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课时分层作业(十二)
1．B　[将x2＋4y2＝1化为标准方程＝1，则a＝1，b＝，c＝．]
2．B　[椭圆方程可化为＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝，故选B．]
3．C　[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝．]
4．B　[由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，所以c＝3，所以方程表示的椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率为．]
5．C　[设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＝(－2x0，－2y0)，
∴|．
∵点P在椭圆上，∴0≤≤1，
∴当＝1时，||取最小值2．故选C．]
6．[－]　[因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＝1上，
所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，
因此|m|≤，即－．]
7．＝1　[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＝1．]
8．　[设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F'，连接OM，MF'，PF'，则F(－2，0)，F'(2，0)，|OM|＝2，|PF'|＝2|OM|＝4．
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF'|＝6，所以|PF|＝2．
又因为|FF'|＝4，
所以在Rt△MFF'中，tan∠MFF'＝，即直线PF的斜率是．]
9．解：把原方程化成标准方程，得
＝1，
于是a＝5，b＝4，c＝＝3．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
10．解：(1)依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又e＝，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，
∴椭圆的方程为＝1．
(2)设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－，
所以，
即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＝1．
将点M(1，2)代入椭圆方程得＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆方程为＝1．
法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，
故，
即所求椭圆的标准方程为＝1．
11．B　[因为离心率e＝，解得，b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，
B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
12．C　[设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
∵·＝0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c13．BCD　[由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．
又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a．
①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|<|F1F2|，即a<2c，所以e＝．
②当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|＝a＋c，|PF2|＝a－c，所以a＋c＝2(a－c)，即a＝3c，所以e＝．
综上，椭圆的离心率的取值范围是．故选BCD．]
14．ABD　[根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确：
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B正确：
－1，若比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误．
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．]
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第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.2　椭圆的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点)
2．掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点)
3．在用代数法研究椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点) 通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算与直观想象素养．
必备知识·情境导学探新知
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形

标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
对称性 对称轴：________，对称中心：________
范围 －a≤x≤a且
－b≤y≤b －b≤x≤b且
－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
x轴和y轴　
(0，0)　
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长＝____，长轴长＝____
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝____
离心率
2b　
2a　
2c　

√
×
√
√
√
D　[由椭圆的对称性可知，选项A，B，C中的点一定在椭圆上．]

4．焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程为___________．
关键能力·合作探究释疑难
√
√
6　
4　
反思领悟　用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
√
[跟进训练]
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0)．
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点．若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[母题探究]
将本例中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
6　
1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．
3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．
4．对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当运用对称性能简化求解过程．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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课时分层作业(十二)　椭圆的简单几何性质
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2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5，3，0.8 　 B．10，6，0.8
C．5，3，0.6 　 D．10，6，0.6
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二、填空题
6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是_____________．
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三、解答题
9．(源自人教A版教材)求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
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14．(多选题)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别
为2a，2c，下列结论正确的是(　　)
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
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141.2　椭圆的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点) 2．掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点) 3．在用代数法研究椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点) 通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算与直观想象素养．
求曲线方程与用曲线方程研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题．上一节课我们学习了椭圆方程，椭圆有哪些几何性质呢？如何用椭圆方程研究椭圆的几何性质呢？
已知曲线C的方程为f (x，y)＝0．
1．若f(－x，y)＝0与f (x，y)＝0是同解方程，则曲线C关于什么对称？
2．在椭圆＝1(a>b>0)中，x，y的取值范围是什么？
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1 (a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
对称性 对称轴：________，对称中心：________
范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝__，长轴长＝__
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝__
离心率 e＝(0＜e＜1)
(1)椭圆方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？
(2)椭圆上的点到焦点的最远距离与最近距离分别是什么？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a． (　　)
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越扁． (　　)
(3)椭圆＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相等，但焦点不同． (　　)
(4)若F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上的动点，则△MF1F2面积的最大值是bc． (　　)
2．已知点(x0，y0)在椭圆＝1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是(　　)
A．(－x0，y0)　 B．(x0，－y0)
C．(－x0，－y0)　 D．(y0，x0)
3．椭圆＝1的离心率为________．
4．焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程为________．
类型1　椭圆的几何性质
【例1】　(1)椭圆＝1与＝1(0＜k＜9)的(　　)
A．长轴长相等　　 B．短轴长相等
C．离心率相等 　 D．焦距相等
(2)已知椭圆的标准方程为＝1，O为坐标原点，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离|OP|的范围为(　　)
A．[6，10] 　 B．[6，8]
C．[8，10]　　 　 D．[16，20]
(3)椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长为________，短轴长为________．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．已知椭圆＝1的离心率e＝，则实数k的值为(　　)
A．3 　 B．3或
C． 　 D．或
类型2　由椭圆的简单性质求方程
【例2】　【链接教材P55例5】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝；
(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)；
(3)过点(3，0)，离心率e＝．
[思路点拨]　(1)由a＝2，e＝＝，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　已知椭圆的简单性质求标准方程的步骤
(1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论．
(2)然后依据关系式e＝，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程．
[跟进训练]
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0)．
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类型3　求椭圆的离心率
【例3】　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点．若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
将本例中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？
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　求椭圆的离心率的两种方法
(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2，b2，再求出a，c的值，利用公式e＝直接求解；
(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c之间的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e．
1．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A．　　　 B．　
C．　　　 D．
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
3．若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是________．
4．若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任一点，则的最大值为________．
5．(源自人教A版教材)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
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1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．
3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．
4．对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当运用对称性能简化求解过程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十二)　椭圆的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、选择题
1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为(　　)
A．　 　 　 B．　 　 　
C．2　 　 　 D．2
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5，3，0.8 　 B．10，6，0.8
C．5，3，0.6 　 D．10，6，0.6
3．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．方程＝1表示的曲线是(　　)
A．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆
B．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆
C．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆
D．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆
5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么||的最小值是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．2
二、填空题
6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
8．已知椭圆＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
11．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1　 B．＝1
C．＝1 　 D．＋y2＝1
12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0，1) 　 B．
C． 　 D．
13．(多选题)已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
14．(多选题)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　)
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2　椭圆的简单几何性质
学习任务 核心素养
1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点) 2．掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点) 3．在用代数法研究椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点) 通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算与直观想象素养．
求曲线方程与用曲线方程研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题．上一节课我们学习了椭圆方程，椭圆有哪些几何性质呢？如何用椭圆方程研究椭圆的几何性质呢？
已知曲线C的方程为f (x，y)＝0．
1．若f(－x，y)＝0与f (x，y)＝0是同解方程，则曲线C关于什么对称？
2．在椭圆＝1(a>b>0)中，x，y的取值范围是什么？
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1 (a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0)
范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝(0＜e＜1)
(1)椭圆方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？
(2)椭圆上的点到焦点的最远距离与最近距离分别是什么？
[提示]　(1)在方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．
即a，b，c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．
(2)最远距离：a＋c；最近距离：a－c．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a． (　　)
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越扁． (　　)
(3)椭圆＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相等，但焦点不同． (　　)
(4)若F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上的动点，则△MF1F2面积的最大值是bc． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知点(x0，y0)在椭圆＝1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是(　　)
A．(－x0，y0)　 B．(x0，－y0)
C．(－x0，－y0)　 D．(y0，x0)
D　[由椭圆的对称性可知，选项A，B，C中的点一定在椭圆上．]
3．椭圆＝1的离心率为________．
　[∵a2＝16，b2＝4，∴c2＝12，∴e＝＝＝．]
4．焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程为________．
＝1　[由题意，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
则2a＝8，2b＝6，即a＝4，b＝3，
故椭圆的标准方程为＝1．]
类型1　椭圆的几何性质
【例1】　(1)椭圆＝1与＝1(0＜k＜9)的(　　)
A．长轴长相等　　 B．短轴长相等
C．离心率相等 　 D．焦距相等
(2)已知椭圆的标准方程为＝1，O为坐标原点，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离|OP|的范围为(　　)
A．[6，10] 　 B．[6，8]
C．[8，10]　　 　 D．[16，20]
(3)椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长为________，短轴长为________．
(1)D　(2)C　(3)6　4　[(1)椭圆＝1中＝25－9＝16，椭圆＝1中＝25－k－(9－k)＝16，∴两椭圆焦距相等．
(2)设P(x0，y0)，则|OP|＝．
由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，
∵P在椭圆上，∴＝1，
∴＝，∴|OP|＝．
∵∴＋64≤100，∴8≤|OP|≤10．
(3)把已知方程化为椭圆的标准方程为：＝1，∴a＝3，b＝2，
∴长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．]
　用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c．
(4)写出椭圆的几何性质．
[跟进训练]
1．已知椭圆＝1的离心率e＝，则实数k的值为(　　)
A．3 　 B．3或
C． 　 D．或
B　[当焦点在x轴上时，由椭圆方程＝1，可知a2＝5，b2＝k>0，则c2＝a2－b2＝5－k，而e2＝＝＝，解之得k＝3．
当焦点在y轴上时，由椭圆方程＝1，可知a2＝k>5，b2＝5，则c2＝a2－b2＝k－5，而e2＝＝＝，解之得k＝，
综上，符合条件的实数k值为3或，因此选B．]
类型2　由椭圆的简单性质求方程
【例2】　【链接教材P55例5】
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝；
(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)；
(3)过点(3，0)，离心率e＝．
[思路点拨]　(1)由a＝2，e＝＝，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．
[解]　(1)由a＝2，e＝，可得a2＝4，且＝，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3．已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为＝1．
(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34．因此所求的标准方程为＝1．
(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＝1．
综上，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．
【教材原题·P55例5】
例5　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点P(－6，0)和Q(0，8)．
[解]　(1)由已知2a＝12，e＝＝，得a＝6，c＝4，
从而b2＝a2－c2＝20．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有b＝6，a＝8．
又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为＝1．
　已知椭圆的简单性质求标准方程的步骤
(1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论．
(2)然后依据关系式e＝，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程．
[跟进训练]
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0)．
[解]　(1)若焦点在x轴上，设方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意得c＝4，e＝，
∴a＝5，b＝3．
∴椭圆的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，
同理可求得椭圆的标准方程为＝1．
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1．
(2)若焦点在x轴上，
设方程为＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点(3，0)，∴a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1．
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．
若焦点在y轴上，设方程为＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点(3，0)，∴b＝3．
又2a＝3×2b，
∴a＝9．
∴椭圆的标准方程为＝1．
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1．
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点．若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[解]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，
因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，
所以|F1F2|＝＝x＝2c，
由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，
所以e＝＝＝．
[母题探究]
将本例中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？
[解]　如图，连接BF2．因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2B⊥BF1．
又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
所以|BF1|＝c，|BF2|＝c．
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以＝－1．
所以椭圆的离心率为－1．
　求椭圆的离心率的两种方法
(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2，b2，再求出a，c的值，利用公式e＝直接求解；
(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c之间的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e．
1．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A．　　　 B．　
C．　　　 D．
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
B　[由9x2＋4y2＝36可得＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＝1．]
3．若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是________．
(－)　[∵点A在椭圆内部，∴＜1，
∴a2＜2，∴－＜a＜．]
4．若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任一点，则的最大值为________．
6　[由椭圆＝1，可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，x∈[－2，2]，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值为6．]
5．(源自人教A版教材)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
[解]　如图，设d是点M到直线l：x＝的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝．
由此得＝．
将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，
即＝1．
所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．
1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．
3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．
4．对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当运用对称性能简化求解过程．
课时分层作业(十二)　椭圆的简单几何性质
一、选择题
1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为(　　)
A．　 　 　 B．　 　 　
C．2　 　 　 D．2
B　[将x2＋4y2＝1化为标准方程＝1，则a＝1，b＝，c＝＝．故焦距为2c＝．]
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5，3，0.8 　 B．10，6，0.8
C．5，3，0.6 　 D．10，6，0.6
B　[椭圆方程可化为＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故选B．]
3．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝．]
4．方程＝1表示的曲线是(　　)
A．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆
B．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆
C．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆
D．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆
B　[由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，所以c＝3，所以方程表示的椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率为．]
5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么||的最小值是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．2
C　[设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＝(－2x0，－2y0)，
∴||＝＝＝．
∵点P在椭圆上∴≤1，
∴当＝1时，||取最小值2．故选C．]
二、填空题
6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
[－]　[因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＝1上，
所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，
因此|m|≤，即－≤m≤．]
7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
＝1或＝1　[因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．]
8．已知椭圆＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
　[设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，PF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4．
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2．
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，tan ∠MFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
[解]　把原方程化成标准方程，得＝1，
于是a＝5，b＝4，c＝＝3．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
[解]　(1)依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又e＝，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，
∴椭圆的方程为＝1．
(2)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，
所以＝，
即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＝1或＝1．
将点M(1，2)代入椭圆方程得＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆方程为＝1或＝1．
法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，
故＝或＝，
即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．
11．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　)
A．＝1　 B．＝1
C．＝1 　 D．＋y2＝1
B　[因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，
A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，
B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，
故椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0，1) 　 B．
C． 　 D．
C　[设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
∵＝0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，
即c∴e2＝<，∴013．(多选题)已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
BCD　[由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．
又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a．
①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|<|F1F2|，即a<2c，所以e＝>．
②当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|＝a＋c，|PF2|＝a－c，所以a＋c＝2(a－c)，即a＝3c，所以e＝＝．
综上，椭圆的离心率的取值范围是．故选BCD．]
14．(多选题)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　)
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
ABD　[根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B正确；
＝＝－1，若比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误．
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．]
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