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§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
学习任务 核心素养
1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点) 1．通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
1．双曲线的有关概念
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 两个定点叫作双曲线的焦点
焦距 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距
集合语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}
1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)动点的轨迹是双曲线的一支．
2．双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
2．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？
[提示]　a，b的值及焦点所在的位置．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(1，0)，F2(－1，0)距离之差的绝对值等于2的点的集合是双曲线． (　　)
(2)平面内到点F1(0，2)，F2(0，－2)距离之差等于3的点的集合是双曲线． (　　)
(3)双曲线的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝c2－b2． (　　)
(4)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知动点P(x，y)在双曲线＝1上，则(　　)
A．＝4
B．＝4
C．＝4
D．＝4
D　[利用双曲线定义求解．]
3．双曲线＝1的焦点坐标为________．
(2，0)，(－2，0)　[∵c2＝a2＋b2＝20，
∴c＝2，∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．]
类型1　双曲线的定义及应用
　双曲线中焦点三角形的面积问题
【例1】　已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16．
　利用双曲线定义求点的轨迹方程
【例2】　已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
[思路点拨]　 考查点F的几何性质，利用双曲线的定义求解．
[解]　设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，
|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|．
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝＝2，即|FA|－|FB|＝2．
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．
　1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，要注意||PF1|－|PF2||＝2a的变形运用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程的基本步骤：
(1)寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
(2)根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)；
(3)判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c的值；
(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
1．在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
从而有|AC|－|BC|＝|AB|＝2<|AB|．
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为＝1(x>)．
类型2　求双曲线的标准方程
【例3】　(1)已知双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
[解]　(1)设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，
则解得
所以双曲线的标准方程为＝1．
(2)法一：设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意易求得c＝2．又双曲线过点(3，2)，
∴＝1．又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8．
故所求双曲线方程为＝1．
法二：设双曲线方程为＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为＝1．
　用待定系数法求双曲线方程的步骤
[跟进训练]
2．根据条件求双曲线的标准方程：
(1)a＝，经过点A(－2，5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＝1共焦点且过点(3)．
[解]　(1)设双曲线标准方程为＝1(a>0，b>0)，由题意知＝1，解得b2＝1．
∴双曲线的标准方程为－x2＝1．
(2)椭圆＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝20．
又∵双曲线过点(3)，
∴＝1．
∴a2＝20－2，b2＝2．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
类型3　曲线类型的判定
【例4】　已知曲线C：＝1(t≠0，t≠±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别表示椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[解]　(1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当|t|<1且t≠0时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，
∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
当|t|<1且t≠0时，曲线C为双曲线，方程为＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
　方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的．
[跟进训练]
3．若方程＝1表示双曲线，则实数m满足(　　)
A．m≠1且m≠－3　　　 B．m＞1
C．m＜－或m＞ 　 D．－3＜m＜1
C　[因为方程＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞，故选C．]
1．双曲线＝1的焦距为(　　)
A．3　　 　 B．4
C．3 　 D．4
D　[由标准方程得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝12，c＝2，所以焦距2c＝4．]
2．双曲线＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是(　　)
A．17 　 B．7
C．7或17 　 D．2或22
D　[由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10．解得|PF2|＝2或|PF2|＝22．]
3．已知双曲线＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________．
[答案]　
4．若方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(－1，1)　[由题意知，(1＋k)(1－k)>0，即－15．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________．
16　48　[在＝1中，a＝3，b＝4，c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5．
∴由条件知，|PF2|＝|F1F2|＝2c＝10．
又∵P为双曲线C的右支上一点，
∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16．
过F2作F2T⊥PF1于T，
则T为PF1的中点．
且|PT|＝8，∴|F2T|＝6，
∴＝×16×6＝48．]
1．对双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的应用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：确定a2，b2的数值．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．
课时分层作业(十三)　双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3　　
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
[答案]　A
2．椭圆＝1和双曲线＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　)
A．±5　 　 　 B．±3　 　 　
C．5　 　 　 D．9
B　[由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．]
3．双曲线＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)
A．1或21 　 B．14或36　　
C．2　　　　 　 D．21
D　[设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D．]
4．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，则实数k＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B．]
5．若k∈R，则“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
A　[若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，
∴k<－3或k>3，故“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．]
二、填空题
6．双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．
　[由题意知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝．]
7．已知F1，F2是双曲线＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．
16　[由双曲线方程得，2a＝8．
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．]
8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．
－8　[将x2－y2＝16化为标准形式为＝1，所以a2＝16，2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8．]
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．
[解]　(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)椭圆＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为＝1．
10．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
[解]　(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径均为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
11．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　　 B．4　　
C．6　　　　 D．8
B　[在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝，又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2，
则|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝8．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，则4＋|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4．]
12．(多选题)已知方程＝1(k∈R)，则下列说法中正确的有(　　)
A．方程＝1可表示圆
B．当k>9时，方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆
C．当－16D．当方程＝1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
BCD　[对于A，当方程＝1表示圆时，16＋k＝k－9>0，无解，故A错误；
对于B，当k>9时，＝＝1，16＋k>k－9，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当－160，9－k>0，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当方程＝1表示双曲线时，c2＝16＋k＋9－k＝25；当方程＝1表示椭圆时，c2＝16＋k－(k－9)＝25，所以焦距均为10，故D正确．故选BCD．]
13．(多选题)已知点P是双曲线E：＝1的右支上在x轴上方的一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2为锐角三角形
C．△PF1F2的周长为
D．△PF1F2的内切圆半径为
ACD　[由双曲线E：＝1，
知a＝4，b＝3，c＝5，
对于A，设P(m，n)，m>0，n>0，
由已知得＝|F1F2|n＝cn＝5n＝20，
即n＝4，由＝1，可得m＝，故A正确；
对于B，由P，F2(5，0)，
可得＝>0，则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故B错误；
对于C，利用两点之间的距离，
可知|PF1|＝＝，
|PF2|＝＝，
则△PF1F2的周长为＋10＝，故C正确；
对于D，设△PF1F2的内心为I，
连接IP，IF1，IF2(图略)，内切圆半径为r，
利用等面积法可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，可得r＝40，解得r＝，故D正确．
故选ACD．]
14．设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．
－2　　[设双曲线的另一焦点为F′，则有F′(－2，0)，F(2，0)，连接AF′(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF′|－2)≥|AF′|－2＝－2；|PB|＋|PF|≥|BF|＝．]
15．如图所示，已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的内切圆的圆心为I．
(1)求点I的横坐标；
(2)若△PIF1，△PIF2，△F1IF2的面积满足＝，求λ的值．
[解]　(1)如图所示，设PF1，PF2，F1F2分别与圆I相切于点A，B，C，
则|PA|＝|PB|，|AF1|＝|CF1|，|BF2|＝|CF2|．
由双曲线的定义，
可得|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|＝|CF1|－|CF2|＝2．
设点I的横坐标为t，则点C(t，0)，
所以|CF1|－|CF2|＝(t＋2)－(2－t)＝2t＝2，
解得t＝1，所以点I的横坐标为1．
(2)设圆I的半径为r，
由＝，
得r·|PF1|＝r·|PF2|＋λr·|F1F2|，
所以|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
即4λ＝2，解得λ＝．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十三)　双曲线及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3　　
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
2．椭圆＝1和双曲线＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　)
A．±5　 　 　 B．±3　 　 　
C．5　 　 　 D．9
3．双曲线＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)
A．1或21 　 B．14或36　　
C．2　　　　 　 D．21
4．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，则实数k＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．若k∈R，则“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．
7．已知F1，F2是双曲线＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．
8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．
10．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
11．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　　 B．4　　
C．6　　　　 D．8
12．(多选题)已知方程＝1(k∈R)，则下列说法中正确的有(　　)
A．方程＝1可表示圆
B．当k>9时，方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆
C．当－16D．当方程＝1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
13．(多选题)已知点P是双曲线E：＝1的右支上在x轴上方的一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2为锐角三角形
C．△PF1F2的周长为
D．△PF1F2的内切圆半径为
14．设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．
15．如图所示，已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的内切圆的圆心为I．
(1)求点I的横坐标；
(2)若△PIF1，△PIF2，△F1IF2的面积满足＝，求λ的值．
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2.1　双曲线及其标准方程
第二章　圆锥曲线
§2　双曲线
学习任务 核心素养
1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)
3．会求双曲线的标准方程．(易混点) 1．通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养．
2．借助双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开
或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M
在运动过程中满足什么几何条件？
必备知识·情境导学探新知
1．双曲线的有关概念
定义 平面内到两个定点F1，F2的________________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 两个____叫作双曲线的焦点
焦距 两焦点间的____叫作双曲线的焦距
集合语言 P＝{M|__________________，0<2a<|F1F2|}
距离之差的绝对值　
定点　
距离　
||MF1|－|MF2||＝2a
思考　1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)动点的轨迹是双曲线的一支．
2．双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ____________________ ____________________
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的关系 c2＝______


a2＋b2
思考　2．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？
[提示]　a，b的值及焦点所在的位置．
×
×
√
×
√
D　[利用双曲线定义求解．]
关键能力·合作探究释疑难
角度2　利用双曲线定义求点的轨迹方程
【例2】　已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
[思路点拨]　考查点F的几何性质，利用双曲线的定义求解．
反思领悟　1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，要注意||PF1|－|PF2||＝2a的变形运用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程的基本步骤：
(1)寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
(2)根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)；
(3)判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c的值；
(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
反思领悟　用待定系数法求双曲线方程的步骤
反思领悟　方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的．
√
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
D　[由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10．解得|PF2|＝2或|PF2|＝22．]
(－1，1)　[由题意知，(1＋k)(1－k)>0，即－1
(－1，1)　
16　
48　
1．对双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的应用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：确定a2，b2的数值．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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14
15
课时分层作业(十三)　双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3　　
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
题号
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B　[由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．]
题号
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D　[设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D．]
题号
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16　[由双曲线方程得，2a＝8．
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．]
16　
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8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．
－8　
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(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
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11．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　B．4　　 C．6　　　D．8
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[解]　(1)如图所示，设PF1，PF2，F1F2分别与圆I相切于点A，B，C，
则|PA|＝|PB|，|AF1|＝|CF1|，|BF2|＝|CF2|．
由双曲线的定义，
可得|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|＝|CF1|－|CF2|＝2．
设点I的横坐标为t，则点C(t，0)，
所以|CF1|－|CF2|＝(t＋2)－(2－t)＝2t＝2，
解得t＝1，所以点I的横坐标为1．
题号
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15§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
学习任务 核心素养
1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点) 1．通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
做下面一个试验．
(1)取一条拉链，拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
1．双曲线的有关概念
定义 平面内到两个定点F1，F2的________________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 两个____叫作双曲线的焦点
焦距 两焦点间的____叫作双曲线的焦距
集合语言 P＝{M|________________________，0<2a<|F1F2|}
1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ______________ ______________
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c的关系 c2＝______
2．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？
___________________________________________________________________
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___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(1，0)，F2(－1，0)距离之差的绝对值等于2的点的集合是双曲线． (　　)
(2)平面内到点F1(0，2)，F2(0，－2)距离之差等于3的点的集合是双曲线． (　　)
(3)双曲线的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝c2－b2． (　　)
(4)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
2．已知动点P(x，y)在双曲线＝1上，则(　　)
A．＝4
B．＝4
C．＝4
D．＝4
3．双曲线＝1的焦点坐标为________．
类型1　双曲线的定义及应用
　双曲线中焦点三角形的面积问题
【例1】　已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　利用双曲线定义求点的轨迹方程
【例2】　已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
[思路点拨]　 考查点F的几何性质，利用双曲线的定义求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，要注意||PF1|－|PF2||＝2a的变形运用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程的基本步骤：
(1)寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
(2)根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)；
(3)判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c的值；
(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
[跟进训练]
1．在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型2　求双曲线的标准方程
【例3】　(1)已知双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　用待定系数法求双曲线方程的步骤
[跟进训练]
2．根据条件求双曲线的标准方程：
(1)a＝，经过点A(－2，5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＝1共焦点且过点(3)．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3　曲线类型的判定
【例4】　已知曲线C：＝1(t≠0，t≠±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别表示椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的．
[跟进训练]
3．若方程＝1表示双曲线，则实数m满足(　　)
A．m≠1且m≠－3　　　 B．m＞1
C．m＜－或m＞ 　 D．－3＜m＜1
1．双曲线＝1的焦距为(　　)
A．3　　 　 B．4
C．3 　 D．4
2．双曲线＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是(　　)
A．17 　 B．7
C．7或17 　 D．2或22
3．已知双曲线＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________．
4．若方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
5．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________．
1．对双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的应用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．
2．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：确定a2，b2的数值．
提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十三)
1．A
2．B　[由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．]
3．D　[设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而14．B　[因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B．]
5．A　[若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，
∴k<－3或k>3，故“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．]
6．　[由题意知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝．]
7．16　[由双曲线方程得，2a＝8．
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，
所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．]
8．－8　[将x2－y2＝16化为标准形式为＝1，所以a2＝16，2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8．]
9．解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以
故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)椭圆＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则
故所求双曲线的标准方程为＝1．
10．解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径均为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
11．B　[在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2，
则|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝8．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，则4＋|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4．]
12．BCD　[对于A，当方程＝1表示圆时，16＋k＝k－9>0，无解，故A错误：
对于B，当k>9时，＝1，16＋k>k－9，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确：
对于C，当－160，9－k>0，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确：
对于D，当方程＝1表示双曲线时，c2＝16＋k＋9－k＝25：当方程＝1表示椭圆时，c2＝16＋k－(k－9)＝25，所以焦距均为10，故D正确．故选BCD．]
13．ACD　[由双曲线E：＝1，
知a＝4，b＝3，c＝5，
对于A，设P(m，n)，m>0，n>0，
由已知得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，
即n＝4，由＝1，可得m＝，故A正确：
对于B，由P，F2(5，0)，
可得>0，则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故B错误：
对于C，利用两点之间的距离，
可知|PF1|＝，
|PF2|＝，
则△PF1F2的周长为，故C正确：
对于D，设△PF1F2的内心为I，
连接IP，IF1，IF2(图略)，内切圆半径为r，
利用等面积法可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选ACD．]
14．－2　　[设双曲线的另一焦点为F'，则有F'(－2，0)，F(2，0)，连接AF'(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF'|－2)≥|AF'|－2＝－2：|PB|＋|PF|≥|BF|＝．]
15．解：(1)如图所示，设PF1，PF2，F1F2分别与圆I相切于点A，B，C，
则|PA|＝|PB|，|AF1|＝|CF1|，
|BF2|＝|CF2|．
由双曲线的定义，
可得|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|＝|CF1|－|CF2|＝2．
设点I的横坐标为t，则点C(t，0)，
所以|CF1|－|CF2|＝(t＋2)－(2－t)＝2t＝2，
解得t＝1，所以点I的横坐标为1．
(2)设圆I的半径为r，
由，
得r·|PF1|＝r·|PF2|＋λr·|F1F2|，
所以|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
即4λ＝2，解得λ＝．
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