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假期作业
过好假期每一天
假期作业六基本立体图形及直观图、
简单的几何体的表面积与体积
要有问必答
》固双基
连接OE,OE1,
1.各个面都是三角形的几何体是三棱锥吗？
则0E=2AB=2×12=6,
0E=A,B,=3.
过E,作E,H⊥OE,垂足为H,
2.圆台上底面圆周上任意一点与下底面圆周
上任意一点的连线都是圆台侧面的母线.
EH=OO=12,OH=OE=3,
对吗？
HE=OE-O1E1=6-3=3.
在Rt△E,HE中，
E,E2=E1H2+HE2=122+32=32X×17,
3.两条相交直线的直观图可能是平行直
所以EE=3√17.
线吗？
所以S=4X号×(B,C+BC)XEE
=2×(6+12)×3√17=1087.
4.用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂
【方法指导】解决有关正棱台的问题
直的线段在直观图中仍垂直.对吗？
时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到
直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正
棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决，
典例精析拓思维
厚积薄发
勤演练
【例】
已知正四棱台（上、下底是正方
1.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥
形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中
一定不是
()
心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，
A.三棱锥
B.四棱锥
求它的侧面积
C.五棱锥
D.六棱锥
【解】如图，E,E
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图
分别是BC,B,C1的中
是一个边长为2的正三角形，那么原平面
点，O,O1分别是下、上底
图形的面积是
(
)
面正方形的中心，则O,O
A.√3
B.2√6
为正四棱台的高，则O,O=12.
c
D.23
15
快乐学习把梦圆
高片数学
3.如图，直三棱柱ABC-ABC
的印信形状是“半正多面体”（图①）.半正
的各条棱长均为2，D为棱
多面体是由两种或两种以上的正多边形围
B,C上任意一点，则三棱锥
成的多面体.半正多面体体现了数学的对
D-A,BC的体积是()
称美.图②是一个棱数为48的半正多面
A.103
B.83
体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面
3
3
上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体
ci
n2
共有
个面，其棱长为
4.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶
点均在球面上，若球的体积为3号，两个圆
锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积
之和为
()
A.3π
B.4π
2
2
C.9π
D.12π
9.如图，已知一个圆锥的
5.(多选题)长方体ABCD一AB,CD1的
底面半径与高均为2，
长、宽、高分别为3,2,1，则
(
)
且在这个圆锥中有一个
A.长方体的表面积为20
高为x的圆柱.求：
B.长方体的体积为6
(1)求出此圆锥的侧面积；
C.沿长方体的表面从A到C,的最短距离
(2)用x表示此圆柱的侧面积表达式；
为3√2
(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱
D.沿长方体的表面从A到C,的最短距离
的体积.
为2√5
6.如图，平行四边形OP'
Q'R'是四边形OPQR
P'
的直观图，若OP'=3,
OR'=1,则原四边形OPQR的周长为
7.圆锥底面半径为1cm,高为√2cm,其中有
一个内接正方体，这个内接正方体的棱长
为
cm,
8.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化
的代表之一.印信的形状多为长方体、正方
体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信
16参考答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一
为AB与DA的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，
有问必答·固双基
所以A店.DA=1A1DA1·cos120=4×3×(-号）
1.不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
-6.
2.不对，它们的终点构成的图形是圆，
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3.不对，因为零向量与任意向量平行，所以平行于零向量的两
1.提示：△ABC为等腰三角形，
个向量不一定平行.
4.不是，当A=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得出a与b
由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,可得CB·(AB+
的方向相同或相反.
AC)=0.
厚积薄发·勤演练
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
又因为AB-AC=CB,所以CB·(AB+AC)=(A店-AC)·
若a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定
(AB+AC)=AB2-AC2=ABI2-AC2=0,PpABI=
有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方
|AC引，由此可得△ABC是等腰三角形.
向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若a
2.提示：△ABC为直角三角形.
0或b=0,则a∥b.
因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC
2.DD项中，PA十AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
OB-OC=CB=AB-AC,所以|AB+ACL=|AB-ACI,所
3.BC对于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故选
项A错送：对于B,(OA-AF)·(EF-DC)=(OA-OE)·
以AB+AC|2=|AB-AC12,即AB·AC=0,从而AB⊥
AC.故△ABC为直角三角形.
(EF-EO)=EA·OF=0,故选项B正确：对于C,由平面向
假期作业二
量公式可知，(OA·AF)BC=OA(AF·BC),故选项C正
有问必答·固双基
确：对于D.|OF+OD=|OF+FE=|OE1,FA+OD-
1.可以，因为e1e2是不共线的向量，所以a和b为不共线的
CB|=|FA-OA十OD=|FO+OD|=IFD|,显然|OE|≠
向量，所以《a,b}可以作为一个基底.
|FD|,故选项D错误.故选：BC
2,不可以，只有不共线的两个向量才可以作为一组基底。
4.D由AC=AB十AD得AD=BC,即AD=BC,且AD∥BC
3.不对，向量AB,BC的夹角为∠ABC的补角.
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形AB
4,对，由平面向量基本定理可知
CD为平行四边形.
厚积薄发·勤演练
5.C因为a·(a十b)=a2十a·b=4十2cos(a,b)=3,所以cos
1.C选项A中，由平面向量基本定理知1e1十A2e2与e1,
《a,b>=-号，又因为(a,b)∈[0，]，所以(a,b)=2
共面，所以A项不正确：选项B中，实致入1，入2有且仅有一
对，所以B项不正确；选项D中，实数入]2一定存在，所以
6.【解析】向量a在向量e上的授影向量是|a|cose=
D项不正确；很明显C项正确.
4c0se=一2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
=日，所以向量e在向量a上的投影向量是00。
OD∥OB,所以A,C可以作为孩平面内所有向量的基底
=cos
3.D 'OP=OP+PP=a+PP2=a+(OP2-OP)=
ta--0.
a+A(b-OP),∴.OP=
【答案】-20-日a
4.B如图，过点C作CM∥OB,CN∥OA
7.【解析】O币=OA+AP=OA+号A店=OA+号(O成-OA〉
=-i+号0成
则OC=OM+ON,设1ON1=x,则1OM=2x,OC=2x·
【答案】
-0i+号成
O十x·0=x0i+5:O店，所以m=,m=,所
8.【解析】根据题意得a·b=a·bc0s号=1，因为
IOAI
OBI
3
(3a十b)⊥a,所以(3a十b)·a=√3a2十a·b=3+入
以==
0,所以A=一3.
2
【答案】一√3
5.BAM=2Ai=2(AB+Bi,因为AH LBC.∠ABC
9.【解】ED=EO+OD=EO-DO=c-d:
AD=AO+OD=-0A-DO--a-d.
60,所以BH=1,所以BH=号BC,故AM=号AB+号Bi
DB=DC+CB-FA+EF=0A-OF+OF-OE=0A+EO
=a十-c.
=合A+合BC=合A店+合(C-A)=号A店+AC,
10.【解】(1)(a十2b)·(a十3b》
=a·a十5a·b+6b·b
故=子以=日
=|a2+5a·b+6b|2
6.B如图所示，利用平行四边形法则，将OP分解到OP,和
=lal2+5lal blcos 60*+61b13
=62+5×6X4Xc0s60°+6×42=192.
OP2上，有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP2,很明
(2)①因为AD∥BC,且方向相同，所以AD与BC的夹角是
显OA与OP1方向相同，则m>0:OB与OP2方向相反，
则n<0.
0°，所以AD·BC=|AD|BC引·c0s0°=3X3X1=9.②因
●
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