资源简介

(共28张PPT)
2.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
学习目标
1.理解并掌握双曲线范围、对称性和顶点的几何性质，体现逻辑推理能力（重点）
2.能利用双曲线的简单性质求标准方程，体现逻辑推理能力（难点）
新课导入
复习一下:上一节课，我们学习了双曲线的定义以及标准方程，那么双曲线的定义和标准方程是什么？
双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹
双曲线的标准方程：
那么，双曲线有什么特殊的性质呢？这节课我们来学习一下.
新课学习
仿照椭圆的简单几何性质的讨论方法，根据双曲线C的标准方程
①
和图象，我们来研究双曲线C的简单几何性质.
思考一下：观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？
由方程①，得
所以双曲线C的任意一点都满足
即
x≤-a或x≥a，且y∈R.
结论：双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域.
F1
F2
x
O
y
-a
a
新课学习
思考一下：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
根据方程①的结构特点， 可以发现：若点P的坐标(x,y)满足方程①，则
P(x,y)关于x轴的对称点P1(x,-y)：
点在双曲线上
P(x,y)关于y轴的对称点P2(-x,y)：
点在双曲线上
新课学习
思考一下：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
P(x,y)关于原点O的对称点P3(-x,-y)：
点在双曲线上
点P关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x,-y) ,P2(-x,
y),P3(-x,-y)的坐标也都满足方程① .
结论：双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心.
新课学习
思考一下：观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？
F1
F2
x
O
y
A1
A2
B1
B2
实轴
虚轴
在
中，令y=0，得x=±a，
这说明：双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),
我们把这两个交点叫作双曲线的顶点.
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；
尽管此双曲线与y轴无公共点，但y轴上有两个特殊的点B1(0,-b),B2(0,b),我们称线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
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注意：
（1）双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的地方，双曲线的两个顶点分别是实轴的端点，虚轴的两个端点不是双曲线的顶点，只是为了给出b的几何意义而定义的.
（2）双曲线的焦点总在实轴所在的直线上，而椭圆的焦点总在长轴上.
新课学习
例3：如图(1)，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面.已知塔的总高度为150m，塔顶直径为70m，塔的最小直径(喉部直径)为67m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m，求双曲线的标准方程(结果精确到0.01)，并画出该双曲线.
新课学习
图(2)是冷却塔的轴截面，为了得到双曲线的标准方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图(3))，则点A的坐标为(33.5,0).
(3)
可设双曲线方程为
则
a=33.5
由已知可得点C的坐标为(35,37.5)，代入双曲线的标准方程有
∴b2≈15359.26 .
∴所求双曲线的标准方程为
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例4: 求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线.
将x2-4y2=1化为标准方程
由此可知实半轴长a=1，虚半轴长b= ，半焦距
所以焦点坐标为
中心坐标为(0,0),顶点坐标为(-1,0)
实轴长为2，虚轴长为1.
根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分.
新课学习
例4: 求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线.
由双曲线的方程解得
计算出一些点，如表(y的值精确到0.01).
x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97
在平面直角坐标系中描出上述对应点，并用光滑曲线连起来.根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分(如图).
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思考交流：观察上图中双曲线x2-4y2=1在第一象限的图形, 可发现如下情形: 随着x的增大, y随之增大, 当x比较大时, 该图形逼近于直线 , 且总在该直线的下方. 双曲线图形的这种特征,能否从它在第一象限的图形的方程 和直线方程 的联系中给出解释呢
当x≥1时，
所以在第一象限中，当x比较大时，双曲线的图像逼近于直线 的图象，且总在该直线的下方.
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归纳总结：
方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
焦点
顶点
范围
对称性 虚实轴 F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
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练一练：求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距
1.3x2-4y2=12
焦点坐标为( ,0),( ,0)
顶点坐标为(-2,0),(2,0)
实轴长为4，虚轴长为
焦距为
新课学习
2.y2-x2=4
练一练：求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距
焦点坐标为(0, ),(0, )
顶点坐标为(0,-2),(0,2)
实轴长为4，虚轴长为4
焦距为
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
D
课堂巩固
D
课堂巩固
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
课堂总结
双曲线的几何性质：
1.范围
2.对称性
3.顶点
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2.2.2 双曲线的简单几何性质
（第二课时）
学习目标
1.理解并掌握双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程，体现逻辑推理能力（重点）
2.会利用双曲线的几何性质解决一些简单的实际问题，体现数学运算能力（难点）
新课导入
上一节课我们学习了双曲线的三个性质：双曲线的范围、双曲线的对称性以及双曲线的顶点，那么，对比椭圆的几个简单的几何性质，双曲线是否也有椭圆的其他性质？双曲线的其他性质与椭圆的性质有什么区别呢？
让我们这节课来学习双曲线的其他性质吧.
新课学习
思考一下:我们知道椭圆的扁平程度是由离心率决定的，那么双曲线的离心率定义是什么？
我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示.
因为c＞a＞0，所以e>1
决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大，因为
∴ 越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.
新课学习
思考一下：探究例4中的双曲线x2-4y2=1和直线 的位置关系．
取双曲线上的一点，当点P(x,y)在第一象限时， ．
当x→+∞时， 且无限逼近于1，y无限逼近于
也就是说，当x→+∞时，双曲线在第一象限内的点P(x,y)无限逼近于直线
因此，形象地称直线 为双曲线x2-4y2=1的渐近线，
根据双曲线的对称性可知 也是双曲线x2-4y2=1的渐近线.
新课学习
思考一下：你能将类比上面的方法，找到双曲线 的渐近线吗？
当双曲线上的点P(x,y)在第一象限时，有
当x→+∞时， 且无限逼近于1，
所以点P(x,y)在直线 的下方，且y无限逼近于
即当x→+∞时，点P(x,y)无限逼近于直线
由双曲线的对称性可知，双曲线的两支在向外无限延伸时与直线
和 无限逼近.
新课学习
双曲线的渐近线的概念
1.画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线．
2.当a=b时，双曲线为等轴双曲线．
新课学习
方程
焦点
顶点
范围
对称性 虚实轴 离心率 渐近线
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
总结一下：
新课学习
等轴双曲线的概念
实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线
它具有如下的性质：
1.标准方程形式为 或
2.渐近线方程为y=±x
3.实轴长和虚轴长都等于2a，离心率
新课学习
共轭双曲线的概念
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫作已知双曲线的共轭双曲线，如双曲线 与 是互为共轭双曲线.
新课学习
共轭双曲线的性质
1.双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐进线；
2.双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等，但是焦点所在的坐标轴不同，且四个焦点共圆；
3.由 ， 得 ，即若两双曲线互为共轭双曲线，则其离心率的倒数的平方和为1.
新课学习
例5：求双曲线9y2-16x2＝-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线.
把双曲线的方程9x2-16y2=-144化为标准方程
所以实轴长2a=6，虚轴长2b=8，焦点坐标为(0,-5)，(0,5),
顶点坐标为(0,-3)，(0,3),
渐近线方程：
如图，首先画出x=±4，y=±3，作出矩形；
然后作出矩形的对角线，得到渐近线
最后以渐近线为参照画出双曲线.
x
y
O
A1
A2
B2
B1
新课学习
拓展：求双曲线的渐近线方程的基本步骤：
1.利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系；
2.确定双曲线焦点的位置；
3.写出双曲线的渐近线方程：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为 ；
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为 .
新课学习
思考一下：双曲线 中a,b的几何意义是什么？并画图标注出来.
a为实半轴长，b为虚半轴长
x
y
O
A1
A2
B2
B1
虚半轴长
实半轴长
新课学习
练一练：如图，已知动圆M与两个定圆☉O1,☉O2分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？
设☉O1,☉O2的半径为r1,r2(由题图中r1>r2)
则动圆M满足|MO1|-|MO2|=r1-r2,为定值且r1-r2<|O1O2|
由双曲线的定义可知动圆圆心M的轨迹是以O1,O2为焦点的双曲线的一支.
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B
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
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B
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
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3
课堂总结
双曲线的简单几何性质：
4.离心率
5.渐近线
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