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假期作迎亚：
过好假期每一天
假期作业三平面向量的正交分解、坐标表示及运算
理有问必答图双基
2),
a-3b=(10,-4),
1.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐
因为ka十b与a一3b平行，
标一定不同.对吗？
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
解得及=一号
2.向量的坐标就是向量终点的坐标.对吗？
这时如+6=(-日-3，-号+2）)=-月
(a-3b),
3.(1)两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a
所以当k=一
时，a十b与a-3b平
∥b的充要条件是什么？
行，并且反向
(2)两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),垂
【方法指导】
利用向量平行的条件处理
直的充要条件是什么？
求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a=b(b≠0)列
方程组求解。
4.向量的夹角公式是什么？
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2一
x2y1=0直接求解.
典例精析
雪厚积薄发流练
拓思维
1.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴，y
【例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k
轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标
为何值时，a十b与a一3b平行？平行时它
们是同向还是反向？
原点，若OA=4i+2j,OB=3i+4j,则OA
【解】法一：（共线向量定理法）ka十b=
十OB的坐标是
()
k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
A.(1,-2)
B.(7,6)
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
C.(5,0)
D.(11,8)
当ka十b与a一3b平行时，存在唯一实
2.已知
sin a
,且向量AB=(tan
1
数入，
sina十cosa
使ka十b=入(a-3b).
a,1),BC=(2tan a,-3),AC=
由(k-3,2k十2)=λ(10，-4)，
A.(3,-2)
B.(-3,-2)
所以-310A,解得=A=-
C.(1,4)
D.(-1,4)
2k+2=-4入，
31
3.已知向量a=(cosa,-2),b=(sina,1),
且a∥b,则2 sin acos a等于
当k=二时，a十b与a-3b平行，
A.3
B.-3
C.-
D.
时ka十b=一
a+b=-a-36.
4.已知点A(√3,1)，B(0,0),C(√3,0).设
因为入=-)<0，
∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,
3
设BC=入CE,则入等于
所以ka+b与a一3b反向.
法二：（坐标法）由题知如十b=(k一3,2k十
A.2
C.-3
D.-3参考答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一
为AB与DA的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，
有问必答·固双基
所以A店.DA=1A1DA1·cos120=4×3×(-号）
1.不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
-6.
2.不对，它们的终点构成的图形是圆，
个性飞扬·培素养
3.不对，因为零向量与任意向量平行，所以平行于零向量的两
1.提示：△ABC为等腰三角形，
个向量不一定平行.
4.不是，当A=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得出a与b
由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,可得CB·(AB+
的方向相同或相反.
AC)=0.
厚积薄发·勤演练
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
又因为AB-AC=CB,所以CB·(AB+AC)=(A店-AC)·
若a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定
(AB+AC)=AB2-AC2=ABI2-AC2=0,PpABI=
有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方
|AC引，由此可得△ABC是等腰三角形.
向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若a
2.提示：△ABC为直角三角形.
0或b=0,则a∥b.
因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC
2.DD项中，PA十AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
OB-OC=CB=AB-AC,所以|AB+ACL=|AB-ACI,所
3.BC对于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故选
项A错送：对于B,(OA-AF)·(EF-DC)=(OA-OE)·
以AB+AC|2=|AB-AC12,即AB·AC=0,从而AB⊥
AC.故△ABC为直角三角形.
(EF-EO)=EA·OF=0,故选项B正确：对于C,由平面向
假期作业二
量公式可知，(OA·AF)BC=OA(AF·BC),故选项C正
有问必答·固双基
确：对于D.|OF+OD=|OF+FE=|OE1,FA+OD-
1.可以，因为e1e2是不共线的向量，所以a和b为不共线的
CB|=|FA-OA十OD=|FO+OD|=IFD|,显然|OE|≠
向量，所以《a,b}可以作为一个基底.
|FD|,故选项D错误.故选：BC
2,不可以，只有不共线的两个向量才可以作为一组基底。
4.D由AC=AB十AD得AD=BC,即AD=BC,且AD∥BC
3.不对，向量AB,BC的夹角为∠ABC的补角.
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形AB
4,对，由平面向量基本定理可知
CD为平行四边形.
厚积薄发·勤演练
5.C因为a·(a十b)=a2十a·b=4十2cos(a,b)=3,所以cos
1.C选项A中，由平面向量基本定理知1e1十A2e2与e1,
《a,b>=-号，又因为(a,b)∈[0，]，所以(a,b)=2
共面，所以A项不正确：选项B中，实致入1，入2有且仅有一
对，所以B项不正确；选项D中，实数入]2一定存在，所以
6.【解析】向量a在向量e上的授影向量是|a|cose=
D项不正确；很明显C项正确.
4c0se=一2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
=日，所以向量e在向量a上的投影向量是00。
OD∥OB,所以A,C可以作为孩平面内所有向量的基底
=cos
3.D 'OP=OP+PP=a+PP2=a+(OP2-OP)=
ta--0.
a+A(b-OP),∴.OP=
【答案】-20-日a
4.B如图，过点C作CM∥OB,CN∥OA
7.【解析】O币=OA+AP=OA+号A店=OA+号(O成-OA〉
=-i+号0成
则OC=OM+ON,设1ON1=x,则1OM=2x,OC=2x·
【答案】
-0i+号成
O十x·0=x0i+5:O店，所以m=,m=,所
8.【解析】根据题意得a·b=a·bc0s号=1，因为
IOAI
OBI
3
(3a十b)⊥a,所以(3a十b)·a=√3a2十a·b=3+入
以==
0,所以A=一3.
2
【答案】一√3
5.BAM=2Ai=2(AB+Bi,因为AH LBC.∠ABC
9.【解】ED=EO+OD=EO-DO=c-d:
AD=AO+OD=-0A-DO--a-d.
60,所以BH=1,所以BH=号BC,故AM=号AB+号Bi
DB=DC+CB-FA+EF=0A-OF+OF-OE=0A+EO
=a十-c.
=合A+合BC=合A店+合(C-A)=号A店+AC,
10.【解】(1)(a十2b)·(a十3b》
=a·a十5a·b+6b·b
故=子以=日
=|a2+5a·b+6b|2
6.B如图所示，利用平行四边形法则，将OP分解到OP,和
=lal2+5lal blcos 60*+61b13
=62+5×6X4Xc0s60°+6×42=192.
OP2上，有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP2,很明
(2)①因为AD∥BC,且方向相同，所以AD与BC的夹角是
显OA与OP1方向相同，则m>0:OB与OP2方向相反，
则n<0.
0°，所以AD·BC=|AD|BC引·c0s0°=3X3X1=9.②因
●
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