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很期作业
过好假期每一天
10.(1)已知a=6,b=4,a与b的夹角为
个性飞扬培素养
60°，求(a+2b)·(a+3b)
(2)如图，在□ABCD中，|AB=4,|AD
(1)O为△ABC所在平面内任意一点，且满
=3,∠DAB=60°，求：
足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0
(2)O为△ABC所在平面内任意一点，且满
①AD·BC;②AB·DA
足|OB-OC1=OB+OC-2OA.
1.由(1)中的条件，能否判断△ABC的形状？
试写出分析过程，
2.由(2)中的条件，能否判断△ABC的形状？
试写出分析过程，
快乐学习把梦圆
高数学
假期作业二平面向量基本定理
要有问必答
一向量基底表示的唯一性求得s,t,进而
》固双基
得OP.
1.设e1,e2是不共线的向量，且a=e1一2e2,b
=e1十3e2,则{a,b}可以作为一个基底吗？
【解】OM=OA+AM=OA+2AB
=oi+号0店-0i=a+号
2.平面内的任何两个向量都可以作为一组基
因为OP与OM共线，故可设OP=tOM
底吗？
又VP与NB共线，可设NP=sNB,OP
3.△ABC中，向量AB,BC的夹角为∠ABC.
-ON+s NB=30A+(OB-ON)-(1
对吗？
一s)a十sb,
3(1-)=
9
4
3
t101
所以
解得
4.若a·b不共线，且入1a十4b=入2a十42b则
2
2
s=3,
s
入1=入2内1=42，对吗？
3
所以OP=a+b.
【方法指导】任意一向量基底表示的唯
罗典例精析拓思维
性的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向
【例】如图所示，在
量都可以表示为同一平面内两个不共线向量
△OAB中，OA=a,OB
e1,e2的线性组合入e1十λ2e2.在具体求入1，入
b,点M是AB上靠近B的
一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个
时有两种方法：
四等分点.若OM与BN相交于点P,求OP.
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法
【思路探究】可利用OP=tOM及OP
则及向量共线定理，
ON+NP=ON+sNB两种形式来表示OP,
(2)利用待定系数法，即利用定理中入1，
并都转化为以a,b为基底的表达式.根据任
入2的唯一性列方程组求解
假期作迎
过好假期每一天
罗厚积薄发
5.如图，在△ABC中，已知AB=2,BC=3,
勒演练
∠ABC=60°，AH⊥BC于H,M为AH的
1.如果e1,e2是平面&内所有向量的一个基
中点，若AM=λAB十以AC,则入，以的值分
底，那么下列命题中正确的是
别是
A.已知实数入1，入2，则向量入1e1十入2e2不一
定在平面a内
B.对平面a内任一向量a,使a=入1e1十
入2e2的实数入1，入2可以不唯一
C.若有实数入1，入2使入1e1=入2e2,则入1=入2
B.11
36
=0
11
D.对平面a内任一向量a,使a=入1e1十
C.23
D日
入2e2的实数入1，入2不一定存在
6.平面内的两条相交直线OP,和OP,将该平
2.(多选题)如图所示，设O
面分割成四个部分I,Ⅱ，Ⅲ，N(不包含边
是平行四边形ABCD的
界).设OP=mOP,十nOP2,且点P落在
两条对角线的交点，给出下列向量组，其中
第Ⅲ部分，则实数m,n满足
()
可作为该平面内所有向量的基底的是
A.m>0,n>0
(
B.m>0,n<0
A.AD与AB
B.DA与BC
C.m<0,n>0
C.CA与DC
D.OD与OB
3.若OP1=a,OP2=b,P1P=λPP2(A≠
D.m<0,n<0
7.设向量m=2a一3b,n=4a-2b,p=3a十
1),则OP等于
(
2b,试用m,n表示p的结果是
A.a+ab
B.a+(1-入)b
8.如图，C,D是△AOB中边AB的三等分
C.Aa+b
D十+十动
点，设OA=e,OB=e,以ee,为基底来
4.已知OA1=2,10B|=3,∠A0B=120°，
表示OC
.OD=
点C在∠AOB内，∠AOC=30°，设OC=m
OA+nOB(m,n∈R),则"=
A号
B.√3
c2
n号参考答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一
为AB与DA的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，
有问必答·固双基
所以A店.DA=1A1DA1·cos120=4×3×(-号）
1.不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
-6.
2.不对，它们的终点构成的图形是圆，
个性飞扬·培素养
3.不对，因为零向量与任意向量平行，所以平行于零向量的两
1.提示：△ABC为等腰三角形，
个向量不一定平行.
4.不是，当A=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得出a与b
由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,可得CB·(AB+
的方向相同或相反.
AC)=0.
厚积薄发·勤演练
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
又因为AB-AC=CB,所以CB·(AB+AC)=(A店-AC)·
若a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定
(AB+AC)=AB2-AC2=ABI2-AC2=0,PpABI=
有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方
|AC引，由此可得△ABC是等腰三角形.
向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若a
2.提示：△ABC为直角三角形.
0或b=0,则a∥b.
因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC
2.DD项中，PA十AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
OB-OC=CB=AB-AC,所以|AB+ACL=|AB-ACI,所
3.BC对于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故选
项A错送：对于B,(OA-AF)·(EF-DC)=(OA-OE)·
以AB+AC|2=|AB-AC12,即AB·AC=0,从而AB⊥
AC.故△ABC为直角三角形.
(EF-EO)=EA·OF=0,故选项B正确：对于C,由平面向
假期作业二
量公式可知，(OA·AF)BC=OA(AF·BC),故选项C正
有问必答·固双基
确：对于D.|OF+OD=|OF+FE=|OE1,FA+OD-
1.可以，因为e1e2是不共线的向量，所以a和b为不共线的
CB|=|FA-OA十OD=|FO+OD|=IFD|,显然|OE|≠
向量，所以《a,b}可以作为一个基底.
|FD|,故选项D错误.故选：BC
2,不可以，只有不共线的两个向量才可以作为一组基底。
4.D由AC=AB十AD得AD=BC,即AD=BC,且AD∥BC
3.不对，向量AB,BC的夹角为∠ABC的补角.
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形AB
4,对，由平面向量基本定理可知
CD为平行四边形.
厚积薄发·勤演练
5.C因为a·(a十b)=a2十a·b=4十2cos(a,b)=3,所以cos
1.C选项A中，由平面向量基本定理知1e1十A2e2与e1,
《a,b>=-号，又因为(a,b)∈[0，]，所以(a,b)=2
共面，所以A项不正确：选项B中，实致入1，入2有且仅有一
对，所以B项不正确；选项D中，实数入]2一定存在，所以
6.【解析】向量a在向量e上的授影向量是|a|cose=
D项不正确；很明显C项正确.
4c0se=一2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
=日，所以向量e在向量a上的投影向量是00。
OD∥OB,所以A,C可以作为孩平面内所有向量的基底
=cos
3.D 'OP=OP+PP=a+PP2=a+(OP2-OP)=
ta--0.
a+A(b-OP),∴.OP=
【答案】-20-日a
4.B如图，过点C作CM∥OB,CN∥OA
7.【解析】O币=OA+AP=OA+号A店=OA+号(O成-OA〉
=-i+号0成
则OC=OM+ON,设1ON1=x,则1OM=2x,OC=2x·
【答案】
-0i+号成
O十x·0=x0i+5:O店，所以m=,m=,所
8.【解析】根据题意得a·b=a·bc0s号=1，因为
IOAI
OBI
3
(3a十b)⊥a,所以(3a十b)·a=√3a2十a·b=3+入
以==
0,所以A=一3.
2
【答案】一√3
5.BAM=2Ai=2(AB+Bi,因为AH LBC.∠ABC
9.【解】ED=EO+OD=EO-DO=c-d:
AD=AO+OD=-0A-DO--a-d.
60,所以BH=1,所以BH=号BC,故AM=号AB+号Bi
DB=DC+CB-FA+EF=0A-OF+OF-OE=0A+EO
=a十-c.
=合A+合BC=合A店+合(C-A)=号A店+AC,
10.【解】(1)(a十2b)·(a十3b》
=a·a十5a·b+6b·b
故=子以=日
=|a2+5a·b+6b|2
6.B如图所示，利用平行四边形法则，将OP分解到OP,和
=lal2+5lal blcos 60*+61b13
=62+5×6X4Xc0s60°+6×42=192.
OP2上，有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP2,很明
(2)①因为AD∥BC,且方向相同，所以AD与BC的夹角是
显OA与OP1方向相同，则m>0:OB与OP2方向相反，
则n<0.
0°，所以AD·BC=|AD|BC引·c0s0°=3X3X1=9.②因
●
35

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