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假期作业
过好假期每一天
假期作业九空间直线、平面的垂直
要有问必答
所以△ADS≌△BDS,
》固双基
所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,
1.垂直于同一条直线的两直线平行.对吗？
BDC平面ABC,
所以SD⊥平面ABC
(2)因为AB=BC,D为AC的中点，
2.垂直于同一条直线的两直线垂直.对吗？
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD
又因为SD∩AC=D,SD,ACC平
面SAC,
3.若两条直线与第三条直线所成的角相等，
所以BD⊥平面SAC
则两直线平行.对吗？
【方法指导】证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法（不常用，但由线面垂直可得出
4.若两个平面互相垂直，则一个平面内的一
线线垂直)；
条直线与另一个平面垂直.对吗？
②判定定理最常用：要着力寻找平面内
哪两条相交直线（有时作辅助线）；结合平面
图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形
典例精析
拓思维
底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂
【例】如图，在三棱锥
直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直，
S-ABC中，∠ABC=90°，D
(2)平行转化法（利用推论）：
是AC的中点，且SA=SB
①a∥b,a⊥a→b⊥a;
SC.
②a∥3，a⊥a→a⊥B.
(1)求证：SD⊥平面ABC;
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(2)若AB=BC,求证：BD⊥平面SAC
【证明】(1)因为SA=SC,D是AC的
1.空间四边形ABCD中，E,F分别为AC,
中点，
BD中点，若CD=2AB,EF⊥AB,则EF
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD
与CD所成的角为
=BD,
A.30°
B.45
由已知SA=SB,
C.60
D.90°
23
快乐学习把梦圆
高数学
2.(多选题)如图，三棱柱
6.如图，在正方体ABCD
ABC一AB,C1中，底面
ABCD中，直线AB,
三角形A,B,C是正三
与平面ABCD所成的角
角形，E是BC的中点，
等于
:AB与平
则下列叙述正确的是
面ADDA1所成的角等于
;AB1与
A.直线CC,与直线B,E相交
平面DCCD,所成的角等于
B.CC,与AE共面
7.如图，在三棱锥P一ABC
C.AE与B,C,是异面直线
内，侧面PAC⊥底面
D.AE与B,C,垂直
ABC,且∠PAC=90°，PA
3.在直三棱柱ABC-A1B,C
=1,AB=2,则PB=
中，∠BAC=90°，则以下能
8.如图，四棱锥S一ABCD的底面为正方形，
使A CLBC的是()
SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有
A.AB=AC
个
B.AA=AC
①AC⊥SB;
C.BB=AB
②AB∥平面SCD:
D.CC =BC
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD:
4.如图所示，三棱锥P-ABC
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成
中，平面ABC⊥平面
的角.
PAB,PA=PB.AD-DB,
9.如图所示，四边形AB
则
(
CD为正方形，SA⊥平
A.PDC平面ABC
面ABCD,过A且垂直
B.PD⊥平面ABC
于SC的平面分别交
C.PD与平面ABC相交但不垂直
SB,SC,SD于点E,F,G
D.PD∥平面ABC
求证：AE⊥SB.
5.(多选题)如图所示，在斜
三棱柱ABGA B,C,中，
∠BAC=90°，BC1⊥AC,
则C,在面ABC上的射影
H必在
(
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线CA上
D.△ABC内部
24参考答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一
为AB与DA的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，
有问必答·固双基
所以A店.DA=1A1DA1·cos120=4×3×(-号）
1.不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
-6.
2.不对，它们的终点构成的图形是圆，
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3.不对，因为零向量与任意向量平行，所以平行于零向量的两
1.提示：△ABC为等腰三角形，
个向量不一定平行.
4.不是，当A=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得出a与b
由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,可得CB·(AB+
的方向相同或相反.
AC)=0.
厚积薄发·勤演练
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
又因为AB-AC=CB,所以CB·(AB+AC)=(A店-AC)·
若a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定
(AB+AC)=AB2-AC2=ABI2-AC2=0,PpABI=
有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方
|AC引，由此可得△ABC是等腰三角形.
向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若a
2.提示：△ABC为直角三角形.
0或b=0,则a∥b.
因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC
2.DD项中，PA十AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
OB-OC=CB=AB-AC,所以|AB+ACL=|AB-ACI,所
3.BC对于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故选
项A错送：对于B,(OA-AF)·(EF-DC)=(OA-OE)·
以AB+AC|2=|AB-AC12,即AB·AC=0,从而AB⊥
AC.故△ABC为直角三角形.
(EF-EO)=EA·OF=0,故选项B正确：对于C,由平面向
假期作业二
量公式可知，(OA·AF)BC=OA(AF·BC),故选项C正
有问必答·固双基
确：对于D.|OF+OD=|OF+FE=|OE1,FA+OD-
1.可以，因为e1e2是不共线的向量，所以a和b为不共线的
CB|=|FA-OA十OD=|FO+OD|=IFD|,显然|OE|≠
向量，所以《a,b}可以作为一个基底.
|FD|,故选项D错误.故选：BC
2,不可以，只有不共线的两个向量才可以作为一组基底。
4.D由AC=AB十AD得AD=BC,即AD=BC,且AD∥BC
3.不对，向量AB,BC的夹角为∠ABC的补角.
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形AB
4,对，由平面向量基本定理可知
CD为平行四边形.
厚积薄发·勤演练
5.C因为a·(a十b)=a2十a·b=4十2cos(a,b)=3,所以cos
1.C选项A中，由平面向量基本定理知1e1十A2e2与e1,
《a,b>=-号，又因为(a,b)∈[0，]，所以(a,b)=2
共面，所以A项不正确：选项B中，实致入1，入2有且仅有一
对，所以B项不正确；选项D中，实数入]2一定存在，所以
6.【解析】向量a在向量e上的授影向量是|a|cose=
D项不正确；很明显C项正确.
4c0se=一2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
=日，所以向量e在向量a上的投影向量是00。
OD∥OB,所以A,C可以作为孩平面内所有向量的基底
=cos
3.D 'OP=OP+PP=a+PP2=a+(OP2-OP)=
ta--0.
a+A(b-OP),∴.OP=
【答案】-20-日a
4.B如图，过点C作CM∥OB,CN∥OA
7.【解析】O币=OA+AP=OA+号A店=OA+号(O成-OA〉
=-i+号0成
则OC=OM+ON,设1ON1=x,则1OM=2x,OC=2x·
【答案】
-0i+号成
O十x·0=x0i+5:O店，所以m=,m=,所
8.【解析】根据题意得a·b=a·bc0s号=1，因为
IOAI
OBI
3
(3a十b)⊥a,所以(3a十b)·a=√3a2十a·b=3+入
以==
0,所以A=一3.
2
【答案】一√3
5.BAM=2Ai=2(AB+Bi,因为AH LBC.∠ABC
9.【解】ED=EO+OD=EO-DO=c-d:
AD=AO+OD=-0A-DO--a-d.
60,所以BH=1,所以BH=号BC,故AM=号AB+号Bi
DB=DC+CB-FA+EF=0A-OF+OF-OE=0A+EO
=a十-c.
=合A+合BC=合A店+合(C-A)=号A店+AC,
10.【解】(1)(a十2b)·(a十3b》
=a·a十5a·b+6b·b
故=子以=日
=|a2+5a·b+6b|2
6.B如图所示，利用平行四边形法则，将OP分解到OP,和
=lal2+5lal blcos 60*+61b13
=62+5×6X4Xc0s60°+6×42=192.
OP2上，有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP2,很明
(2)①因为AD∥BC,且方向相同，所以AD与BC的夹角是
显OA与OP1方向相同，则m>0:OB与OP2方向相反，
则n<0.
0°，所以AD·BC=|AD|BC引·c0s0°=3X3X1=9.②因
●
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