资源简介

(共29张PPT)
2.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念，体现数学抽象能力（重点）
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，体现逻辑推理能力（重点）
3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题，体现逻辑推理和数学运算素养（难点）
新课导入
我们在初中学过， 一元二次函数的图象是一条抛物线， 而且知道， 斜抛物体在没有空气阻力的情况下， 其轨迹是拋物线， 如铅球的运行轨迹等， 有些拱桥、雷达的天线也是利用抛物线的原理制成的. 那么，具有怎样几何特征的曲线是抛物线呢
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如图， 先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘 (记作直线l )，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等， 细绳的一端固定在三角板顶点A处， 另一端固定在画板上的点F处.
F
A


B
M
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用铅笔尖 (记作点P) 扣紧绳子, 并靠住三角板, 然后将三角板沿着直尺上下滑动, 可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线, 即点P的轨迹.
观察铅笔尖随着三角板的移动过程，可以发现，点P始终满足|PF|=|PB| (三角板的直角顶点记作B )， 即点P到定点F的距离和点P到定直线l的距离相等.
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抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F的距离相等的点的集合 (或轨迹) 叫作抛物线.
这个定点F叫作抛物线的焦点, 这条定直线l叫作抛物线的准线.
l
F
P
B
焦点
准线
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思考交流：观察图中，点A,B,C,D分别是四个圆的圆心， 试用数学语言来描述这些点.
A,B,C,D是与定点O和定直线l (l不经过点O）的距离相等的集合（或轨迹）.
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思考一下：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程, 你认为应如何建立平面直角坐标系, 使所建立的抛物线的方程简单？
1.建系：
取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
l
F
M
H
K
O
y
x
设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，则|KF|=p，那么焦点F的坐标为 准线l的方程为
2.设点：
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设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，则|MF|=d.
3.列式：
因为
所以
4.化简：
将上式两边平方并化简，得
①
这说明抛物线上的任意一点的坐标都满足方程①，反之，可以证明以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
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抛物线的标准方程的概念
我们把
l
F
M
H
K
O
y
x
叫作抛物线的标准方程.
焦点在x轴正半轴上，坐标是 准线方程是 其中p是抛物线的焦点到准线的距离.
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注意事项：
1.参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离即焦准距，这就是抛物线的标准方程中参数p的几何意义，所以p的值大于0.
2.焦点的非零坐标是标准方程中一次项系数的 .
3.准线与坐标轴的交点和焦点关于原点对称.
4.标准方程右边一次项的变量决定焦点所在坐标轴，一次项系数的符号决定开口方向.
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例1:根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标为(2,0)；
设抛物线的标准方程为
y2=2px(p＞0).
其焦点坐标为( ，0)，根据题意有 =2，故2p=8.
所以所求抛物线的标准方程为y2=8x.
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(2)准线方程为
设抛物线的标准方程为
y2=2px(p＞0).
其准线方程为 ，根据题意有 ，故2p=6.
所以所求抛物线的标准方程为y2=6x.
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例2:已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为 ，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
因为抛物线的焦点到准线的距离 所以所求抛物线的标准方程为
y2=x.
其焦点坐标为( ，0)，其准线方程为
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思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时, 由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同, 它们各有两种形式的标准方程, 你认为抛物线的标准方程一共有几种形式？ 请分别指出抛物线的焦点位置,并写出相应的标准方程和准线方程.
K
F
M


x
y
O
H
1.当焦点在x轴正半轴上时，标准方程为y2=2px(p>0)
准线方程为
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2.当焦点在x轴负半轴上时，标准方程为y2=-2px(p>0)，
准线方程为
K
F
M


x
y
O
H
3.当焦点在y轴正半轴上时，标准方程为x2=2py(p>0)，
准线方程为
K
F
M


x
y
O
H
新课学习
4.当焦点在y轴负半轴上时，标准方程为x2=-2py(p>0)，
准线方程为
K
F
M


x
y
O
H
课堂巩固
B
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
100
课堂总结
1.抛物线的概念
2.抛物线标准方程的概念
THANK YOU

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