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课时分层作业(十七)　直线与圆锥曲线的位置关系
说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共100分
一、选择题
1．直线x＝1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离　　 B．相切
C．相交 　 D．无法确定
2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　)
A．x3＝x1＋x2 　 B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 　 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A．　　　 B．　
C．　　　 D．2
4．设双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．
5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．3
二、填空题
6．设P是双曲线＝1右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则|PE|·|PF|的值为________．
7．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，则|AB|等于________．
8．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，正确结论的序号是________．
三、解答题
9．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1．
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．
10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)
A．1 　 B．－1
C．－ 　 D．以上都不对
12．已知集合A＝B＝则A∩B中元素个数为(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．不确定
13．已知斜率为2的直线l过双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点，若直线l与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________；若直线l与双曲线的一支相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
14．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十七)
1．B　[∵椭圆x2＋＝1的短半轴b＝1，∴直线x＝1与椭圆相切．]
2．B　[由 消去y，得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0，得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3．]
3．A　[法一：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝．
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．
法二：因为点P在椭圆＋y2＝1上，
所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．]
4．C　[双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝，代入抛物线方程，整理得ax2－bx＋a＝0，
因渐近线与抛物线相切，故b2－4a2＝0，即c2＝5a2 e＝．]
5．A　[kAB＝＝－1，且y2－y1＝2()，
所以x2＋x1＝－，又在直线y＝x＋m上，∴＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m．又y1＝2，y2＝2，∴2()＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，∴2m＝3，m＝．]
6．　[渐近线方程为2x±y＝0，设P(x0，y0)，则＝1，所以4＝16．
由点到直线的距离公式有|PE|＝，|PF|＝，∴|PE|·|PF|＝．]
7．　[由3x2＋4y2＝48，得＝1，
∴a2＝16，b2＝12，c2＝4，
∴F(－2，0)，直线l的方程为y＝x＋2．
由得7x2＋16x－32＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝·|x1－x2|＝．]
8．②③　[设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为·＝a2，
∵a>1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．]
9．解：(1)如图，由题意可知
故则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＝1，
此椭圆的离心率e＝．
(2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)．由消y，可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝．
由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)，
所以×4×|yP－yQ|，×1×|yP|，
因为，所以2|yP－yQ|＝|yP|，
①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去．
②当2|yQ|－2|yp|＝|yp|时，2|yQ|＝3|yp|，即有4|k|＝，解得k＝±．
故直线A2P的方程为y＝±(x－2)．
10．证明： 如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，　　①
点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为
y＝x，　　②
抛物线的准线方程是x＝－．　　③
联立②③，可得点D的纵坐标为－．
因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为y＝．　　④
联立①④，消去x，可得y0y2－(－p2)y－y0p2＝0，即
(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．
当＝p2时，易知结论成立．
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．C　[的几何意义是椭圆上的点与定点(2，0)连线的斜率．显然直线与椭圆相切时取得最值，
设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y，得x2－4k2x＋4k2－4＝0．
令Δ＝0，则k＝±．∴kmin＝－．]
12．C　[由mx－y－2m＋1＝0，得y－1＝m，
∴直线mx－y－2m＋1＝0恒过定点P．
∵－3<2<3，－2<1<2，∴点P在椭圆＝1内，
∴直线mx－y－2m＋1＝0与椭圆＝1相交，
∴A∩B中元素个数为2．]
13．(3，＋∞)　　[当直线l与双曲线的左、右两支都相交时，双曲线的一条渐近线的斜率，即，因此该双曲线的离心率e＝>3．
当直线l与双曲线的一支相交时，双曲线的一条渐近线的斜率，即，因此该双曲线的离心率e＝≤3．又e>1，∴114．解：(1)设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0．
由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为，直线NA2的方程为，
所以，得．
因为
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
学习任务 核心素养
1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 2．掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法．(难点) 1．通过学习直线与圆锥曲线的三种位置关系，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助求解直线与圆锥曲线的有关问题，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养．
1．设曲线C1：f (x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，则点是曲线C1，C2的一个交点的充要条件是什么？
2．如何求曲线C1，C2的交点？
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(x)得到一个关于变量x(y)的一元方程，
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0．
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，
Δ＞0 直线与圆锥曲线C____；
Δ＝0 直线与圆锥曲线C____；
Δ＜0 直线与圆锥曲线C____．
(2)当a＝0，b≠0时，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是____；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是__________．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)．
若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝x与抛物线y2＝2x的交点是点(0，0)与(2，2)． (　　)
(2)直线y＝k与抛物线y2＝2x一定相交． (　　)
(3)当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线不可能相切． (　　)
(4)直线与圆锥曲线公共点最多两个． (　　)
2．过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(　　)
A．1条　　　 B．2条　
C．3条　　　 D．4条
3．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．
4．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点的坐标为________．
类型1　直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　【链接教材P79例3】
在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围．
[思路点拨]　在第(1)问中，可用直接法求点M的轨迹方程．在第(2)问中，需注意考虑k＝0及k≠0的情况，当k≠0时，还需讨论方程的判别式Δ．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．
2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．
[跟进训练]
1．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＝1的公共点个数为(　　)
A．0　　　 B．1　　
C．2　　　 D．不确定
类型2　弦长问题
【例2】　过点P(－1，1)的直线与椭圆＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|．
[思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)，再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0．
2．直线y＝kx＋b与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．
[跟进训练]
2．已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，若|AB|<，试求直线l斜率的取值范围．
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类型3　圆锥曲线的综合问题
【例3】　设直线l：y＝k(x＋1)与椭圆x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
(1)证明：a2>；
(2)若＝2，求△OAB面积的最大值．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．利用代数法(方程的思想)解决最值及范围问题时，常用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
2．向量的工具性，如本例中“＝2”变相给出了A，B两点坐标间的关系，为根与系数的关系和进一步运算奠定了基础．
3．求最值时，常利用函数思想或基本不等式求解．
[跟进训练]
3．已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
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1．(教材P81例5改编)若直线y＝2(x－1)与椭圆＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)
A．(－3，0) 　 B．(0，－3)
C．(3，0) 　 D．(0，3)
3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________．
4．求过椭圆＝1内一点M(1，1)的弦AB的中点的轨迹方程．
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1．直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．
2．涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)来解决，弦过焦点时，也可用定义来解决．
3．解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用根与系数的关系及中点坐标公式求解；二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
学习任务 核心素养
1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 2．掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法．(难点) 1．通过学习直线与圆锥曲线的三种位置关系，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助求解直线与圆锥曲线的有关问题，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养．
1．设曲线C1：f (x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，则点是曲线C1，C2的一个交点的充要条件是什么？
2．如何求曲线C1，C2的交点？
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(x)得到一个关于变量x(y)的一元方程，
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0．
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，
Δ＞0 直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0 直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0 直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)．
若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？
[提示]　不一定相切．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线， 则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝x与抛物线y2＝2x的交点是点(0，0)与(2，2)． (　　)
(2)直线y＝k与抛物线y2＝2x一定相交． (　　)
(3)当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线不可能相切． (　　)
(4)直线与圆锥曲线公共点最多两个． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(　　)
A．1条　　　 B．2条　
C．3条　　　 D．4条
B　[由于点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x轴平行．]
3．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．
　[联立方程得消去y得x2－(x＋4)2＝1，则x＝－，代入y＝x＋4得y＝．
故直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为．]
4．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点的坐标为________．
　[设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(x0，y0)，
由得3x2＋4x－2＝0，则x1＋x2＝－，
∴x0＝(x1＋x2)＝－，∴y0＝x0＋1＝，
故弦的中点坐标为．]
类型1　直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　【链接教材P79例3】
在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围．
[思路点拨]　在第(1)问中，可用直接法求点M的轨迹方程．在第(2)问中，需注意考虑k＝0及k≠0的情况，当k≠0时，还需讨论方程的判别式Δ．
[解]　(1)设点M，依题意得＝＋1，即＝＋1，化简整理得y2＝2．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1 ：y2＝4x，C2 ：y＝0(x＜0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．①
(ⅰ)当k＝0时，此时y＝1．
把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝．
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点．
(ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，
由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－．③
当x0≤0时，Δ<0，由②③解得k＜－1，或k＞．
即当k∈(－∞，－1)时，直线l与C1 没有公共点，与C2 有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
当x0>0时，Δ＝0，由②③知，k不存在．
综合(ⅰ)(ⅱ)知，当k∈(－∞，－1)∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
【教材原题·P79例3】
例3　已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C：y2＝x有唯一的公共点，求直线l的方程．
[解]　如图2－37．
图2－37(1)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1．
由方程组消去y并整理，得
k2x2＋(2k－1)x＋1＝0．　(*)
①当k2＝0时，直线l的方程为y＝1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件；
②当k2≠0时，方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ＝(2k－1)2－4k2＝0．
解得k＝．此时，方程组有唯一的实数解，符合条件．
综上，满足题意的直线l有三条：x＝0，y＝1，y＝x＋1．
　1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．
2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．
[跟进训练]
1．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＝1的公共点个数为(　　)
A．0　　　 B．1　　
C．2　　　 D．不确定
C　[由题意，得>2，即m2＋n2<4，
∴<1，∴点P(m，n)在椭圆＝1内，∴过点P(m，n)的直线与椭圆＝1相交，∴过点P(m，n)的直线与椭圆＝1有两个公共点．]
类型2　弦长问题
【例2】　过点P(－1，1)的直线与椭圆＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|．
[思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)，再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．
[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上，得
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0．①
显然x1≠x2，故由①得kAB＝＝－．
因为点P是AB的中点，
所以有x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2．②
把②代入①得kAB＝，故直线AB的方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0．
由消去y得3x2＋6x＋1＝0，Δ＝36－12＝24＞0．
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝＝．
　1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0．
2．直线y＝kx＋b与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．
[跟进训练]
2．已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，若|AB|<，试求直线l斜率的取值范围．
[解]　设直线AB的方程为y＝kx＋3或x＝0，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB的方程为x＝0时，
|AB|＝4>，与题意不符．
当AB的方程为y＝kx＋3时，
由题设可得A，B的坐标是方程组的解，
消去y，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)>0，即k2>5，①
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
因为|AB|＝<，
所以<，
解得－由①②知5∴综上所述，直线l的斜率的取值范围为(－2，－)∪(，2)．
类型3　圆锥曲线的综合问题
【例3】　设直线l：y＝k(x＋1)与椭圆x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
(1)证明：a2>；
(2)若＝2，求△OAB面积的最大值．
[解]　(1)证明：依题意，当k＝0时，a2>0，显然成立；
当k≠0时，y＝k(x＋1)可化为x＝y－1．
将x＝y－1代入x2＋3y2＝a2，
消去x，得y2－y＋1－a2＝0．①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝－4(1－a2)>0，
化简整理得a2>．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知C(－1，0)．
由①，得y1＋y2＝．②
因为＝(－1－x1，－y1)，＝(x2＋1，y2)，
由＝2，得y1＝－2y2．③
由②③联立，解得y2＝．
△OAB的面积S＝|OC|·|y1－y2|＝|y2|＝＝，
当且仅当＝3|k|，即k2＝时，上式等号成立，此时，△AOB面积的最大值为．
　1．利用代数法(方程的思想)解决最值及范围问题时，常用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
2．向量的工具性，如本例中“＝2”变相给出了A，B两点坐标间的关系，为根与系数的关系和进一步运算奠定了基础．
3．求最值时，常利用函数思想或基本不等式求解．
[跟进训练]
3．已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解]　(1)设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，由已知得a＝，c＝2，∴b＝1．
故所求双曲线方程为－y2＝1．
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
故k2≠且k2＜1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由＞2得x1x2＋y1y2＞2，
又∵y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＋2＝＋2，
∴＋2＞2，
∴＞0．
又∵k2≠且k2＜1，
∴＜k2＜1．
∴k的取值范围为．
1．(教材P81例5改编)若直线y＝2(x－1)与椭圆＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0．解得x1＝0，x2＝，分别代入y＝2(x－1)，得y1＝－2，y2＝．
∴|AB|＝＝．]
2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)
A．(－3，0) 　 B．(0，－3)
C．(3，0) 　 D．(0，3)
A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以＝．又＝＝2x2，所以y1y2＝6．设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x，得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．]
3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________．
(－2，2)　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－24．求过椭圆＝1内一点M(1，1)的弦AB的中点的轨迹方程．
[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
弦AB的中点为P(x，y)，
则
由①－②得＝＝，
而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．
∴＝，
整理，得轨迹方程为x2＋4y2－x－4y＝0．
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．
2．涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)来解决，弦过焦点时，也可用定义来解决．
3．解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用根与系数的关系及中点坐标公式求解；二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
课时分层作业(十七)　直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．直线x＝1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离　　 B．相切
C．相交 　 D．无法确定
B　[∵椭圆x2＋＝1的短半轴b＝1，∴直线x＝1与椭圆相切．]
2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　)
A．x3＝x1＋x2 　 B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 　 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
B　[由 消去y，得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0，得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3．]
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A．　　　 B．　
C．　　　 D．2
A　[法一：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝．
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．
法二：因为点P在椭圆＋y2＝1上，
所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝．易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．]
4．设双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．
C　[双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝，代入抛物线方程，整理得ax2－bx＋a＝0，
因渐近线与抛物线相切，故b2－4a2＝0，即c2＝5a2 e＝．]
5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．3
A　[kAB＝＝－1，且y2－y1＝，所以x2＋x1＝－，又在直线y＝x＋m上，∴＝＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m．又y1＝，y2＝∴＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，
∴2m＝3，m＝．]
二、填空题
6．设P是双曲线＝1右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则|PE|·|PF|的值为________．
　[渐近线方程为2x±y＝0，设P(x0，y0)，则＝1，所以＝16．
由点到直线的距离公式有|PE|＝，|PF|＝，∴|PE|·|PF|＝＝．]
7．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，则|AB|等于________．
　[由3x2＋4y2＝48，得＝1，
∴a2＝16，b2＝12，c2＝4，
∴F(－2，0)，直线l的方程为y＝x＋2．
由得7x2＋16x－32＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝·|x1－x2|＝．]
8．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，正确结论的序号是________．
②③　[设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为＝a2，
∵a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．]
三、解答题
9．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1．
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．
[解]　(1)如图，由题意可知
故则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＝1，此椭圆的离心率e＝＝．
(2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)．
由消y，可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝．
由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)，
所以×4×|yP－yQ|×1×|yP|，
因为所以2|yP－yQ|＝|yP|，
①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去．
②当2|yQ|－2|yp|＝|yp|时，2|yQ|＝3|yp|，即有4|k|＝解得k＝±．
故直线A2P的方程为y＝±(x－2)．
10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
[证明]　如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0)，　　①
点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为y＝x，　　②
抛物线的准线方程是x＝－．　　③
联立②③，可得点D的纵坐标为－．
因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为y＝．　　④
联立①④，消去x，可得(－p2)y－y0p2＝0，即
(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．
当＝p2时，易知结论成立．
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)
A．1 　 B．－1
C．－ 　 D．以上都不对
C　[的几何意义是椭圆上的点与定点(2，0)连线的斜率．显然直线与椭圆相切时取得最值，
设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y，得x2－4k2x＋4k2－4＝0．
令Δ＝0，则k＝±．∴kmin＝－．]
12．已知集合A＝B＝则A∩B中元素个数为(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．不确定
C　[由mx－y－2m＋1＝0，得y－1＝m，
∴直线mx－y－2m＋1＝0恒过定点P．
∵－3<2<3，－2<1<2，∴点P在椭圆＝1内，∴直线mx－y－2m＋1＝0与椭圆＝1相交，∴A∩B中元素个数为2．]
13．已知斜率为2的直线l过双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点，若直线l与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________；若直线l与双曲线的一支相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
(3，＋∞)　　[当直线l与双曲线的左、右两支都相交时，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即>2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>3．
当直线l与双曲线的一支相交时，双曲线的一条渐近线的斜率必小于或等于2，即≤2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝≤3．又e＞1，∴1＜e≤3．]
14．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
[解]　(1)设双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，所以＝，得＝＝＝．
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
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第二章　圆锥曲线
§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点　
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
学习任务 核心素养
1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点)
2．掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法．(难点) 1．通过学习直线与圆锥曲线的三种位置关系，培养直观想象、数学运算素养．
2．借助求解直线与圆锥曲线的有关问题，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，
Δ＞0 直线与圆锥曲线C_____；
Δ＝0 直线与圆锥曲线C_____；
Δ＜0 直线与圆锥曲线C_____．
(2)当a＝0，b≠0时，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_____；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是___________．
相交
相切　
相离　
平行　
平行或重合
思考　若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？
[提示]　不一定相切．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线， 则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．
√
√
√
√
2．过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(　　)
A．1条　　　 B．2条　
C．3条　　　 D．4条
B　[由于点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x轴平行．]
√
3．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为____________．


关键能力·合作探究释疑难
[思路点拨]　在第(1)问中，可用直接法求点M的轨迹方程．在第(2)问中，需注意考虑k＝0及k≠0的情况，当k≠0时，还需讨论方程的判别式Δ．
【教材原题·P79例3】
例3　已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C：y2＝x有唯一的公共点，求直线l的方程．
[解]　如图2－37．
(1)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件．
图2－37
反思领悟　1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离．
2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．
√
[思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)，再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为_________．
(－2，2)　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2(－2，2)
3．解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用根与系数的关系及中点坐标公式求解；二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(十七)　直线与圆锥曲线的位置关系
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
√
2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　)
A．x3＝x1＋x2 　 B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 　 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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2
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14
7．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，则|AB|等于________．

题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
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②③
题号
2
1
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5
6
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题号
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10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
[证明]　如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
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(3，＋∞)　

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