资源简介

假期作亚
过好假期每一天
假期作业一向量、向量的加法、
向量的数乘
有问必答图双基
【解】(1)证明：，CB=e,+3e2,CD=
1.两个向量，长度大的向量较大吗？
2e1-e2'
∴.BD=CD-CB=e1-4e2.
又AB=2e1-8e2=2(e1-4ez),
.AB=2BD,.AB∥BD
2.把平面上所有单位向量的起点都平移到同
AB与BD有公共点B,
一点时，它们的终点构成的图形是线段
对吗？
A,B,D三点共线
(2)由于A,B,P三点共线，所以向量
AB,AP在同一直线上，由向量共线定理可
知，必定存在实数入使AP=入AB,
3.平行于同一向量的两个向量平行.对吗？
即OP-OA=A(OB-OA),
所以OP=(1-A)OA十AOB,
4.若b=a(a≠0)，则a与b方向相同或相
故x=1-λ，y=入，即x十y=1.
反吗？
【方法指导】1.证明或判断三点共线的
方法
(1)一般来说，要判定A,B,C三点是否
典例精析拓思维
共线，只需看是否存在实数入，使得AB=入
【例】(1)已知e1,e2是两个不共线的
AC(或BC=入AB等)即可.
向量，若AB=2e,-8e2,CB=e1十3e,CD=
(2)利用结论：若A,B,C三点共线，O为
2e1一e2,求证：A,B,D三点共线；
直线外一点台存在实数x,y,使OA=xOB+
(2)已知A,B,P三点共线，O为直线外
任意一点，若OP=xOA+yOB,求x十y
yOC且x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
的值.
判断、证明向量共线问题的思路是根据
【思路探究】(I)表示出AB与BD→证
向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得α=b
明AB=入BD→A,B,D三点共线
(b≠0).而已知向量共线求入，常根据向量共
(2)A,B,P三点共线→AP=AAB→
线的条件转化为相应向量系数相等求解.若
两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待
用OA,OB表示OP观察x十y的值
定系数法建立方程，解方程从而求得入的值.
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.
高数学
厚积薄发勘演练
7.如图所示，已知A户=号A店.用O,O表
1.(多选)下列条件，能使a∥b成立的有
示OP,则OP
(
A.a=b
B.a=b
C.a与b方向相反D.a=0或|b=0
2.下列不能化简为PQ的是
()
8.已知向量a,b是两个不共线的向量，且向
A.QC-QP+CQ
量ma一3b与a十(2一m)b共线，则实数m
若向量m0-3b
B.AB+(PA+BQ)
与a+(2一m)b反向，则实数m=
C.(AB+PC)+(BA-QC)
D.PA+AB-BQ
9.已知非零向量e1,e2不共线.
3.给出下列命题：
(1)如果AB=e1+e2,BC=2e,+8e2,CD
①两个具有公共终点的向量，一定是共线
3(e1一e2),求证：A,B,D三点共线：
向量；②两个向量不能比较大小，但它们的
(2)欲使e1+e2和e1+ke2共线，试确定
模能比较大小；③若a=0(入为实数)，则
实数k的值.
入必为零；④已知入，以为实数，若a=b,
则a与b共线.其中错误命题的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图，若OA=a,OB=b,OC
=c,B是线段AC靠近点C
的一个四等分点，则下列等
式成立的是
B.c=
C.c=-3a
1
5.设e1与e2是两个不共线的向量，AB=3e
+2e2,CB=ke十e2,CD=3e,-2ke2,若
A,B,D三点共线，则k的值为
()
A-号B-号
C.-3
D.-8
6.设O是正方形ABCD的中
心，则①A0=OC;②A0∥
AC;③AB与CD共线；④AO
=BO.其中，所有正确的序号为参答
过好假期每一天
参考答案
假期作业一向量、向量的加法、向量的数乘
10.【解】以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB.由向量的
有问必答
加，减法的几何意义可知，AD=AB十AC,CB=AB
1.提示：不是，向量既有大小又有方向，因此不能比较大小
AC.因为|AB+AC=|AB一AC引，所以|AD=|CB
2.提示：不对，它们的终点构成的图形是圆.
IBC=4,M是线较BC的中点，M是对角钱BC,AD
3.提示：不对，四为零向量与任意向量平行，所以平行于零向
量的两个向量不一定平行，
的交点，所以AM=号|AD=号CB=2.
4.提示：不是，当入=0时，b=0,此时b的方向任意，不能得
出a与b的方向相同或相反
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厚积薄发
【解】(1)如图，操作8次赛车的位移为零
1.ACD若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b:
若|a=b,则a与b的大小相等，方向不确定，因此不
定有a∥b:方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与
b方向相反，则有a∥b:零向量与任意向量都平行，所以若
|a=0或|b=0,则a∥b
2.DD项中，PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ,故选D.
3.C①错误.两向量共线要看其方向而不是起，点与终点.②
(2)要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方
正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大
式作图，则所作图形是内角为180°一a的正多边形，故有
小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.当ā
0时，不论入为何值，a=0:④错误.当入=：=0时，a
180°-a)=(n-2)180.m=360
,为不小于3的整数
b,此时，a与b可以是任意向堂，
若g=30°，则n=12,即操作12次可回到起点：
4.CO店-OA+A店-Oi+Ac-OA+(oc-OA)
若a=15°，则n=24,即操作24次可回到起点
10A+30元.即b=1a
子，同来号可得c=
b
假期作业二向量的分解与坐标表示
3
3a,故选：C
有问必答
1.提示：可以，因为e1,e2是不共线的向量，所以a和b为不
5.A由题意，A,B,D三点共线，故必存在一个实数A,使得
共线的向量，所以{，b}可以作为一个基底
AB=入BD.又AB=3e+2e:,CB=ke:+e2,CD=3e,
2.提示：不可以.只有不共线的两个向量才可以作为一组基底
2ke2.所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)
3.提示：不对，两个向量的终点不同，但它们可能相等，则坐
e1-(2k+1)e2,所以3e1十2e2=λ(3-k)e1-A(2k十1)e2,
标有可能相同」
所以9D.解得=-是.
4.提示：不对，只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是
其终点的坐标，
6.【解析】正方形的对角线互相平分，则AO=OC,①正确：
5.提示：(1)a∥b=x1y-x2y1=0.
(2)a⊥b台x1x红+y1=0.
AO与AC的方向相同，所以AO∥AC,②正确：AB与CD的
厚积薄发
方向相反，所以AB与CD共线，③正确：尽管|AO=|BO,
1.c
迭项A中，由平面向量基本定理知入e1十2e2与e1,e
然而AO与BO的方向不相同，所以AO≠BO,④不正确.
共面，所以A项不正确；选项B中，实数入，入有且仅有一
【答案】①②③
对，所以B项不正确；选项D中，实数入1，入2一定存在，所
7.【解析】0币=0+=0i+号A店=0i+号(O成
以D项不正确：很明显C项正确.
2.ACAD与AB不共线，DA∥BC,CA与DC不共线，
o=-oi+号o成
OD∥OB,所以A,C可以作为该平面内所有向量的基底.
【答案】-}oi+号O成
3.A
ina+co3a=7,可得2sina=sina十cosa,于是
由
sin a
.1
8.【解析】因为向量a一3b与a+(2一m)b共线，所以存
tana=1,因此AC=AB+BC=(3tana,-2)=(3,-2).
在实数入使a一3b=入[a十(2一m)b].又因为向量a,b是
4.C因为a∥b,所以c0sa×1一(-2)X sin a=0,即cosa=
两个不共线的向量，
所以m=入且一3=1(2一m),解得m=一1或m=3.
2sing.tana=一。·所以2s1nac0sa=，a。=1
当向量m0一3b与a十(2一m)b反向时，m=一1.
sina十cosa
【答案】-1或3-1
9.【解析】(1)证明：：AB=e,十e,BD=BC+CD=2e,十
2tan a
2x(-2)
4
tana十1
5
8e+3e-3e=5(e1+e)=5AB,
(-2)广+1
,AB,BD共线，且有公共点B
5.C
如图，由已知得，∠ABC=
A,B,D三点共线.
∠BAE=∠EAC=30°，∠AEC=60°，
(2),ke1十e2与e1十ke2共线，
AC=1,
.存在入，使e1十e:=(e十e:),
1
即(k-入)e1=(Ak一1)e2,由于e1与e2不共线，
.|EC=
只能有红话=士1
tan60=3
30
33

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