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列方程解决实际问题
2025年小升初数学暑假无缝衔接练
1．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是：
﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题．
哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？
2．中国古代算书《算法统宗》中有这样一道题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半（注：四分之一的意思）群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？大意是说：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧，有一个过路人牵着1只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说你赶的这群羊大概有100只吧？牧羊人答道：如果这一群羊加上1倍，再加上原来羊群的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好满100只你知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只吗？
3．《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．
4．一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？
5．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？
6．（经济问题）春节期间，某商店按下面两种方式促销，第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元．刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元．已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1)，那么这两件商品的原价分别是多少元？
7．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
8．某商店面包的成本是定价的，可乐的定价是10元，成本是8元．现在商店把2个面包与1杯可乐配套出售，并且按它们的定价之和的出售．这样每套可获得利润3元．面包的成本是多少元？
9．世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？
(1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________．
(2)请列方程解决这个问题．
10．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？
11．游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）．
(1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程．
(2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程．
12．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
(1)某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？
13．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费．
(1)文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？
(2)红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？
14．一种空调，商场将进价加定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用元，即使这样每台空调仍可获利元，这种空调每台的进价是多少元？
15．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是，原来的两位数是多少？
16．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？
17．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚．
(1)求汽车的速度；
(2)求A、B两地之间的路程；
(3)在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求之间的路程．
参考答案
1．分钟
【分析】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键．根据速度×时间=路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差=追及时间，据此计算即可．
【详解】解：
（分钟）
答：经过分钟以后哥哥可以追上弟弟．
2．36只
【分析】设牧羊人放牧的这群羊一共有只，再根据牧羊人的描述建立方程求解即可．
【详解】设牧羊人放牧的这群羊一共有只
由题意得：
解得
答：牧羊人放牧的这群羊一共有36只．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
3．壶中原有升酒．
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】设壶中原有x升酒，
根据题意得，
解得．
答：壶中原有升酒．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.
4．7531
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，通过设未知数，根据题意列出等量关系式是完成本题的关键．
由于是从小到大相差2的4个数字，可设最小的数字是n，则第二个是第三个是，第四个是，又这4个数字之和是16，由此可得：，由此完成即可．
【详解】解：设最小的数字是n，可得：
，
整理得：，
解得：．
即最小的数字是1，
所以这四个数字分别是：7531．
5．元
【分析】本题考查了列方程解决问题的方法，抓住降价前后利润的变化，找到等量关系是解题的关键．根据题意，把商品原来每件的定件元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的，则每件减少了元；已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了件，加上原来订购的件，现在一共订购件；根据“获得的利润反而比原来多元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数原来每件商品的利润原来订购的件数降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解；最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价．
【详解】解：根据题意得，减价：（元），
多订购的件数：（件），
降价后共订购：（件），
设原来每件商品的利润为元，则这种商品的成本是元，
（元），
（元），
答：这种商品的成本是70元．
6．120元和240元
【分析】本题主要考查折扣问题，关键根据题意设未知数，根据等量关系列方程解答．
根据题意，因为已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），两件商品的现价是252元，所以设原价元和元，根据优惠情况分别计算两种商品的原价，找到符合题意的价钱即可．
【详解】解：设两件商品的原价分别是元和元．
（元
答：两件商品的原价分别是120元和240元．
7．（1）120件；（2）150元．
【分析】（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可．
（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可．
【详解】（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件，
由题意可得：，
解得，
经检验是原方程的根．
（2）设每件衬衫的标价至少是元，
由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元）
由题意可得：
解得：，
所以，，即每件衬衫的标价至少是150元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系和不等关系是解题关键．
8．8元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润售价成本得出利润的3元2个面包和1杯可乐的售价2个面包和1杯可乐的成本．列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设面包的定价是元，成本元．
（元）
答：面包的成本是8元．
9．(1)①
(2)50毫米
【分析】（1）把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示，由此判断哪个图是正确的．
（2）把吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，根据“吸蜜蜂鸟的体长毫米=巨蜂鸟的体长”列方程解答．
本题考查了方程的应用，正确理解题意以及正确列方程是解题的关键．
【详解】（1）解：把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示，
故图①正确表达了题目的意思．
（2）解：设吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，则
答：吸蜜蜂鸟的体长是50毫米．
10．小时
【分析】本题是牛吃草问题和工程问题的结合，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时泉水流入池中的水量）和草地原有的份数（本题相当于池塘内原有的水量）．设每台A型抽水机每小时抽水量为“1”份，那么每小时泉水流入池中的水量（即水的流入速度）就是份，再计算池塘中原有水的总量为，由于每小时泉水流入池中的水量相当于台的抽水量，所以求出原有水量里面有几个，即可得解．
【详解】解：设1台1小时抽水量为“1”份，
水流入速度：（份），
原水的总量：（份），
3台时间：
（小时），
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要小时恰好把池塘中的水抽完．
11．(1)年卡；过程见详解
(2)次
【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键．
（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算．
（2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解．
【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次），
单次卡：（元），
年卡：（元），
，
答：他选择年卡更划算．
（2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，
答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等．
12．(1)60
(2)90千瓦时；元
【分析】（1）根据题中所给的关系，找到等量关系，共交电费是不变的，然后列出方程求出a；
（2）先设九月份共用电x千瓦时，从中找到等量关系，共交电费是不变的，然后列出方程求出．
【详解】（1）解：由题意，得：
，
解得：；
（2）设九月份共用电x千瓦时，根据题意得：
，
解得，
所以（元）；
答：九月份共用电90千瓦时，应交电费元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
13．(1)17吨；
(2)134元
【分析】本题考查一元一次方程分段计费问题，解题的关键是根据不同的计费段分别计算费用或用水量．
（1）根据题意可知，水费分两部分，一部分是15吨（含15吨）水费是5.2元一吨，一部分是超过15吨，一吨是7元，设：文文家上月用水吨，去掉15吨，15吨水费元，剩下的水是吨，就是1吨7元的水，剩下的水费是元，一共是92元，列方程：，解方程，即可解答；
（2）红红家上月共用水23吨，其中有15吨是5.2元一吨水费，15吨是元，剩下的用水是吨水，每吨是7元，8吨是元，再把15吨水费钱数和8吨水费钱数相加，就是红红家应缴的水费，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，文文家用水超过15吨，
设文文家上月用水吨，
，
答：他家上个月用水17吨；
（2）
（元），
答：应交水费134元．
14．元
【分析】本题考查百分数的应用，设每台空调的进价为元，根据“将进价加定价”，知道定价为元，按定价打九折出售，意思是按定价的出售，卖价为元，由数量关系：卖价进价，即可列出方程解决问题．解题关键是理解打折，利润率等知识才能正确列出方程．
【详解】解：设每台空调的进价为元．
答：每台空调的进价是元．
15．84
【分析】解决本题先设出数据，分别表示出两位数的个位和十位上的数字，再分别表示出原来两位数和对调后的两位数，然后找出等量关系列出方程求解．设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字就是，这个两位数可以表示，当个位和十位数字对调，这时两位数可以表示为，再根据两个两位数的和是，列出方程求解．
【详解】解：设原来个位上的数字为，那么十位上的数字为，
，
，
，
，
，
，
答：原来的两位数是．
16．30天；24天；18天
【分析】题目主要考查分数的应用，涉及工程问题蕴含的数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，解答此题的关键是要找到每人完成天数占工作总量的几分之几．
把甲队完成的工作量看作单位1，根据题意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是．求出甲完成这项工程的几分之几，甲工作的天数÷甲完成工作量占工程总量的分率=甲完成单独工作所需的总天数；同理，据此再分别求出乙和丙单独完成所需天数．
【详解】解：根据题意得：甲工作天数：（天）
乙工作天数：4天
丙工作天数：6天
将甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作 ，丙完成的量看作 ，
∴这项工程就是 ，
甲完成这项工程的，
那么甲单独完成需要（天）
乙完成这项工程的
那么乙单独完成需要（天）
丙完成这项工程的
那么丙单独完成需要（天）
答：甲、乙、丙独做各需30天、24天、18天．
17．(1)44千米/小时
(2)40千米
(3)100千米
【分析】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程．
（1 ）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间=路程和，速度差×追及时间=路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为，然后解出方程即可求出汽车的速度．
（2 ）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程．
（3 ）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个之间的距离加上2个之间的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去之间的距离，即可求出2个之间的距离，最后除以2，即可求出之间的距离．
【详解】（1）解：（分钟）
100分钟小时
（分钟）
120分钟小时
设汽车的速度是x千米/小时．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：汽车的速度是44千米/小时．
（2）解：
（千米）
答：A、B两地之间相距40千米．
（3）解：
（千米）
答：之间的路程为100千米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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