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假期作迎用
过好假期每一天
假期作业一平面向量的概念、平
面向量的运算
要有问必答
》固双基
(2)A,B,P三点共线→AP=AB→
1.两个向量，长度大的向量较大吗？
用OA,OB表示OP→观察x十y的值
【解】(1)证明：，CB=e,+3e2,CD=2e
2.把平面上所有单位向量的起点都平移到同
:.BD=CD-CB=e-4e2.
一点时，它们的终点构成的图形是线段
对吗？
又AB=2e1-8e2=2(e1-4e2),
∴.AB=2BD,AB∥BD
AB与BD有公共点B,
3.平行于同一向量的两个向量平行.对吗？
A,B,D三点共线
(2)由于A,B,P三点共线，所以向量
AB,AP在同一直线上，由向量共线定理可
4.若b=a(a≠0)，则a与b方向相同或相反
知，必定存在实数入使AP=入AB
吗？
即OP-OA=X(OB-OA),
所以OP=(1-λ)OA+AOB,
故x=1-λ，y=λ，即x十y=1.
【方法指导】1.证明或判断三点共线的
典例精析拓思维
方法
【例】(1)已知e1,2是两个不共线的
(1)一般来说，要判定A,B,C三点是否
向量，若AB=2e1-8e2,CB=e,+3e2,CD=
共线，只需看是否存在实数λ，使得AB=入
2e1一e2,求证：A,B,D三点共线；
AC(或BC=入AB等)即可.
(2)已知A,B,P三点共线，O为直线外
(2)利用结论：若A,B,C三点共线，O为
任意一点，若OP=xOA十yOB,求x十y
直线外一点台存在实数x,y,使OA=xOB十
的值
yOC且x+y=1.
【思路探究】(1)表示出AB与BD→证
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据
明AB=入BD→A,B,D三点共线
向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得α=b
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(b≠0).而已知向量共线求入，常根据向量共
5.已知平面向量a,b满足a·(a十b)=3且
线的条件转化为相应向量系数相等求解.若
a=2,b=1,则向量a与b的夹角为
两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待
(
定系数法建立方程，解方程从而求得入的值
A.
B.
C.D.
型厚积薄发凿演练
6.已知a=4,e为单位向量，它们的夹角为
1.(多选题)下列条件，能使a∥b成立的有
二则向量。在向量。上的投影向量是
(
;向量e在向量a上的投影向量
A.a=b
是
B.al=b
C.a与b方向相反
7.如图所示，已知AP=4
D.a=0或|b=0
AB,用OA,OB表示OP,
2.下列不能化简为PQ的是
则OP=
A.QC-QP+CQ
B.AB+(PA+BQ)
8.已知向量a与b的夹角是，且a=1,
C.(AB+PC)+(BA-QC)
b=2,若(3a十b)⊥a,则实数入
D.PA+AB-BQ
9.如图所示，在正六边形
3.(多选题)如图，已知点O为正六边形
ABCDEF中，点O是正六
d
ABCDEF中心，下列结论中正确的是()
边形中一点，若已知OA=
A.OA OC OB
=0
a.OF=b,EO=c,DO=d,
B.(OA-AF)·(EF
试用向量a,b,c,d表示ED,AD,DB.
-DC)=0
C.(OA·AF)BC=
OA(AF.BC)
D.IOF+ODI=FA+OD-CB
4.在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则
定有
)
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形参考答案
过好假期每一天
参芳答案
假期作业一
为AB与DA的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，
有问必答·固双基
所以A店.DA=1A1DA1·cos120=4×3×(-号）
1.不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
-6.
2.不对，它们的终点构成的图形是圆，
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3.不对，因为零向量与任意向量平行，所以平行于零向量的两
1.提示：△ABC为等腰三角形，
个向量不一定平行.
4.不是，当A=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得出a与b
由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,可得CB·(AB+
的方向相同或相反.
AC)=0.
厚积薄发·勤演练
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
又因为AB-AC=CB,所以CB·(AB+AC)=(A店-AC)·
若a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定
(AB+AC)=AB2-AC2=ABI2-AC2=0,PpABI=
有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方
|AC引，由此可得△ABC是等腰三角形.
向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若a
2.提示：△ABC为直角三角形.
0或b=0,则a∥b.
因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC
2.DD项中，PA十AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
OB-OC=CB=AB-AC,所以|AB+ACL=|AB-ACI,所
3.BC对于A,OA+OC+OB=OA+AB+OB=2OB,故选
项A错送：对于B,(OA-AF)·(EF-DC)=(OA-OE)·
以AB+AC|2=|AB-AC12,即AB·AC=0,从而AB⊥
AC.故△ABC为直角三角形.
(EF-EO)=EA·OF=0,故选项B正确：对于C,由平面向
假期作业二
量公式可知，(OA·AF)BC=OA(AF·BC),故选项C正
有问必答·固双基
确：对于D.|OF+OD=|OF+FE=|OE1,FA+OD-
1.可以，因为e1e2是不共线的向量，所以a和b为不共线的
CB|=|FA-OA十OD=|FO+OD|=IFD|,显然|OE|≠
向量，所以《a,b}可以作为一个基底.
|FD|,故选项D错误.故选：BC
2,不可以，只有不共线的两个向量才可以作为一组基底。
4.D由AC=AB十AD得AD=BC,即AD=BC,且AD∥BC
3.不对，向量AB,BC的夹角为∠ABC的补角.
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形AB
4,对，由平面向量基本定理可知
CD为平行四边形.
厚积薄发·勤演练
5.C因为a·(a十b)=a2十a·b=4十2cos(a,b)=3,所以cos
1.C选项A中，由平面向量基本定理知1e1十A2e2与e1,
《a,b>=-号，又因为(a,b)∈[0，]，所以(a,b)=2
共面，所以A项不正确：选项B中，实致入1，入2有且仅有一
对，所以B项不正确；选项D中，实数入]2一定存在，所以
6.【解析】向量a在向量e上的授影向量是|a|cose=
D项不正确；很明显C项正确.
4c0se=一2e.因为与向量a方向相同的单位向量为a
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
=日，所以向量e在向量a上的投影向量是00。
OD∥OB,所以A,C可以作为孩平面内所有向量的基底
=cos
3.D 'OP=OP+PP=a+PP2=a+(OP2-OP)=
ta--0.
a+A(b-OP),∴.OP=
【答案】-20-日a
4.B如图，过点C作CM∥OB,CN∥OA
7.【解析】O币=OA+AP=OA+号A店=OA+号(O成-OA〉
=-i+号0成
则OC=OM+ON,设1ON1=x,则1OM=2x,OC=2x·
【答案】
-0i+号成
O十x·0=x0i+5:O店，所以m=,m=,所
8.【解析】根据题意得a·b=a·bc0s号=1，因为
IOAI
OBI
3
(3a十b)⊥a,所以(3a十b)·a=√3a2十a·b=3+入
以==
0,所以A=一3.
2
【答案】一√3
5.BAM=2Ai=2(AB+Bi,因为AH LBC.∠ABC
9.【解】ED=EO+OD=EO-DO=c-d:
AD=AO+OD=-0A-DO--a-d.
60,所以BH=1,所以BH=号BC,故AM=号AB+号Bi
DB=DC+CB-FA+EF=0A-OF+OF-OE=0A+EO
=a十-c.
=合A+合BC=合A店+合(C-A)=号A店+AC,
10.【解】(1)(a十2b)·(a十3b》
=a·a十5a·b+6b·b
故=子以=日
=|a2+5a·b+6b|2
6.B如图所示，利用平行四边形法则，将OP分解到OP,和
=lal2+5lal blcos 60*+61b13
=62+5×6X4Xc0s60°+6×42=192.
OP2上，有OP=OA+OB,则OA=mOP1,OB=nOP2,很明
(2)①因为AD∥BC,且方向相同，所以AD与BC的夹角是
显OA与OP1方向相同，则m>0:OB与OP2方向相反，
则n<0.
0°，所以AD·BC=|AD|BC引·c0s0°=3X3X1=9.②因
●
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