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快乐学习把梦圆
数学
假期作业五
三角恒等变换
有问必答周双基
【解析】(1)f(x)=3cos(2x-零)
1.两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦
3
公式推导而来的？
2sin xcos x=
2 cos 2x+3
2 sin 2x-sin 2x=
2 sin 2x+3
2cos 2.-sin()
2.两角和与差的余弦公式的结构特征是什
所以T=2=元
么？可用什么口诀记忆？
2
(2)今1=2x+行，因为-<≤年，
3.对照识记两角和与差的余弦公式的方法，
所以-百<2x+5<
3
6
你能总结一下识记两角和与差的正弦公式
的方法吗？
因为y=sin1在[-，上单调透增，
6'2
在
元，5π上单调递减，
26
4.辅助角公式是如何推导出来的？
所以fx)≥sim(-看)=-2得证.
【方法指导】三角恒等变换与三角函数
5.半角公式是由以前学习过的哪些公式推导
图象性质的综合问题的解题策略：
来的？如何推导的？
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数
关系式化成y=asin wx十bcos wx十k的形
式，借助辅助角公式化为y=Asin(wx十g)十
典例精析拓思维
k或y=Acos(ωx十)十k的形式，将ωx十9
【例】
已知函数f(x)=√3cos
看作一个整体研究函数的性质.
(2x-5）-2 sinc
厚积薄发勤滴练
(1)求f(x)的最小正周期，
1.(多选)下列化简结果正确的是
(2)求证：当x[-至时)≥-
1
2
A.c0s2rsin52°-sim22c0s52°=号
【思路探究】
化为f(x)=Asin(ar十o)+b
B.sin15sin30°sin75°=1
4
→由T=
2红求周期
分析f(x)在
C.cos15-sin15°=2
2
上的单调性
求最小值证明不等式
D器2S-店
10
期作业
过好假期每一天
2.若03
5,sin(a
9.已知4sin2a+3c0s2a=0.2
2
十8=品则cosa
<30.
(1)求sin2a,cos2a的值；
A
B.65
6
(2)若sma+0-气，求cosa一的值。
C.
D清
3.cos2a-cos acos(60°+a)+sin2(30°-a)
的值为
()
A号
c
D
4,若an0=-2,则in十sin20=()
sin 0+cos 0
A-号
c号
5.已知函数f=()=os2二1，则有（)
sin 2x
A.函数f(x)的图象关于直线x=受对称
B.函数f(x)的图象关于点（受，0）对称
C.函数f(x)的最小正周期为受
D.函数f(x)在(0，)内单调递减
6.已知a,B均为锐角，且cosa=2,5,
5,cos B=
,则a一B=
10
7.√2十√/2十2cosa(2π为
7,sin B=33
8.已知a9均为锐角，0osa=2y7
14
则cos2a=
,2a-3=
11参答
过好假期每一天
参考答案
假期作业一向量、向量的加法、向量的数乘
10.【解】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB.由向量的
有问必答
加，减法的几何意义可知，AD=AB十AC,CB=AB
1.提示：不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
AC.因为|AB+AC=|AB一AC引，所以|AD=|CB
2.提示：不对，它们的终点构成的图形是圆.
IBC=4,M是线较BC的中点，M是对角钱BC,AD
3.提示：不对，四为零向量与任意向量平行，所以平行于零向
量的两个向量不一定平行，
的交点，所以AM=号|AD=号CB=2.
4.提示：不是，当入=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得
出a与b的方向相同或相反
个性飞扬
厚积薄发
【解】(1)如图，操作8次赛车的位移为零
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
若|a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不
定有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与
b方向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若
|a=0或|b=0,则a∥b
2.DD项中，PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
3.C①错误.两向量共线要看其方向而不是起，点与终点.②
(2)要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方
正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大
式作图，则所作图形是内角为180°一a的正多边形，故有
小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.当ā
0时，不论入为何值，a=0:④错误.当入=：=0时，a
180°-a)=(n-2)180.m=360
,为不小于3的整数
b,此时，a与b可以是任意向堂，
若g=30°，则n=12,即操作12次可回到起点：
4.CO店-OA+A店-Oi+Ac-OA+(oc-OA)
若a=15°，则n=24,即操作24次可回到起点
10A+30元.即b=1a
子，同来号可得c=
b
假期作业二向量的分解与坐标表示
3
3a,故选：C
有问必答
1.提示：可以，因为e1,e2是不共线的向量，所以a和b为不
5.A由题意，A,B,D三点共线，故必存在一个实数A,使得
共线的向量，所以{，b}可以作为一个基底
AB=入BD.又AB=3e+2e:,CB=ke:+e2,CD=3e,
2.提示：不可以.只有不共线的两个向量才可以作为一组基底
2ke2.所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)
3.提示：不对，两个向量的终点不同，但它们可能相等，则坐
e1-(2k+1)e2,所以3e1十2e2=λ(3-k)e1-A(2k十1)e2,
标有可能相同」
所以9D.解得=-是.
4.提示：不对，只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是
其终点的坐标，
6.【解析】正方形的对角线互相平分，则AO=OC,①正确：
5.提示：(1)a∥b=x1y-x2y1=0.
(2)a⊥b台x1x红+y1=0.
AO与AC的方向相同，所以AO∥AC,②正确：AB与CD的
厚积薄发
方向相反，所以AB与CD共线，③正确：尽管|AO=|BO,
1.c
迭项A中，由平面向量基本定理知入e1十2e2与e1,e
然而AO与BO的方向不相同，所以AO≠BO,④不正确.
共面，所以A项不正确；选项B中，实数入，入有且仅有一
【答案】①②③
对，所以B项不正确；选项D中，实数入1，入2一定存在，所
7.【解析】0币=0+=0i+号A店=0i+号(O成
以D项不正确：很明显C项正确.
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
o=-oi+号o成
OD∥OB,所以A,C可以作为该平面内所有向量的基底.
【答案】-}oi+号O成
3.A
ina+co3a=7,可得2sina=sina十cosa,于是
由
sin a
.1
8.【解析】因为向量a一3b与a+(2一m)b共线，所以存
tana=1,因此AC=AB+BC=(3tana,-2)=(3,-2).
在实数入使a一3b=入[a十(2一m)b].又因为向量a,b是
4.C因为a∥b,所以c0sa×1一(-2)X sin a=0,即cosa=
两个不共线的向量，
所以m=入且一3=1(2一m),解得m=一1或m=3.
2sing.tana=一。·所以2s1nac0sa=，a。=1
当向量m0一3b与a十(2一m)b反向时，m=一1.
sina十cosa
【答案】-1或3-1
9.【解析】(1)证明：：AB=e,十e,BD=BC+CD=2e,十
2tan a
2x(-2)
4
tana十1
5
8e+3e-3e=5(e1+e)=5AB,
(-2)广+1
,AB,BD共线，且有公共点B
5.C
如图，由已知得，∠ABC=
A,B,D三点共线.
∠BAE=∠EAC=30°，∠AEC=60°，
(2),ke1十e2与e1十ke2共线，
AC=1,
.存在入，使e1十e:=(e十e:),
1
即(k-入)e1=(Ak一1)e2,由于e1与e2不共线，
.|EC=
只能有红话=士1
tan60=3
30
33

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