椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不等的正常数.
[跟进训练]
2.(1)求焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程.
(2)某椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2)且过,求椭圆的标准方程.
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类型3 椭圆标准方程的简单应用
【例3】 (1)已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为________.
(2)已知椭圆方程为kx2+3y2-6k=0,焦距为4,则k的值为________.
[尝试解答] ________________________________________________________
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[母题探究]
将本例(1)中的方程改为:“=1”,其他不变,则实数m的取值范围为________.
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 1.判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项、y2项的分母哪个大,焦点在分母大的对应的坐标轴上.
2.对于方程=1(m>0,n>0),当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆.
类型4 椭圆中的焦点三角形问题
【例4】 已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的任一点.
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若∠F1PF2=,求△PF1F2的面积.
[尝试解答] ________________________________________________________
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 1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|MF1|+|MF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
(3)焦点三角形的面积=|MF1||MF2|·sin θ=b2tan .(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
[跟进训练]
3.点P是椭圆=1上的一点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.
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1.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点M的轨迹方程为(  )
A.=1(y>0)   B.=1(y>0)
C.=1(y>0)   D.=1(y>0)
2.已知椭圆=1上一点P,它到左焦点F1的距离为2,则它到右焦点F2的距离为(  )
A.4  B.6  C.30  D.
3.若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(  )
A.(-9,25)   B.(8,25)
C.(16,25)   D.(8,+∞)
4.已知椭圆的焦点在x轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.
5.(教材P51例2改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,);
(2)两焦点分别为(-1,0),(1,0),且经过点.
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1.平面内一点M到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
2.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a求解,回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解,也可设Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免分类讨论.
倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上,你一定有注意到,当装有液体的试管稍微倾斜一点时,液面的轮廓是椭圆形的.你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗?
如图所示,假设平面α与圆柱相交,而且平面α不与圆柱的轴垂直,我们需要证明的是:平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆.
取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面α的
两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球),并使得两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2.
设P为交线C上任意一点,过P作圆柱的母线,分别与两个球相切于A,B.可以看出,PF1与PA是同一个球的两条切线,PF2与PB也是同一个球的两条切线,因此
|PF1|=|PA|,|PF2|=|PB|,从而
|PF1|+|PF2|=|PA|+|PB|=|AB|,
又因为AB的值是不变的,因此P到F1与F2的距离之和是一个常数,且|AB|>|F1F2|,这就证明了C是一个椭圆.
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