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广东省中山市博文学校2025年中考数学一模试卷
1．（2025·中山模拟）下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·中山模拟）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·中山模拟）在下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．（2025·中山模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·中山模拟）如图，点A是外一点，分别与相切于点B、C，点D在上、已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·中山模拟）如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·中山模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2025·中山模拟）电影《志愿军：雄兵出击》于年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达万元，设平均每天票房的增长率为x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·中山模拟）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A．0 B．-10 C．3 D．10
10．（2025·中山模拟）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·中山模拟）求值：　 　．
12．（2025·中山模拟）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为　 　m．
13．（2025·中山模拟）以原点为旋转中心，将点旋转得到点，则点坐标为　 　．
14．（2025·中山模拟）如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　．
15．（2025·中山模拟）如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为　 　．
16．（2025·中山模拟）解方程：．
17．（2025·中山模拟）如图，在中，，，
（1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，并求的值．
18．（2025·中山模拟）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度．
19．（2025·中山模拟）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，放回搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
20．（2025·中山模拟）如图，在中，点D在边上，，的角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长度．
21．（2025·中山模拟）综合与实线
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E．
（1）【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求．
22．（2025·中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
23．（2025·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接，交于点F，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各个选项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程的左边一定是，
故答案为：D．
【分析】由“配方法”的基本步骤：先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式，据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故A不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图可知这个几何体为圆锥，
∵主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，
∴圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，
∴这个几何体的侧面展开图的面积为：，
故答案为：B．
【分析】先根据几何体的三视图得到这个几何体为圆锥以及圆锥的母线长、底面圆的直径，然后根据圆锥的侧面积计算公式，其中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥的母线长，据此即可求解.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵分别与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据切线的性质得，然后利用四边形的内角和等于360°得，最后根据圆周角定理求出的度数.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，然后由旋转的性质求出，再次根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，最后即可求得的度数．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，有正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为2，
∴点的横坐标为-2，
∴当时，的取值范围是或，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，然后结合图象信息以及点的横坐标得点的横坐标，据此即可得的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x ，
∵某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，
∴第一天为：万元，第二天为：万元，第三天为：万元，
∵三天后累计票房收入达万元，
∴可列方程为：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，设平均每天票房的增长率为x，先求出三天各自的票房，然后根据三天后累计票房收入即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，把点向上平移3个单位得到点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据抛物线的对称性可知，
∴，
∴四边形的周长为：，此时四边形的周长最小，
令，有，
解得：，，
∴，，
∴，
令，有，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，线段在抛物线的对称轴上移动，
∴将代入，得，
∴，
故答案为：B．
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为点，把点向上平移3个单位得到点，先推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，结合抛物线的对称性得，从而进行等量代换得，进而得到四边形的周长为，根据”两点之间线段最短“可判断此时四边形的周长最小，然后求出四点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点坐标．
11．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：1.
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可.
12．【答案】20
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】先根据坡比等于坡角的正切值，即铅直高比上水平宽的值，求出的长度，然后利用勾股定理求出的长度.
13．【答案】或
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵以原点为旋转中心，将点旋转得到点，
∴分以下两种情况讨论：
①当逆时针旋转时，如图，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵点的坐标为，
∴，，
∴点的坐标为；
②当顺时针旋转时，如图，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，
同理可得，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，分两种情况讨论：①当逆时针旋转时，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，结合旋转的性质，利用”一线三垂直“全等模型证出，得，的值，即可求出点的坐标；②当顺时针旋转时，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，同理证出，得的值，即可求出点的坐标.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，以为半径作圆弧，交的延长线于点，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【分析】将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键，根据正方形的性质及作图得，，从而得，，进而根据，利用扇形面积公式以及三角形面积公式进行计算即可解答．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，且与交于点，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得，设，则，根据平行四边形的性质，结合点坐标可得，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于的方程，解方程求出的值即可求解.
16．【答案】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项将一元二次方程化成一般形式，再利用“公式法”解一元二次方程即可.
17．【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，连接，记的垂直平分线与交点为点，
垂直平分，
，
设，
∵，
∴，
∵， ，由勾股定理得，
，
解得：，
∴，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；求余弦值
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，作线段的垂直平分线交边于点即可；
（2）连接，记的垂直平分线与交点为点，根据线段垂直平分线的性质得，设，则，然后利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求出，最后再根据余弦的定义即可解答．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，连接，记的垂直平分线与交点为点，
垂直平分，
，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得，
，
解得，
则，
．
18．【答案】解：如图，连接，，过点作于点，延长交于点，
，
，
，，
，，
的半径为，，
，
在和中，由勾股定理得，，
该烧瓶的高度为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，，过点作于点，延长交于点，先推出，然后根据垂径定理得出，的长，在和中，再利用勾股定理得出，的长，进而可得该烧瓶的高度.
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∴共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是，
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行求解；
（2）先利用”树状图法“得出所有的等可能的结果数，从而得两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，进而利用概率公式进行求解即可.
（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是．
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求出的值，从而求出，的值，进而即可得证结论；
（2）由（1）的结论得，根据相似三角形的判定可证，得，然后由角平分线的定义得，最后由相似三角形的判定得证结论；
（3）由（2）得，根据相似三角形的性质可得的值，即可求出的长度.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】（1）；
（2）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
，，
，
，
∴，
∴，
，即，
解得：，
，
；
（3）解：如图，过作于点，则，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型；“赵爽弦图”模型；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）直接利用“一线三垂直“全等模型证出，根据全等三角形对应边相等即可；
（2）利用“一线三垂直“全等模型证出，得、的值，从而得的值，然后根据平行线的判定推出，由相似三角形的判定再证，得，即可求的值，进而得的值，最后利用三角形面积公式可求出的面积；
（3）过作于点，则，，易证和，得，，从而求出，进而建立关于的方程，解方程求出的长度，然后证明，利用相似三角形的性质求值，最后根据正切的定义即可解答．
（1）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
∴，
∴，
，即，解得：，
，
．
（3）解：如图，过N作于点M，即，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
．
故答案为：．
22．【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠CBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在和中，
，
∴，
∴AE=BF；
（2）证明：如图，连接EF，BG，
由（1）得，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
∵∠EBF=90°，由根据勾股定理得：，
∵EB=2，
∴，
∵为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴，
∴，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接BD，根据等腰直角三角形得∠A=∠C=45°，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，利用直角三角形斜边上的中线性质得，然后求出∠A=∠CBD，∠EDA=∠FDB，推出，即可得证结论；
（2）连接EF，BG，由（1）得，从而得到ED=FD，进而得到为等腰直角三角形，然后利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质得到∠G=∠DEF，根据平行线的判定即可得证结论；
（3）先求出AE=BF=1，利用勾股定理求出EF的长，然后解直角三角形求出DE的长，接下来推出，得，即可求出GE的值，最后求GD=GE+DE的长即可．
23．【答案】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：∵二次函数与y轴交于点C ，
∴令，有，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
∴，，
∴，
∵点D在直线下方的抛物线上，
∴；
（3）解：①如图1，当时，过点A作交于G，
∴，
∴，
由（2）得直线的解析式为：，，
∴把代入，得，
，
∴，
∴当时，有最大值，
∵，
∴有最大值；
②如图2，当时，此时，
∴，
∵时，随着t的增大而增大，
∴没有最大值，
∴没有最大值，
∴没有最大值；
③如图3，当时，此时，
当时，随着t的增大而减小，
∴没有最大值，
∴没有最大值；
④如图4，
同理可得当时，没有最大值；
综上所述：当时，有最大值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，利用待定系数法求出直线的解析式，设点D的横坐标为t，则有，，从而写出l关于t的函数表达式 ，进而再求出自变量取值范围即可；
（3）分四种情形：①当时，过点A作交于G，根据相似三角形的判定可得出，于是得，然后求出，，可得，进而利用二次函数的最值知识得到的最大值，最后由即可求解；②当时，求出，从而得，进而利用二次函数的增减性可知没有最大值；③当时，求出，利用二次函数的增减性可知没有最大值；④同理可得没有最大值.
（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）解：二次函数中，令，则，
∴，
设直线的解析式为：．
将，代入得到：，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
∴，，
∴，
∵点D在直线下方的抛物线上，
∴．
（3）解：如图1：
当时，作交于G，
∴，
∴，
把代入得：，
，
∴，
∴当时，有最大值，
∴，
∴有最大值；
如图2，当时，此时，
∴，
∵时，随着t的增大而增大，
∴没有最大值，
∴没有最大值；
如图3，
当时，，
当时，随着t的增大而减小，
∴没有最大值；
∴没有最大值；
如图4，
同理：当时，没有最大值．
综上所述：当时，有最大值．
1 / 1广东省中山市博文学校2025年中考数学一模试卷
1．（2025·中山模拟）下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各个选项进行判断即可.
2．（2025·中山模拟）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程的左边一定是，
故答案为：D．
【分析】由“配方法”的基本步骤：先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式，据此即可求解.
3．（2025·中山模拟）在下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故A不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，逐项进行判断即可.
4．（2025·中山模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图可知这个几何体为圆锥，
∵主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，
∴圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，
∴这个几何体的侧面展开图的面积为：，
故答案为：B．
【分析】先根据几何体的三视图得到这个几何体为圆锥以及圆锥的母线长、底面圆的直径，然后根据圆锥的侧面积计算公式，其中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥的母线长，据此即可求解.
5．（2025·中山模拟）如图，点A是外一点，分别与相切于点B、C，点D在上、已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵分别与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据切线的性质得，然后利用四边形的内角和等于360°得，最后根据圆周角定理求出的度数.
6．（2025·中山模拟）如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，然后由旋转的性质求出，再次根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，最后即可求得的度数．
7．（2025·中山模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，有正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为2，
∴点的横坐标为-2，
∴当时，的取值范围是或，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，然后结合图象信息以及点的横坐标得点的横坐标，据此即可得的取值范围.
8．（2025·中山模拟）电影《志愿军：雄兵出击》于年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达万元，设平均每天票房的增长率为x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x ，
∵某市第一天票房约万元，以后每天票房按相同的增长率增长，
∴第一天为：万元，第二天为：万元，第三天为：万元，
∵三天后累计票房收入达万元，
∴可列方程为：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，设平均每天票房的增长率为x，先求出三天各自的票房，然后根据三天后累计票房收入即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
9．（2025·中山模拟）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A．0 B．-10 C．3 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
10．（2025·中山模拟）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，把点向上平移3个单位得到点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据抛物线的对称性可知，
∴，
∴四边形的周长为：，此时四边形的周长最小，
令，有，
解得：，，
∴，，
∴，
令，有，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，线段在抛物线的对称轴上移动，
∴将代入，得，
∴，
故答案为：B．
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为点，把点向上平移3个单位得到点，先推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，结合抛物线的对称性得，从而进行等量代换得，进而得到四边形的周长为，根据”两点之间线段最短“可判断此时四边形的周长最小，然后求出四点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点坐标．
11．（2025·中山模拟）求值：　 　．
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：1.
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可.
12．（2025·中山模拟）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为　 　m．
【答案】20
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】先根据坡比等于坡角的正切值，即铅直高比上水平宽的值，求出的长度，然后利用勾股定理求出的长度.
13．（2025·中山模拟）以原点为旋转中心，将点旋转得到点，则点坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵以原点为旋转中心，将点旋转得到点，
∴分以下两种情况讨论：
①当逆时针旋转时，如图，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵点的坐标为，
∴，，
∴点的坐标为；
②当顺时针旋转时，如图，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，
同理可得，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，分两种情况讨论：①当逆时针旋转时，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，结合旋转的性质，利用”一线三垂直“全等模型证出，得，的值，即可求出点的坐标；②当顺时针旋转时，分别过点和点作x轴的垂线，垂足分别为和，同理证出，得的值，即可求出点的坐标.
14．（2025·中山模拟）如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，以为半径作圆弧，交的延长线于点，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【分析】将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键，根据正方形的性质及作图得，，从而得，，进而根据，利用扇形面积公式以及三角形面积公式进行计算即可解答．
15．（2025·中山模拟）如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，且与交于点，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得，设，则，根据平行四边形的性质，结合点坐标可得，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于的方程，解方程求出的值即可求解.
16．（2025·中山模拟）解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项将一元二次方程化成一般形式，再利用“公式法”解一元二次方程即可.
17．（2025·中山模拟）如图，在中，，，
（1）利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，并求的值．
【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，连接，记的垂直平分线与交点为点，
垂直平分，
，
设，
∵，
∴，
∵， ，由勾股定理得，
，
解得：，
∴，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；求余弦值
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，作线段的垂直平分线交边于点即可；
（2）连接，记的垂直平分线与交点为点，根据线段垂直平分线的性质得，设，则，然后利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求出，最后再根据余弦的定义即可解答．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，连接，记的垂直平分线与交点为点，
垂直平分，
，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得，
，
解得，
则，
．
18．（2025·中山模拟）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度．
【答案】解：如图，连接，，过点作于点，延长交于点，
，
，
，，
，，
的半径为，，
，
在和中，由勾股定理得，，
该烧瓶的高度为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，，过点作于点，延长交于点，先推出，然后根据垂径定理得出，的长，在和中，再利用勾股定理得出，的长，进而可得该烧瓶的高度.
19．（2025·中山模拟）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，放回搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∴共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是，
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行求解；
（2）先利用”树状图法“得出所有的等可能的结果数，从而得两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，进而利用概率公式进行求解即可.
（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是．
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
20．（2025·中山模拟）如图，在中，点D在边上，，的角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求出的值，从而求出，的值，进而即可得证结论；
（2）由（1）的结论得，根据相似三角形的判定可证，得，然后由角平分线的定义得，最后由相似三角形的判定得证结论；
（3）由（2）得，根据相似三角形的性质可得的值，即可求出的长度.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．（2025·中山模拟）综合与实线
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E．
（1）【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求．
【答案】（1）；
（2）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
，，
，
，
∴，
∴，
，即，
解得：，
，
；
（3）解：如图，过作于点，则，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型；“赵爽弦图”模型；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）直接利用“一线三垂直“全等模型证出，根据全等三角形对应边相等即可；
（2）利用“一线三垂直“全等模型证出，得、的值，从而得的值，然后根据平行线的判定推出，由相似三角形的判定再证，得，即可求的值，进而得的值，最后利用三角形面积公式可求出的面积；
（3）过作于点，则，，易证和，得，，从而求出，进而建立关于的方程，解方程求出的长度，然后证明，利用相似三角形的性质求值，最后根据正切的定义即可解答．
（1）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
∴，
∴，
，即，解得：，
，
．
（3）解：如图，过N作于点M，即，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
．
故答案为：．
22．（2025·中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠CBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在和中，
，
∴，
∴AE=BF；
（2）证明：如图，连接EF，BG，
由（1）得，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
∵∠EBF=90°，由根据勾股定理得：，
∵EB=2，
∴，
∵为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴，
∴，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接BD，根据等腰直角三角形得∠A=∠C=45°，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，利用直角三角形斜边上的中线性质得，然后求出∠A=∠CBD，∠EDA=∠FDB，推出，即可得证结论；
（2）连接EF，BG，由（1）得，从而得到ED=FD，进而得到为等腰直角三角形，然后利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质得到∠G=∠DEF，根据平行线的判定即可得证结论；
（3）先求出AE=BF=1，利用勾股定理求出EF的长，然后解直角三角形求出DE的长，接下来推出，得，即可求出GE的值，最后求GD=GE+DE的长即可．
23．（2025·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接，交于点F，求的最大值．
【答案】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：∵二次函数与y轴交于点C ，
∴令，有，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
∴，，
∴，
∵点D在直线下方的抛物线上，
∴；
（3）解：①如图1，当时，过点A作交于G，
∴，
∴，
由（2）得直线的解析式为：，，
∴把代入，得，
，
∴，
∴当时，有最大值，
∵，
∴有最大值；
②如图2，当时，此时，
∴，
∵时，随着t的增大而增大，
∴没有最大值，
∴没有最大值，
∴没有最大值；
③如图3，当时，此时，
当时，随着t的增大而减小，
∴没有最大值，
∴没有最大值；
④如图4，
同理可得当时，没有最大值；
综上所述：当时，有最大值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，利用待定系数法求出直线的解析式，设点D的横坐标为t，则有，，从而写出l关于t的函数表达式 ，进而再求出自变量取值范围即可；
（3）分四种情形：①当时，过点A作交于G，根据相似三角形的判定可得出，于是得，然后求出，，可得，进而利用二次函数的最值知识得到的最大值，最后由即可求解；②当时，求出，从而得，进而利用二次函数的增减性可知没有最大值；③当时，求出，利用二次函数的增减性可知没有最大值；④同理可得没有最大值.
（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）解：二次函数中，令，则，
∴，
设直线的解析式为：．
将，代入得到：，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
∴，，
∴，
∵点D在直线下方的抛物线上，
∴．
（3）解：如图1：
当时，作交于G，
∴，
∴，
把代入得：，
，
∴，
∴当时，有最大值，
∴，
∴有最大值；
如图2，当时，此时，
∴，
∵时，随着t的增大而增大，
∴没有最大值，
∴没有最大值；
如图3，
当时，，
当时，随着t的增大而减小，
∴没有最大值；
∴没有最大值；
如图4，
同理：当时，没有最大值．
综上所述：当时，有最大值．
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