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快乐学习把梦圆
数学
假期作业九平面与平面的位置关系
有问必答固双基
【证明】(1)如图，连接SB,
E,G分别是BC,SC的中点，
1.若一个平面内的两条直线分别平行于另一
∴.EG∥SB.
个平面内的两条直线，则这两个平面一定
又SBC平面BDDB,,
平行.对吗？
EG中平面BDDB1,
∴.直线EG∥平面BDDB.
(2)连接SD,F,G分别是DC,SC的
2.如果两个平面平行，那么这两个平面内的
中点，
新有直线都相互平行吗？
.FG∥SD.
又，SDC平面BDD,B,FG史平
面BDD1B1,
3.如果⊥3，则&内的直线必垂直于3内的
∴.FG∥平面BDD,B.
无数条直线吗？
又EG∥平面BDD,B,,且EGC平
面EFG,
FGC平面EFG,EG∩FG=G,
4.两个平面垂直，则一个平面内的任何一条
∴.平面EFG∥平面BDDB1.
直线都垂直于另一个平面吗？
【方法指导】解决线线平行与面面平行
的综合问题的策略
立体几何中常见的平行关系是线线平
5.二面角的平面角的大小，是否与角的顶点
行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不
在棱上的位置有关？
是孤立的，而是相互联系、相互转化的.以
平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三
种平行关系之间的转化关系
判定
罗典例精析拓思维
践线平石餐我面平
判定
性质
面面平行
【例】如图，在正方体
性质
ABCD-A1B,C,D1中，S
厚积薄发
勤演练
是B1D1的中点，E,F,G分
别是BC,DC,SC的中点.
D--.
1.平面a∥平面B,点A、C在平面a内，点B、
求证：(1)直线EG∥平
D在平面B内，若AB=CD,则AB,CD的
位置关系是
面BDD1B;
A.平行
B.相交
(2)平面EFG∥平面BDD1B.
C.异面
D.以上都有可能
22
很期作业
过好假期每一天
2.下列不能确定两个平面垂直的是(
)
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC
A.两个平面相交，所成二面角是直二面角
=90°，AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条
上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面
直线
ACD,则BC=
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面a内的直线a垂直于平面3内的直
线b
3.(多选)已知a,b表示两条直线，a,3,Y表
示三个不重合的平面，给出下列命题，正确
8.如图，四棱锥P一ABCD
的是
()
的底面是平行四边形，PA
A.若a∩Y=a,3∩y=b,且a∥b,则a∥3
=PB=AB=2,E,F分别
B.若a,b相交，且都在&，3外，a∥&，b∥a,
是AB,CD的中点，平面
a∥B,b∥B,则a∥3
AGF∥平面PEC,PD∩
C.若a∥a,b∥B,且a∥b,则a∥3
平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=
D.若aC&,a∥B,a∩B=b,则a∥b
,ED与AF相交于点H,则GH
4.如图，AB是圆的直径，
PA垂直于圆所在的平
9.如图，在三棱柱ABC-ABC1中，D、P分
面，C是圆上一点（不同
别是棱AB,AB,的中点，求证：
于A、B)且PA=AC,
(1)AC∥平面BCD:
则二面角PBCA的大
(2)平面APC∥平面B,CD.
小为
(
A.60°B.30°
C.45°
D.15
5.如图，在三棱台A1B,C1一ABC中，点D在
A,B1上，且AA1∥BD,点M是△A,B,C
内的一个动点，且有平面BDM∥平面
A,C,则动点M的轨迹是
(
A.平面
B.直线
C.线段，但只含1个端点
D.圆
6.如图所示，设E,F,E1,
F,分别是长方体ABCD
-AB,C1D1的棱AB,
CD,AB,C,D1的中
点，则平面EFD1A1与平面BCF,E的位
置关系是
23参答
过好假期每一天
参考答案
假期作业一向量、向量的加法、向量的数乘
10.【解】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB.由向量的
有问必答
加，减法的几何意义可知，AD=AB十AC,CB=AB
1.提示：不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
AC.因为|AB+AC=|AB一AC引，所以|AD=|CB
2.提示：不对，它们的终点构成的图形是圆.
IBC=4,M是线较BC的中点，M是对角钱BC,AD
3.提示：不对，四为零向量与任意向量平行，所以平行于零向
量的两个向量不一定平行，
的交点，所以AM=号|AD=号CB=2.
4.提示：不是，当入=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得
出a与b的方向相同或相反
个性飞扬
厚积薄发
【解】(1)如图，操作8次赛车的位移为零
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
若|a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不
定有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与
b方向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若
|a=0或|b=0,则a∥b
2.DD项中，PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
3.C①错误.两向量共线要看其方向而不是起，点与终点.②
(2)要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方
正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大
式作图，则所作图形是内角为180°一a的正多边形，故有
小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.当ā
0时，不论入为何值，a=0:④错误.当入=：=0时，a
180°-a)=(n-2)180.m=360
,为不小于3的整数
b,此时，a与b可以是任意向堂，
若g=30°，则n=12,即操作12次可回到起点：
4.CO店-OA+A店-Oi+Ac-OA+(oc-OA)
若a=15°，则n=24,即操作24次可回到起点
10A+30元.即b=1a
子，同来号可得c=
b
假期作业二向量的分解与坐标表示
3
3a,故选：C
有问必答
1.提示：可以，因为e1,e2是不共线的向量，所以a和b为不
5.A由题意，A,B,D三点共线，故必存在一个实数A,使得
共线的向量，所以{，b}可以作为一个基底
AB=入BD.又AB=3e+2e:,CB=ke:+e2,CD=3e,
2.提示：不可以.只有不共线的两个向量才可以作为一组基底
2ke2.所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)
3.提示：不对，两个向量的终点不同，但它们可能相等，则坐
e1-(2k+1)e2,所以3e1十2e2=λ(3-k)e1-A(2k十1)e2,
标有可能相同」
所以9D.解得=-是.
4.提示：不对，只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是
其终点的坐标，
6.【解析】正方形的对角线互相平分，则AO=OC,①正确：
5.提示：(1)a∥b=x1y-x2y1=0.
(2)a⊥b台x1x红+y1=0.
AO与AC的方向相同，所以AO∥AC,②正确：AB与CD的
厚积薄发
方向相反，所以AB与CD共线，③正确：尽管|AO=|BO,
1.c
迭项A中，由平面向量基本定理知入e1十2e2与e1,e
然而AO与BO的方向不相同，所以AO≠BO,④不正确.
共面，所以A项不正确；选项B中，实数入，入有且仅有一
【答案】①②③
对，所以B项不正确；选项D中，实数入1，入2一定存在，所
7.【解析】0币=0+=0i+号A店=0i+号(O成
以D项不正确：很明显C项正确.
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
o=-oi+号o成
OD∥OB,所以A,C可以作为该平面内所有向量的基底.
【答案】-}oi+号O成
3.A
ina+co3a=7,可得2sina=sina十cosa,于是
由
sin a
.1
8.【解析】因为向量a一3b与a+(2一m)b共线，所以存
tana=1,因此AC=AB+BC=(3tana,-2)=(3,-2).
在实数入使a一3b=入[a十(2一m)b].又因为向量a,b是
4.C因为a∥b,所以c0sa×1一(-2)X sin a=0,即cosa=
两个不共线的向量，
所以m=入且一3=1(2一m),解得m=一1或m=3.
2sing.tana=一。·所以2s1nac0sa=，a。=1
当向量m0一3b与a十(2一m)b反向时，m=一1.
sina十cosa
【答案】-1或3-1
9.【解析】(1)证明：：AB=e,十e,BD=BC+CD=2e,十
2tan a
2x(-2)
4
tana十1
5
8e+3e-3e=5(e1+e)=5AB,
(-2)广+1
,AB,BD共线，且有公共点B
5.C
如图，由已知得，∠ABC=
A,B,D三点共线.
∠BAE=∠EAC=30°，∠AEC=60°，
(2),ke1十e2与e1十ke2共线，
AC=1,
.存在入，使e1十e:=(e十e:),
1
即(k-入)e1=(Ak一1)e2,由于e1与e2不共线，
.|EC=
只能有红话=士1
tan60=3
30
33

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