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快乐学习把梦圆
数学
假期作业十二
事件的相互独立性，频率与概率
有问必答固双基
字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字
比乙小，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说
1.在大量重复试验中，概率是频率的稳定值，
明你的理由.
对吗？
【解】(1)甲、乙两人抽到的牌的所有情
况（红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表
示，方块4用4'表示)为(2,3)，(2,4)，(2，
2.在相同环境下，两次随机模拟得到的概率
4),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,
的估计值是相等的.对吗？
4'),(4',2),(4',3),(4',4),共12种
(2)甲抽到红挑3，乙抽到的牌的牌面数
字只能是2,4,4'共3种情况，而乙抽到的牌
3.计算机或计算器产生的随机数是伪随机
的牌面数字比3大的只有红桃4，方块4共2
数，因此估计的概率不可信.对吗？
种情况，因此乙抽到的牌面数字大于3的概
荣为景
4.抽签法得到的随机数是伪随机数，利用计
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大有5
种情况：(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4'，2)，(4'
算机得到的是随机数.对吗？
3),数字相等有2种情况：(4,4')，(4'，4).故
甲胜的概率P,=是乙胜的概率R,=多所
5
典例精析
拓思维
以此游戏公平
【方法指导】判断游戏规则公平性的
【例】甲、乙两人用4张扑克牌（分别是
步骤
红桃2、红桃3、红桃4、方块4)玩游戏，他们
(1)借助概率计算公式，计算每个人获胜
将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先
的概率；
抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张，
(2)根据计算的结果判断.
(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的
数字，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
厚积薄发
勤演练
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌
1.在给病人动手术之前，外科医生会告知病
面数字比3大的概率是多少？
人或家属一些情况，其中有一项说这种手
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数
术的成功率大约是99%.下列解释正确的
32
假期作迎：：
过好假期每一天
是
4.如图，已知电路中4个开关
A.100个手术有99个手术成功，有1个手术
闭合的概率都是
，且是互
失败
相独立的，则灯亮的概率为
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术，另外1%的
医生不能做这个手术
16
D.这个手术成功的可能性大小是99%
C.
2.下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大
5.(多选题)下列各对事件中，M,N是相互独
小相同的球，从袋中取球。
立事件的有
A.掷1枚质地均匀的骰子一次.事件M=
游戏1
游戏2
游戏3
“出现的点数为奇数”。事件V=“出现
3个黑球和
1个黑球和
2个黑球和
的点数为偶数”
B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完
1个白球
1个白球
2个白球
全相同，依次不放回地摸两次，事件M
取1个球，
取1个球，
=“第1次摸到红球”，事件N=“第2
取1个球
次摸到红球”
再取1个球
再取1个球
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M
取出的两个
取出的两个
“第1枚为正面”，事件N=“两枚结果
取出的球是
球同色
球同色→
相同”
黑球→甲胜
甲胜
甲胜
D.一枚硬币掷两次，事件M=“第一次为
正面”，事件N=“第二次为反面”
取出的两个
取出的两个
6.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断
取出的球是
球不同色→
球不同色→
的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两
白球→乙胜
乙胜
乙胜
根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根
熔断的概率为
问其中不公平的游戏是
(
7.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为
A.游戏1
B.游戏1和游戏3
2,乙生解出它的概率为？，丙生解出它的
C.游戏2
D.游戏3
3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识
概率为子由甲、乙、丙三人独立解答此题
竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为
只有一人解出的概率为
号和甲，乙两人是否获得一等奖相互独
8,已知甲，乙两球落入盒子的概率分别为号
立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的
和·假定两球是否落入盒子互不影响，则
概率为
甲、乙两球都落人盒子的概率为
甲、乙两球至少有一个落人盒子的概率为
C.7
5
5
D.
12
33参考答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一
为AB与DA的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，
有问必答·固双基
所以A店.DA=1A1DA1·cos120=4×3×(-号）
1.不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
-6.
2.不对，它们的终点构成的图形是圆，
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3.不对，因为零向量与任意向量平行，所以平行于零向量的两
1.提示：△ABC为等腰三角形，
个向量不一定平行.
4.不是，当A=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得出a与b
由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,可得CB·(AB+
的方向相同或相反.
AC)=0.
厚积薄发·勤演练
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
又因为AB-AC=CB,所以CB·(AB+AC)=(A店-AC)·
若a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定
(AB+AC)=AB2-AC2=ABI2-AC2=0,PpABI=
有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方
|AC引，由此可得△ABC是等腰三角形.
向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若a
2.提示：△ABC为直角三角形.
0或b=0,则a∥b.
因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC
2.DD项中，PA十AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
OB-OC=CB=AB-AC,所以|AB+ACL=|AB-ACI,所
3.BC对于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故选
项A错送：对于B,(OA-AF)·(EF-DC)=(OA-OE)·
以AB+AC|2=|AB-AC12,即AB·AC=0,从而AB⊥
AC.故△ABC为直角三角形.
(EF-EO)=EA·OF=0,故选项B正确：对于C,由平面向
假期作业二
量公式可知，(OA·AF)BC=OA(AF·BC),故选项C正
有问必答·固双基
确：对于D.|OF+OD=|OF+FE=|OE1,FA+OD-
1.可以，因为e1e2是不共线的向量，所以a和b为不共线的
CB|=|FA-OA十OD=|FO+OD|=IFD|,显然|OE|≠
向量，所以《a,b}可以作为一个基底.
|FD|,故选项D错误.故选：BC
2,不可以，只有不共线的两个向量才可以作为一组基底。
4.D由AC=AB十AD得AD=BC,即AD=BC,且AD∥BC
3.不对，向量AB,BC的夹角为∠ABC的补角.
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形AB
4,对，由平面向量基本定理可知
CD为平行四边形.
厚积薄发·勤演练
5.C因为a·(a十b)=a2十a·b=4十2cos(a,b)=3,所以cos
1.C选项A中，由平面向量基本定理知1e1十A2e2与e1,
《a,b>=-号，又因为(a,b)∈[0，]，所以(a,b)=2
共面，所以A项不正确：选项B中，实致入1，入2有且仅有一
对，所以B项不正确；选项D中，实数入]2一定存在，所以
6.【解析】向量a在向量e上的授影向量是|a|cose=
D项不正确；很明显C项正确.
4c0se=一2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
=日，所以向量e在向量a上的投影向量是00。
OD∥OB,所以A,C可以作为孩平面内所有向量的基底
=cos
3.D 'OP=OP+PP=a+PP2=a+(OP2-OP)=
ta--0.
a+A(b-OP),∴.OP=
【答案】-20-日a
4.B如图，过点C作CM∥OB,CN∥OA
7.【解析】O币=OA+AP=OA+号A店=OA+号(O成-OA〉
=-i+号0成
则OC=OM+ON,设1ON1=x,则1OM=2x,OC=2x·
【答案】
-0i+号成
O十x·0=x0i+5:O店，所以m=,m=,所
8.【解析】根据题意得a·b=a·bc0s号=1，因为
IOAI
OBI
3
(3a十b)⊥a,所以(3a十b)·a=√3a2十a·b=3+入
以==
0,所以A=一3.
2
【答案】一√3
5.BAM=2Ai=2(AB+Bi,因为AH LBC.∠ABC
9.【解】ED=EO+OD=EO-DO=c-d:
AD=AO+OD=-0A-DO--a-d.
60,所以BH=1,所以BH=号BC,故AM=号AB+号Bi
DB=DC+CB-FA+EF=0A-OF+OF-OE=0A+EO
=a十-c.
=合A+合BC=合A店+合(C-A)=号A店+AC,
10.【解】(1)(a十2b)·(a十3b》
=a·a十5a·b+6b·b
故=子以=日
=|a2+5a·b+6b|2
6.B如图所示，利用平行四边形法则，将OP分解到OP,和
=lal2+5lal blcos 60*+61b13
=62+5×6X4Xc0s60°+6×42=192.
OP2上，有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP2,很明
(2)①因为AD∥BC,且方向相同，所以AD与BC的夹角是
显OA与OP1方向相同，则m>0:OB与OP2方向相反，
则n<0.
0°，所以AD·BC=|AD|BC引·c0s0°=3X3X1=9.②因
●
35

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