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很期作业
过好假期每一天
假期作业六复数
要有问必答固双基
【方法指导】复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分
1.两个虚数不能比较大小吗？
类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满
足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全
面，当条件不满足代数形式z=a+i(a,b∈
2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得
R)时应先转化形式.
实部，虚部与虚部相加得虚部，对吗？
(2)注意分清复数分类中的条件，设复数
之=a十bi(a,b∈R),则①x为实数台b=0,②
z为虚数台b≠0，③z为纯虚数台a=0,b≠0，
3.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等
④z=0台a=0,且b=0.
于0，那么这两个复数相等，对吗？
【例2】(1)已知z=2一i,则z(z十i)=
()
A.6-21
B.4-21
4.若两个复数互为共轭复数，则这两个复数
C.6+2i
D.4+2i
的模相等，对吗？
【解析】z(z十i)=(2-i)(2+i+i)=(2
-i)(2+2i)=4+4i-2i-2=6+2i,故
选C.
典例精析拓思维
【答案】C
(2)已知(1一i)2之=3+2i,则z=()
【例1】实数x分别取什么值时，复数之
=-x-6+(x2-2x-15)i是(1)实数？
A-1-2
B-1+
x+3
(2)虚数？(3)纯虚数？
C.
D-8-i
x2-2x-15=0,
【解析】
由(1一i)2z=3十2i,得之=
【解】(1)当x满足
x十3≠0，
3+2i
即x=5时，之是实数.
(1-i)3
-32”=-1+故选B
-2i
x2-2x-15≠0，
【答案】B
(2)当x满足
x十3≠0，
【方法指导】1.两个复数代数形式的除
即x≠一3且x≠5时，之是虚数.
法运算步骤
x2-x-6=0,
(1)首先将除式写为分式；
x+3
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭
(3)当x满足x2-2x-15≠0，
复数：
x十3≠0，
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运
即x=一2或x=3时，之是纯虚数，
算，并将其化为复数的代数形式.
13
快乐学习把梦圆
高片数学」
2.常用公式
6.设1=1十i,x2=一1十i,复数1和2在
-i(2i(3
=-i.
复平面内对应点分别为A,B,O为原点，
则△AOB的面积为
要厚积薄发
勤演练
2
7,下面是关于复数=-1十的四个命题：
1.已知复数x=a2一(2一b)i的实部和虚部分
p1:z=2;
别是2和3，则实数a、b的值分别是(
p2:z2=2i;
A.√2,1
B.√2,5
p3:之的共轭复数为1十i;
C.±2,5
D.±√2,1
p4:之的虚部为一1.
2.设A,B为锐角三角形的两个内角，则复数
其中的真命题为
z=(cosB-tanA)+itan B对应的点位于
8.已知i为虚数单位，x,y∈R,1=(3x+y）
复平面的
()
+(y-4x)i,z2=(4y-2.x)-(5.x+3y)i.
A.第一象限
B.第二象限
设之=名1一2，且之=13一2i,则名=
C.第三象限
D.第四象限
22
3.已知(1一i)2z=3+2i,则z=
(
A.-1-2
B-1+
9.设m∈R,复数，=m士”+(m-15)i,
m+2
z2=一2十m(m一3)i,若之1十之2是虚数，求
c-8+i
D-8-i
m的取值范围.
4.定义复数的一种运算12
十（等式右边为普通运算），若复
2
数x=a十bi,且正实数a,b满足a十b=3,
则之*乏的最小值为
(
A.号
&39
c
D
5.(多选)已知i是虚数单位，下列说法中正
确的是
()
A.若复数z满足z一i=√5，则复数z对
应的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的
圆上
B.若复数z满足之+z=2+8i,则复数z
=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对
应的点到原点的距离，也就是复数对应
的向量的模
D.复数1对应的向量为OZ1,复数2对
应的向量OZ2,若|名1十2=|1一2，
则OZ⊥OZ参答
过好假期每一天
参考答案
假期作业一向量、向量的加法、向量的数乘
10.【解】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB.由向量的
有问必答
加，减法的几何意义可知，AD=AB十AC,CB=AB
1.提示：不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
AC.因为|AB+AC=|AB一AC引，所以|AD=|CB
2.提示：不对，它们的终点构成的图形是圆.
IBC=4,M是线较BC的中点，M是对角钱BC,AD
3.提示：不对，四为零向量与任意向量平行，所以平行于零向
量的两个向量不一定平行，
的交点，所以AM=号|AD=号CB=2.
4.提示：不是，当入=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得
出a与b的方向相同或相反
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厚积薄发
【解】(1)如图，操作8次赛车的位移为零
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
若|a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不
定有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与
b方向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若
|a=0或|b=0,则a∥b
2.DD项中，PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
3.C①错误.两向量共线要看其方向而不是起，点与终点.②
(2)要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方
正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大
式作图，则所作图形是内角为180°一a的正多边形，故有
小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.当ā
0时，不论入为何值，a=0:④错误.当入=：=0时，a
180°-a)=(n-2)180.m=360
,为不小于3的整数
b,此时，a与b可以是任意向堂，
若g=30°，则n=12,即操作12次可回到起点：
4.CO店-OA+A店-Oi+Ac-OA+(oc-OA)
若a=15°，则n=24,即操作24次可回到起点
10A+30元.即b=1a
子，同来号可得c=
b
假期作业二向量的分解与坐标表示
3
3a,故选：C
有问必答
1.提示：可以，因为e1,e2是不共线的向量，所以a和b为不
5.A由题意，A,B,D三点共线，故必存在一个实数A,使得
共线的向量，所以{，b}可以作为一个基底
AB=入BD.又AB=3e+2e:,CB=ke:+e2,CD=3e,
2.提示：不可以.只有不共线的两个向量才可以作为一组基底
2ke2.所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)
3.提示：不对，两个向量的终点不同，但它们可能相等，则坐
e1-(2k+1)e2,所以3e1十2e2=λ(3-k)e1-A(2k十1)e2,
标有可能相同」
所以9D.解得=-是.
4.提示：不对，只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是
其终点的坐标，
6.【解析】正方形的对角线互相平分，则AO=OC,①正确：
5.提示：(1)a∥b=x1y-x2y1=0.
(2)a⊥b台x1x红+y1=0.
AO与AC的方向相同，所以AO∥AC,②正确：AB与CD的
厚积薄发
方向相反，所以AB与CD共线，③正确：尽管|AO=|BO,
1.c
迭项A中，由平面向量基本定理知入e1十2e2与e1,e
然而AO与BO的方向不相同，所以AO≠BO,④不正确.
共面，所以A项不正确；选项B中，实数入，入有且仅有一
【答案】①②③
对，所以B项不正确；选项D中，实数入1，入2一定存在，所
7.【解析】0币=0+=0i+号A店=0i+号(O成
以D项不正确：很明显C项正确.
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
o=-oi+号o成
OD∥OB,所以A,C可以作为该平面内所有向量的基底.
【答案】-}oi+号O成
3.A
ina+co3a=7,可得2sina=sina十cosa,于是
由
sin a
.1
8.【解析】因为向量a一3b与a+(2一m)b共线，所以存
tana=1,因此AC=AB+BC=(3tana,-2)=(3,-2).
在实数入使a一3b=入[a十(2一m)b].又因为向量a,b是
4.C因为a∥b,所以c0sa×1一(-2)X sin a=0,即cosa=
两个不共线的向量，
所以m=入且一3=1(2一m),解得m=一1或m=3.
2sing.tana=一。·所以2s1nac0sa=，a。=1
当向量m0一3b与a十(2一m)b反向时，m=一1.
sina十cosa
【答案】-1或3-1
9.【解析】(1)证明：：AB=e,十e,BD=BC+CD=2e,十
2tan a
2x(-2)
4
tana十1
5
8e+3e-3e=5(e1+e)=5AB,
(-2)广+1
,AB,BD共线，且有公共点B
5.C
如图，由已知得，∠ABC=
A,B,D三点共线.
∠BAE=∠EAC=30°，∠AEC=60°，
(2),ke1十e2与e1十ke2共线，
AC=1,
.存在入，使e1十e:=(e十e:),
1
即(k-入)e1=(Ak一1)e2,由于e1与e2不共线，
.|EC=
只能有红话=士1
tan60=3
30
33

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