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假期作业
过好假期每一天
假期作业八直线与直线、直线与平面的位置关系
要有问必答
(2),BD∥EH,BD￠平面EFGH,
》固双基
EHC平面EFGH,
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面
∴.BD∥平面EFGH.
直线吗？
【方法指导】1.利用直线与平面平行的
判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内
与已知直线平行的直线，
2.若一条直线平行于一个平面内的一条直
2.证线线平行的方法常用三角形中位线
线，则这条直线和这个平面平行，对吗？
定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例
定理、基本事实等
3.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一
厚积薄发勘演练
条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条
1.(多选)如图，三棱柱
直线”？
ABC-ABC,中，底面
三角形AB,C,是正三
角形，E是BC的中点，
4.过一点有几条直线与已知平面垂直？
则下列叙述正确的是
A.直线CC,与直线B,E相交
B.CC,与AE共面
典例精析拓思维
C.AE与B,C是异面直线
D.AE与B,C,垂直
【例】如图，空间四边形
为
2.如图正方体ABCD-A,B,C,D1中，异面直
ABCD中，E、F、G、H分别是
H
线AB与AD1所成角为
AB、BC、CD、DA的中点.
A.30
求证：(1)EH∥平
B.45°
面BCD;
C.60
(2)BD∥平面EFGH
D.90°
【思路探究】(1)要证
3.对于直线m、n和平面a,下面命题中的真
EH∥平面BCD,只要证EH∥BD便可；
命题是
(
(2)要证BD∥平面EFGH,只要证BD
A.如果mCa,n丈a,m,n是异面直线，那
∥EH便可.
么n∥a
【解】(1)，EH为△ABD的中位线，
B.如果m二a,n与a相交，那么m,n是异
.EH∥BD.
面直线
.EH丈平面BCD,BDC平面BCD,
C.如果mCa,n∥a,m,n共面，那么m∥n
.EH∥平面BCD,
D.如果m∥a,n∥a,,n共面，那么m∥n
19
快乐学习把梦圆
高数学
4.如图所示，三棱锥P
9.如图，在棱长为a的正
ABC中，平面ABC⊥
方体ABCD
平面PAB,PA=PB,
AB1CD1中，E,F,P,
P
AD=DB,则()
Q分别是BC,C,D,
0
A.PDC平面ABC
AD1,BD的中点
B.PD⊥平面ABC
(1)求证：PQ∥平面DCC,D,;
C.PD与平面ABC相交但不垂直
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB,D,D.
D.PD∥平面ABC
5.如图所示，在斜三棱柱ABC-A B,C,中，
∠BAC=90°，BC11
AC,则C在面ABC上
的射影H必在(
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线CA上
D.△ABC内部
6.已知，在梯形ABCD中，AB∥CD,ABC
平面a,CD中平面a,则直线CD与平面&
内的任意一条直线m的位置关系是
7.在三棱锥P一ABC中，点P在平面ABC
中的射影为点O
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的
心；
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点
O是△ABC的
心
8.如图，四棱锥S一ABCD的底面为正方形，
SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有
个·
①AC⊥SB;
②AB∥平面SCD;
③SA与平面ABCD所
成的角是∠SAD:
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成
的角.
20参答
过好假期每一天
参考答案
假期作业一向量、向量的加法、向量的数乘
10.【解】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB.由向量的
有问必答
加，减法的几何意义可知，AD=AB十AC,CB=AB
1.提示：不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
AC.因为|AB+AC=|AB一AC引，所以|AD=|CB
2.提示：不对，它们的终点构成的图形是圆.
IBC=4,M是线较BC的中点，M是对角钱BC,AD
3.提示：不对，四为零向量与任意向量平行，所以平行于零向
量的两个向量不一定平行，
的交点，所以AM=号|AD=号CB=2.
4.提示：不是，当入=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得
出a与b的方向相同或相反
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厚积薄发
【解】(1)如图，操作8次赛车的位移为零
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
若|a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不
定有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与
b方向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若
|a=0或|b=0,则a∥b
2.DD项中，PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
3.C①错误.两向量共线要看其方向而不是起，点与终点.②
(2)要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方
正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大
式作图，则所作图形是内角为180°一a的正多边形，故有
小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.当ā
0时，不论入为何值，a=0:④错误.当入=：=0时，a
180°-a)=(n-2)180.m=360
,为不小于3的整数
b,此时，a与b可以是任意向堂，
若g=30°，则n=12,即操作12次可回到起点：
4.CO店-OA+A店-Oi+Ac-OA+(oc-OA)
若a=15°，则n=24,即操作24次可回到起点
10A+30元.即b=1a
子，同来号可得c=
b
假期作业二向量的分解与坐标表示
3
3a,故选：C
有问必答
1.提示：可以，因为e1,e2是不共线的向量，所以a和b为不
5.A由题意，A,B,D三点共线，故必存在一个实数A,使得
共线的向量，所以{，b}可以作为一个基底
AB=入BD.又AB=3e+2e:,CB=ke:+e2,CD=3e,
2.提示：不可以.只有不共线的两个向量才可以作为一组基底
2ke2.所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)
3.提示：不对，两个向量的终点不同，但它们可能相等，则坐
e1-(2k+1)e2,所以3e1十2e2=λ(3-k)e1-A(2k十1)e2,
标有可能相同」
所以9D.解得=-是.
4.提示：不对，只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是
其终点的坐标，
6.【解析】正方形的对角线互相平分，则AO=OC,①正确：
5.提示：(1)a∥b=x1y-x2y1=0.
(2)a⊥b台x1x红+y1=0.
AO与AC的方向相同，所以AO∥AC,②正确：AB与CD的
厚积薄发
方向相反，所以AB与CD共线，③正确：尽管|AO=|BO,
1.c
迭项A中，由平面向量基本定理知入e1十2e2与e1,e
然而AO与BO的方向不相同，所以AO≠BO,④不正确.
共面，所以A项不正确；选项B中，实数入，入有且仅有一
【答案】①②③
对，所以B项不正确；选项D中，实数入1，入2一定存在，所
7.【解析】0币=0+=0i+号A店=0i+号(O成
以D项不正确：很明显C项正确.
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
o=-oi+号o成
OD∥OB,所以A,C可以作为该平面内所有向量的基底.
【答案】-}oi+号O成
3.A
ina+co3a=7,可得2sina=sina十cosa,于是
由
sin a
.1
8.【解析】因为向量a一3b与a+(2一m)b共线，所以存
tana=1,因此AC=AB+BC=(3tana,-2)=(3,-2).
在实数入使a一3b=入[a十(2一m)b].又因为向量a,b是
4.C因为a∥b,所以c0sa×1一(-2)X sin a=0,即cosa=
两个不共线的向量，
所以m=入且一3=1(2一m),解得m=一1或m=3.
2sing.tana=一。·所以2s1nac0sa=，a。=1
当向量m0一3b与a十(2一m)b反向时，m=一1.
sina十cosa
【答案】-1或3-1
9.【解析】(1)证明：：AB=e,十e,BD=BC+CD=2e,十
2tan a
2x(-2)
4
tana十1
5
8e+3e-3e=5(e1+e)=5AB,
(-2)广+1
,AB,BD共线，且有公共点B
5.C
如图，由已知得，∠ABC=
A,B,D三点共线.
∠BAE=∠EAC=30°，∠AEC=60°，
(2),ke1十e2与e1十ke2共线，
AC=1,
.存在入，使e1十e:=(e十e:),
1
即(k-入)e1=(Ak一1)e2,由于e1与e2不共线，
.|EC=
只能有红话=士1
tan60=3
30
33

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